Publicado pela primeira vez em Philosophy , XXXVI, 1961, pp.(112)-(127); reimpresso em The Modeling of Mind , Kenneth M. Sayre e Frederick J. Crosson, eds., Notre Dame Press, 1963, pp.[269]-[270]; e Minds and Machines , ed. Alan Ross Anderson, Prentice-Hall, 1954, pp.{43}-{59}.
O teorema de Gödel parece-me provar que o Mecanicismo é falso, isto é, que as mentes não podem ser explicadas como máquinas. O mesmo pareceu a muitas outras pessoas: quase todos os lógicos matemáticos a quem questionei o assunto confessaram ter pensamentos semelhantes, mas mostraram-se relutantes em se comprometer definitivamente até que pudessem ver todo o argumento exposto, com todas as objeções plenamente apresentadas e devidamente refutadas. 1 É isso que pretendo fazer.
O teorema de Gödel afirma que em qualquer sistema consistente suficientemente forte para produzir aritmética simples, existem fórmulas que não podem ser provadas no sistema, mas que podemos ver como verdadeiras. Essencialmente, consideramos a fórmula que diz, em outras palavras, "Esta fórmula não pode ser provada no sistema". Se esta fórmula pudesse ser provada no sistema, teríamos uma contradição: pois se ela pudesse ser provada no sistema, então não seria impossível de provar no sistema, de modo que "Esta fórmula não pode ser provada no sistema" seria falsa; igualmente, se ela pudesse ser provada no sistema, então não seria falsa, mas verdadeira, já que em qualquer sistema consistente nada falso pode ser provado no sistema, apenas verdades. Portanto, a fórmula "Esta fórmula não pode ser provada no sistema" não pode ser provada no sistema, mas é impossível de provar no sistema. Além disso, se a fórmula "Esta fórmula não pode ser provada no sistema" não pode ser provada no sistema, então é verdade que essa fórmula [256] não pode ser provada no sistema, ou seja, "Esta fórmula não pode ser provada no sistema" é verdadeira.
O argumento anterior é bastante rebuscado e difícil de compreender completamente: é útil reformulá-lo, considerar a possibilidade de que "Esta fórmula é indecidível no sistema" possa ser falsa, mostrar que isso é impossível e, portanto, que a fórmula é verdadeira; daí se segue que ela é indecidível. Mesmo assim, o argumento permanece persistentemente pouco convincente: sentimos que deve haver alguma pegadinha nele. Todo o trabalho do teorema de Gödel consiste em mostrar que não há pegadinha alguma e que o resultado pode (113) ser estabelecido pela dedução mais rigorosa; ele vale para todos os sistemas formais que são (i) consistentes, (ii) adequados para aritmética simples — isto é, contêm os números naturais e as operações de adição e multiplicação — e mostra que eles são incompletos — isto é, contêm fórmulas indecidíveis, embora perfeitamente significativas, algumas das quais, além disso, nós, estando fora do sistema, podemos ver como verdadeiras.
O teorema de Gödel deve ser aplicado às máquinas cibernéticas, pois é da essência de uma máquina ser uma instanciação concreta de um sistema formal. Segue-se que, dada qualquer máquina consistente e capaz de realizar aritmética simples, existe uma fórmula que ela é incapaz de produzir como verdadeira — isto é, a fórmula é não demonstrável no sistema —, mas que podemos ver como verdadeira. Conclui-se, portanto, que nenhuma máquina pode ser um modelo completo ou adequado da mente, que as mentes são essencialmente diferentes das máquinas.
Entendemos por máquina cibernética um aparelho que executa um conjunto de operações de acordo com um conjunto definido de regras. Normalmente, "programamos" uma máquina: isto é, damos a ela um conjunto de instruções sobre o que ela deve fazer em cada eventualidade; e inserimos a "informação" inicial sobre a qual a máquina deve realizar seus cálculos. Quando consideramos a possibilidade de a mente ser um mecanismo cibernético, temos em mente um modelo desse tipo; supomos que o cérebro seja composto de circuitos neurais complexos e que a informação captada pelos sentidos seja "processada" e utilizada ou armazenada para uso futuro. Se for um mecanismo desse tipo, então, dada a forma como é programado — a forma como é "conectado" — e a informação que lhe foi inserida, a resposta — a "saída" — é determinada e poderia, dado tempo suficiente, ser calculada. Nossa ideia de máquina é justamente esta: seu comportamento é completamente determinado pela forma como é construída e pelos "estímulos" que recebe. Não há possibilidade de ela agir por conta própria. Dada uma determinada forma de construção e uma determinada entrada de informações, ela deve agir de uma maneira específica. No entanto, não nos preocuparemos com o que uma máquina deve fazer, mas com o que ela pode fazer. Ou seja, em vez de considerarmos o conjunto completo de regras que, juntas, determinam exatamente o que uma máquina fará em determinadas circunstâncias, consideraremos apenas um esboço dessas regras, que delimitarão as possíveis respostas da máquina, mas não completamente. As regras completas determinarão as operações completamente em cada etapa; em cada etapa haverá uma instrução definida, por exemplo: "Se o número for primo e maior que dois, some um e divida por dois; se não for primo, divida pelo seu menor fator". Consideraremos, porém, a possibilidade de haver instruções alternativas, por exemplo: "Em uma fração, você pode dividir o numerador e o denominador por qualquer número que seja um fator tanto do numerador quanto do denominador". Ao relaxar assim (114) a especificação do nosso modelo, de modo que ele não seja mais completamente determinista, embora ainda inteiramente mecanicista, poderemos levar em conta uma característica frequentemente proposta para modelos mecânicos da mente, a saber, que eles devem conter um dispositivo de aleatorização. Poderíamos construir uma máquina onde a escolha entre várias alternativas fosse determinada, digamos, pelo número de átomos de rádio que se desintegraram em um determinado recipiente no último meio minuto. É prima facieÉ plausível que nossos cérebros estejam sujeitos a efeitos aleatórios: um raio cósmico poderia muito bem ser suficiente para desencadear um impulso neural. Mas é evidente que, em uma máquina, um dispositivo de aleatorização não poderia ser introduzido para escolher qualquer alternativa: só é permitido escolher entre um número de alternativas válidas. É correto adicionar qualquer número escolhido aleatoriamente a ambos os lados de uma equação, mas não adicionar um número a um lado e outro ao outro. É correto escolher provar um teorema de Euclides em vez de outro, ou usar um método em vez de outro, mas não "provar" algo que não é verdade, ou usar um "método de prova" que não seja válido. Quaisquer dispositivos de randomização {46} devem permitir escolhas apenas entre aquelas operações que não levarão à inconsistência: que é exatamente o que a especificação relaxada do nosso modelo especifica. De fato, poderíamos colocar desta forma: em vez de considerar o que uma máquina completamente determinada deve fazer, consideraremos o que uma máquina poderia ser capaz de fazer se tivesse um dispositivo de randomização que agisse sempre que houvesse duas ou mais operações possíveis, nenhuma das quais pudesse levar à inconsistência.
Se tal máquina fosse construída para produzir teoremas sobre aritmética (em muitos aspectos, a parte mais simples da matemática), ela teria apenas um número finito de componentes e, portanto, haveria apenas um número finito de tipos de operação que ela poderia realizar e apenas um número finito de suposições iniciais (115) sobre as quais ela poderia operar. De fato, podemos ir além e dizer que haveria apenas um número definido de tipos de operação e de suposições iniciais que poderiam ser incorporados a ela. Máquinas são definidas: qualquer coisa que fosse indefinida ou infinita não deveríamos [258] considerar como uma máquina. Observe que dizemos número de tipos de operação, não número de operações. Dado tempo suficiente e desde que não se desgastasse, uma máquina poderia continuar repetindo uma operação indefinidamente: trata-se apenas de que pode haver apenas um número definido de diferentes tipos de operação que ela pode realizar.
Se o sistema tiver apenas um número definido de tipos de operação e suposições iniciais, podemos representá-las todas por meio de símbolos adequados, escritos em papel. Podemos paralelizar a operação por meio de regras ("regras de inferência" ou "esquemas axiomáticos"), permitindo-nos ir de uma ou mais fórmulas (ou mesmo da ausência de fórmula alguma) para outra fórmula, e podemos paralelizar as suposições iniciais (se houver) por meio de um conjunto de fórmulas iniciais ("proposições primitivas", "postulados" ou "axiomas"). Uma vez que tenhamos representado isso no papel, podemos representar cada operação individualmente: tudo o que precisamos fazer é fornecer fórmulas que representem a situação antes e depois da operação e observar qual regra está sendo invocada. Podemos, assim, representar no papel qualquer sequência possível de operações que a máquina possa executar. Independentemente de quanto tempo a máquina continuasse operando, poderíamos, com tempo, papel e paciência suficientes, escrever um análogo das operações da máquina. Essa analogia seria, na verdade, uma prova formal: cada operação da máquina é representada pela aplicação de uma das regras; e as condições que determinam para a máquina se uma operação pode ser realizada em uma determinada situação tornam-se, em nossa representação, condições que definem se uma regra pode ser aplicada a uma determinada fórmula, ou seja, condições formais de aplicabilidade. Assim, interpretando nossas regras como regras de inferência, teremos uma sequência de provas de {47} fórmulas, cada uma escrita em virtude de alguma regra formal de inferência ter sido aplicada a alguma fórmula ou fórmulas anteriores (exceto, é claro, as fórmulas iniciais, que são dadas porque representam suposições iniciais incorporadas ao sistema). As conclusões que a máquina pode produzir como verdadeiras corresponderão, portanto, aos teoremas que podem ser provados no sistema formal correspondente. Agora, construímos uma fórmula gödeliana nesse sistema formal. Essa fórmula não pode ser provada no sistema . Portanto, a máquina não pode produzir a fórmula correspondente como verdadeira. Mas podemos ver que a fórmula de Gödel é verdadeira: qualquer ser racional poderia seguir o argumento de Gödel e convencer-se de que a fórmula de Gödel, embora não demonstrável no sistema, era, no entanto — aliás, por essa mesma razão — verdadeira. Ora, qualquer modelo mecânico da mente deve incluir um mecanismo que possa enunciar verdades da aritmética, porque isso é algo que as mentes podem fazer: na verdade, é fácil produzir modelos mecânicos que, em muitos aspectos, produzirão verdades da aritmética muito melhor do que os seres humanos. Mas, neste aspecto, eles não conseguem se sair tão bem: para cada máquina existe uma verdade que ela não pode produzir como sendo verdadeira, mas que uma mente pode. Isso mostra que uma máquina não pode ser um modelo completo e adequado da mente. Ela não pode fazer tudo.que uma mente pode fazer, pois por mais que ela possa fazer, sempre haverá algo que ela não pode fazer, e uma mente pode. Isso não significa que não possamos construir uma máquina para simular qualquer comportamento mental desejado: significa apenas que não podemos construir uma máquina para simular todos os comportamentos mentais. Podemos (ou seremos capazes um dia) de construir máquinas capazes de reproduzir partes de comportamentos mentais e, de fato, de superar o desempenho das mentes humanas: mas por melhor que seja a máquina, e por melhor (116) que ela possa ser em quase todos os aspectos do que uma mente humana, ela sempre terá essa fraqueza, essa coisa que ela não pode fazer, enquanto uma mente pode. A fórmula de Gödel é o calcanhar de Aquiles da máquina cibernética. E, portanto, não podemos esperar produzir uma máquina que seja capaz de fazer tudo o que uma mente pode fazer: nunca poderemos, nem mesmo em princípio, ter um modelo mecânico da mente.
Esta conclusão será altamente suspeita para algumas pessoas. Elas objetarão, em primeiro lugar, que não podemos ter simultaneamente uma máquina capaz de simular qualquer comportamento semelhante ao da mente e, ao mesmo tempo, não poder simular todos os comportamentos. Para alguns, isso é uma contradição: basta apontar que não há contradição entre o fato de que, para qualquer número natural, pode-se produzir um número maior e o fato de que não se pode produzir um número maior do que qualquer outro. Podemos usar a mesma analogia contra aqueles que, ao encontrarem uma fórmula que sua primeira máquina não consegue produzir como verdadeira, admitem que essa máquina é de fato inadequada, mas, em seguida, buscam construir uma segunda máquina, mais adequada, na qual a fórmula possa ser produzida como verdadeira. Isso eles podem, de fato, fazer: mas então a segunda máquina terá uma fórmula gödeliana própria, construída aplicando o procedimento de Gödel ao sistema formal que representa seu próprio esquema de operações ampliado. E essa fórmula a segunda máquina não será capaz de produzir como verdadeira, enquanto uma mente será capaz de ver que ela é verdadeira. E se agora uma terceira máquina for construída, capaz de fazer o que a segunda máquina não conseguiu fazer, exatamente a mesma coisa acontecerá: haverá ainda uma terceira fórmula, a fórmula gödeliana para o sistema formal correspondente ao esquema de operações da terceira máquina, que a terceira máquina é incapaz de produzir como verdadeira, embora uma mente ainda seja capaz de ver que ela é verdadeira. E assim continuará. Por mais complexa que seja a máquina que construímos, ela, se for uma máquina, corresponderá a um sistema formal, que por sua vez estará sujeito ao procedimento de Gödel [260] para encontrar uma fórmula não demonstrável nesse sistema. Essa fórmula a máquina será incapaz de produzir como verdadeira, embora uma mente possa ver que ela é verdadeira. E assim a máquina ainda não será um modelo adequado da mente. Estamos tentando produzir um modelo da mente que é mecânico — que é essencialmente "morto" — mas a mente, sendo de fato "viva", sempre pode ir além de qualquer sistema formal, ossificado e morto. Graças ao teorema de Gödel, a mente sempre tem a última palavra.
Uma segunda objeção será agora apresentada. O procedimento pelo qual a fórmula de Gödel é construída é um procedimento padrão — somente assim poderíamos ter certeza de que uma fórmula de Gödel pode ser construída para cada sistema formal. Mas se é um procedimento padrão, então uma máquina também deveria poder ser programada para executá-lo. Poderíamos construir uma máquina com as operações usuais e, adicionalmente, uma operação (117) de percorrer o procedimento de Gödel e, em seguida, produzir a conclusão desse procedimento como sendo verdadeira; e então repetir o procedimento, e assim por diante, quantas vezes forem necessárias. Isso corresponderia a ter um sistema com uma regra de inferência adicional que permitisse adicionar, como um teorema, a fórmula de Gödel do restante do sistema formal e, em seguida, a fórmula de Gödel desse novo sistema formal fortalecido, e assim por diante. Seria equivalente a adicionar ao sistema formal original uma sequência infinita de axiomas, cada um sendo a fórmula de Gödel do sistema obtido até então. Mesmo assim, a questão não está resolvida: pois a máquina com um operador Gödelizante {49}, como poderíamos chamá-la, é uma máquina diferente das máquinas sem tal operador; e, embora a máquina com o operador seja capaz de realizar aquelas tarefas em que as máquinas sem o operador são superadas por uma mente, ainda assim podemos esperar que uma mente, diante de uma máquina que possua um operador Gödelizante, leve isso em consideração e supere a nova máquina, com seu operador Gödelizante e tudo mais. De fato, isso se provou verdadeiro. Mesmo que adicionemos a um sistema formal o conjunto infinito de axiomas constituído pelas fórmulas Gödelianas sucessivas, o sistema resultante ainda é incompleto e contém uma fórmula que não pode ser provada dentro do sistema, embora um ser racional possa, estando fora do sistema, ver que ela é verdadeira. 2 Já esperávamos isso, pois mesmo que um conjunto infinito de axiomas fosse adicionado, eles teriam que ser especificados por alguma regra ou especificação finita, e essa regra ou especificação adicional poderia então ser levada em consideração por uma mente que considerasse o sistema formal ampliado. De certa forma, só porque a mente tem a última palavra, ela sempre pode encontrar uma falha em qualquer sistema formal apresentado a ela como um modelo de seu próprio funcionamento. O modelo mecânico [261] deve ser, de alguma forma, finito e definido: e então a mente sempre pode ir além.
Esta é a resposta a uma objeção apresentada por Turing. 3 Ele argumenta que a limitação dos poderes de uma máquina não representa muita coisa. Embora cada máquina individual seja incapaz de obter a resposta correta para algumas perguntas, afinal, cada ser humano individual também é falível: e, em qualquer caso, "nossa superioridade só pode ser sentida em tal ocasião em relação à única máquina sobre a qual conquistamos nosso pequeno triunfo. Não haveria possibilidade de triunfar simultaneamente sobre todas as máquinas". Mas esse não é o ponto. Não estamos discutindo se máquinas ou mentes são superiores, mas se são a mesma coisa. Em algum aspecto, as máquinas são, sem dúvida, superiores às mentes humanas; e a questão sobre a qual elas estão perplexas é, reconhecidamente, uma questão um tanto insignificante, até mesmo (118) trivial. Mas é suficiente, o suficiente para mostrar que a máquina não é a mesma coisa que uma mente. É verdade que a máquina pode fazer muitas coisas que a mente humana não consegue; mas se houver necessariamente algo que a máquina não possa fazer, embora a mente possa, então, por mais trivial que seja a questão, não podemos equiparar as duas, nem podemos esperar ter um modelo mecânico que represente adequadamente a mente. Tampouco significa que triunfamos apenas sobre uma máquina individual: pois o triunfo não é apenas sobre uma máquina individual, mas sobre qualquer indivíduo que se queira especificar — em latim {50} quivis ou quilibet , não quidam — e um modelo mecânico da mente deve ser uma máquina individual. Embora seja verdade que qualquer "triunfo" particular de uma mente sobre uma máquina possa ser "superado" por outra máquina capaz de produzir a resposta que a primeira máquina não conseguiu produzir, de modo que "não se trata de triunfar simultaneamente sobre todas as máquinas", isso é irrelevante. A questão não é a disputa desigual entre uma mente e todas as máquinas, mas se poderia haver alguma máquina, única, capaz de fazer tudo o que uma mente pode fazer. Para que a tese mecanicista seja válida, deve ser possível, em princípio, produzir um modelo, um único modelo, que possa fazer tudo o que a mente pode fazer. É como um jogo. O mecanicista joga primeiro. Ele produz um --- qualquer , mas apenas um definido.---modelo mecânico da mente. Aponto para algo que ela não pode fazer, mas a mente pode. O mecanicista é livre para modificar seu exemplo, mas cada vez que o faz, tenho o direito de procurar defeitos no modelo revisado. Se o mecanicista puder conceber um modelo com o qual eu não possa encontrar falhas, sua [262] tese está estabelecida: se não puder, então não está provada; e como ---como se verifica --- ele necessariamente não pode, está refutada. Para ter sucesso, ele deve ser capaz de produzir algum modelo mecânico definido da mente --- qualquer um que ele queira, mas um que ele possa especificar e ao qual se apegará. Mas como ele não pode, em princípio não pode, produzir qualquer modelo mecânico que seja adequado, mesmo que o ponto de falha seja mínimo, ele está fadado ao fracasso, e o mecanicismo deve ser falso.
Objeções mais profundas ainda podem ser levantadas. O teorema de Gödel aplica-se a sistemas dedutivos, e os seres humanos não se limitam a fazer apenas inferências dedutivas. O teorema de Gödel aplica-se apenas a sistemas consistentes, e pode-se ter dúvidas sobre até que ponto é permissível assumir que os seres humanos são consistentes. O teorema de Gödel aplica-se apenas a sistemas formais, e não existe nenhum limite a priori para o engenho humano que exclua a possibilidade de concebermos alguma réplica da humanidade que não seja representável por um sistema formal.
Os seres humanos não se limitam a fazer inferências dedutivas, e CG Hempel 5 e Hartley Rogers 6 argumentaram que um modelo justo da mente teria que permitir a possibilidade de fazer inferências não dedutivas, e estas poderiam fornecer uma maneira de escapar do resultado de Gödel. Hartley Rogers sugere especificamente que a máquina {51} deveria ser programada para considerar várias proposições que não foram provadas ou refutadas e, ocasionalmente, adicioná-las à sua lista de axiomas. O Último Teorema de Fermat ou a Conjectura de Goldbach poderiam, portanto, ser adicionados. Se, posteriormente, sua inclusão levasse a uma contradição, eles seriam descartados novamente e, de fato, nessas circunstâncias, suas negações seriam adicionadas à lista de teoremas. Dessa forma, uma máquina poderia ser construída capaz de produzir como verdadeiras certas fórmulas que não poderiam ser provadas a partir de seus axiomas, de acordo com suas regras de inferência. E, portanto, o método de demonstrar a superioridade da mente sobre a máquina poderia não funcionar mais.
A construção de tal máquina, no entanto, apresenta dificuldades. Ela não pode aceitar todas as fórmulas não demonstráveis e adicioná-las aos seus axiomas, ou acabará aceitando tanto a fórmula gödeliana quanto sua negação, sendo, portanto, inconsistente. Tampouco funcionaria se aceitasse a primeira fórmula de cada par de fórmulas indecidíveis e, tendo-a adicionado aos seus axiomas, não considerasse mais sua negação como indecidível, e, portanto, nunca a aceitaria também: pois isso poderia ocorrer com o membro errado do par: poderia aceitar a negação da fórmula gödeliana em vez da própria fórmula gödeliana. E o sistema constituído [263] por um conjunto normal de axiomas com a negação da fórmula gödeliana anexada, embora não inconsistente, é um sistema falho, que não admite a interpretação natural. É algo como geometrias não-desarguianas em duas dimensões: não exatamente inconsistente, mas sim errado, o suficiente para desqualificá-lo de uma consideração séria. Uma máquina suscetível a falhas desse tipo não seria um modelo para a mente humana.
Fica claro que serão necessários critérios bastante cuidadosos para a seleção de fórmulas não demonstráveis. Hartley Rogers sugere alguns possíveis. Mas, uma vez que tenhamos regras que gerem novos axiomas, mesmo que os axiomas gerados sejam aceitos apenas provisoriamente e possam ser descartados caso se constate que levam à inconsistência, então podemos começar a aplicar um método de Gödel a este sistema, como a qualquer outro. Estamos no mesmo caso de quando tínhamos uma regra que gerava o conjunto infinito de fórmulas gödelianas como axiomas. Em suma, independentemente de como uma máquina seja projetada, ela deve proceder aleatoriamente ou de acordo com regras definidas. Na medida em que seu procedimento é aleatório, não podemos ser mais espertos que ela: (120) mas seu desempenho não será uma paródia convincente de comportamento inteligente: na medida em que seu procedimento está de acordo com regras definidas, o método de Gödel pode {52} ser usado para produzir uma fórmula que a máquina, de acordo com essas regras, não pode afirmar como verdadeira, embora nós, estando fora do sistema, possamos vê-la como verdadeira. 7
O teorema de Gödel aplica-se apenas a sistemas consistentes. Tudo o que podemos provar formalmente é que, se o sistema for consistente, então a fórmula de Gödel é não demonstrável no sistema. Para podermos afirmar categoricamente que a fórmula de Gödel é não demonstrável no sistema e, portanto, verdadeira, não só devemos estar lidando com um sistema consistente, como também sermos capazes de afirmar que ele é consistente. E, como Gödel demonstrou em seu segundo teorema — um corolário do primeiro —, é impossível provar, em um sistema consistente, que esse sistema é consistente. Assim, para apontar uma falha na máquina, produzindo uma fórmula da qual podemos afirmar tanto que ela é verdadeira quanto que a máquina não pode produzi-la como verdadeira, precisamos ser capazes de afirmar que a máquina (ou melhor, seu sistema formal correspondente) é consistente; e não há prova absoluta disso. Tudo o que podemos fazer é examinar a máquina e verificar se ela parece consistente. Sempre permanece a possibilidade de alguma inconsistência ainda não detectada. Na melhor das hipóteses, podemos dizer que a máquina é consistente, desde que nós também o sejamos. Mas com que direito podemos fazer isso O segundo teorema de Gödel [264] parece mostrar que um homem não pode afirmar sua própria consistência, e assim Hartley Rogers 8 argumenta que não podemos realmente usar o primeiro teorema de Gödel para refutar a tese mecanicista, a menos que possamos dizer que "existem atributos distintivos que permitem a um ser humano transcender esta última limitação e afirmar sua própria consistência, mantendo-se consistente".
A reação espontânea de um homem, quando sua coerência é questionada, é afirmá-la veementemente; mas isso, à luz do segundo teorema de Gödel, é tomado por alguns filósofos como evidência de sua inconsistência real. O professor Putnam⁹ sugeriu que os seres humanos são máquinas, mas máquinas inconsistentes. Se uma máquina fosse programada para corresponder a um sistema inconsistente, não haveria fórmula bem formada que ela não pudesse produzir como verdadeira; e, portanto, de forma alguma se poderia provar que ela é inferior a um ser humano. Nem poderíamos fazer de sua inconsistência uma afronta a ela — os homens também não são inconsistentes Certamente as mulheres são, e os políticos; e {53} até mesmo homens não políticos (121) se contradizem às vezes, e uma única inconsistência é suficiente para tornar um sistema inconsistente.
O fato de todos nós sermos inconsistentes às vezes é inegável, mas disso não se segue que sejamos equivalentes a sistemas inconsistentes. Nossas inconsistências são erros, e não políticas estabelecidas. Elas correspondem ao mau funcionamento ocasional de uma máquina, não ao seu esquema normal de operações. Prova disso é que evitamos as inconsistências quando as reconhecemos pelo que são. Se fôssemos realmente máquinas inconsistentes, deveríamos nos contentar com nossas inconsistências e afirmaríamos alegremente ambas as metades de uma contradição. Além disso, estaríamos preparados para dizer absolutamente qualquer coisa — o que não estamos. É fácil demonstrar que , em um sistema formal inconsistente, tudo é demonstrável, e a exigência de consistência acaba sendo apenas que nem tudo pode ser demonstrado nele — não se trata de "vale tudo". Certamente, essa é uma característica das operações mentais dos seres humanos: elas são seletivas; eles discriminam entre afirmações favoráveis — verdadeiras — e desfavoráveis — falsas. Quando uma pessoa está disposta a dizer qualquer coisa e a se contradizer sem qualquer escrúpulo ou repulsa, então é considerada como tendo "perdido a cabeça". Os seres humanos, embora não sejam perfeitamente consistentes, não são tanto inconsistentes quanto falíveis.
Uma máquina falível, mas autocorretiva, ainda estaria sujeita aos resultados de Gödel. Somente uma máquina fundamentalmente inconsistente escaparia [265]. Poderíamos ter uma máquina fundamentalmente inconsistente, mas ao mesmo tempo autocorretiva, que estaria livre dos resultados de Gödel e, ainda assim, não seria trivial e totalmente diferente de um ser humano Uma máquina com uma inconsistência bastante rebuscada embutida, de modo que, para todos os efeitos normais, ela fosse consistente, mas, quando confrontada com a sentença gödeliana, fosse capaz de prová-la?
Existem várias maneiras de evitar demonstrações indesejáveis. Poderíamos ter uma regra segundo a qual, sempre que tivermos demonstrado p e não- p , examinaríamos suas demonstrações e rejeitaríamos a mais longa. Ou poderíamos organizar os axiomas e regras de inferência em uma determinada ordem e, quando uma demonstração que leva a uma inconsistência for apresentada, verificaríamos quais axiomas e regras são necessários para ela e rejeitaríamos o axioma ou regra que aparece por último na ordem. De alguma forma assim, poderíamos ter um sistema inconsistente, com uma regra de parada, de modo que a inconsistência nunca pudesse se manifestar na forma de uma fórmula inconsistente.
A sugestão parece atraente à primeira vista; contudo, há algo profundamente errado. Mesmo que pudéssemos preservar a fachada de consistência {54} adotando uma regra segundo a qual, sempre que duas fórmulas inconsistentes (122) surgissem, deveríamos rejeitar aquela com a demonstração mais longa, tal regra seria repugnante em nosso sentido lógico. Até mesmo as sugestões menos arbitrárias são arbitrárias demais. O sistema deixa de operar com certas regras definidas de inferência sobre certas fórmulas definidas. Em vez disso, as regras se aplicam, os axiomas são verdadeiros, desde que... não os consideremos inconvenientes. Não sabemos mais em que posição nos encontramos. Uma aplicação da regra do Modus Ponens pode ser aceita enquanto outra é rejeitada: em uma ocasião, um axioma pode ser verdadeiro, e em outra, aparentemente falso. O sistema deixará de ser um sistema lógico formal, e a máquina mal se qualificará para o título de modelo da mente. Pois estará longe de se assemelhar à mente em suas operações: a mente, de fato, testa axiomas e regras de inferência duvidosos; mas se forem consideradas como levando a contradições, são rejeitadas por completo. Testamos axiomas e regras de inferência provisoriamente — é verdade —, mas não os mantemos, uma vez que se constate que levam a contradições. Podemos procurar substituí-los por outros, podemos sentir que nossa formalização é falha e que, embora algum axioma ou regra de inferência desse tipo seja necessário, não fomos capazes de formulá-lo corretamente; mas não retemos as formulações falhas sem modificação, apenas com a ressalva de que, quando o argumento leva a uma contradição, nos recusamos a segui-lo. Fazer isso seria totalmente irracional. Estaríamos na posição de que, em algumas ocasiões, quando munidos das premissas de um Modus Ponens, digamos, aplicaríamos a regra e permitiríamos a conclusão, e [266] em outras ocasiões nos recusaríamos a aplicar a regra e rejeitaríamos a conclusão. Uma pessoa, ou uma máquina, que fizesse isso sem ser capaz de dar uma boa razão para tal seria considerada arbitrária e irracional. Faz parte do conceito de "argumentos" ou "razões" que eles sejam, em certo sentido, gerais e universais: se o Modus Ponens é um método válido de argumentação quando estou estabelecendo uma conclusão desejada, também o é quando você, meu oponente, está estabelecendo uma conclusão que eu não quero aceitar. Não podemos escolher quando uma forma de argumento deve ser válida; não se quisermos ser razoáveis. É claro que, em nossos argumentos informais, que não são totalmente formalizados, distinguimos entre argumentos que à primeira vista são semelhantes, acrescentando razões adicionais pelas quais eles não são realmente semelhantes: e pode-se argumentar que uma máquina {55} também poderia ter o direito de distinguir entre argumentos à primeira vista semelhantes, se tivesse um bom motivo para fazê-lo.E poderia ainda ser sustentado que a máquina tinha bons motivos para rejeitar os padrões de argumentação que rejeitou, aliás, os melhores motivos, a saber, evitar a contradição. Mas isso, se é que se trata de um motivo, é um motivo bom demais. Não atribuímos mérito a um homem que evita a contradição simplesmente recusando-se a aceitar os argumentos que o levariam a ela, sem outro motivo (123) senão o de que, de outra forma, ele seria levado a ela. Argumentação especial, e não argumento sólido, é o nome dado a esse tipo de raciocínio. Nenhum mérito é atribuído a um homem que, suficientemente astuto para prever alguns movimentos argumentativos à frente, evita ser levado a reconhecer sua própria inconsistência, recusando-se a responder assim que percebe onde o argumento terminará. Em vez disso, consideramos-no inconsistente também, não, no caso dele, porque afirmou e negou a mesma proposição, mas porque usou e recusou-se a usar a mesma regra de inferência. Uma regra de parada ao enunciar efetivamente uma inconsistência não é suficiente para impedir que uma máquina inconsistente seja chamada de inconsistente.
Ainda permanece a possibilidade de sermos inconsistentes e de não haver uma regra de parada, mas a inconsistência é tão requintada que nunca se manifestou. Afinal, a teoria dos conjuntos ingênua, profundamente enraizada no senso comum, revelou-se inconsistente. Podemos ter certeza de que um destino semelhante não aguarda a aritmética simples Em certo sentido, não podemos, apesar da nossa grande certeza de que o nosso sistema de números inteiros, que podem ser somados e multiplicados entre si, jamais se mostrará inconsistente. É concebível que o tenhamos formalizado incorretamente. Se assim fosse, deveríamos tentar reformular o nosso conceito intuitivo de número, assim como fizemos com o nosso conceito intuitivo de conjunto. Se o fizéssemos, é claro que teríamos que reformular o nosso sistema: os nossos axiomas e regras de inferência atuais seriam [267] completamente rejeitados: não haveria qualquer questão de os usarmos ou não de forma "inconsistente". Uma vez reformulado o sistema, deveríamos estar na mesma posição em que nos encontramos agora, possuindo um sistema que acreditamos ser consistente, mas não comprovadamente. Mas então não poderia haver alguma outra inconsistência É de fato uma possibilidade. Mas, novamente, nenhuma inconsistência, uma vez detectada, será tolerada. Estamos determinados a não sermos inconsistentes e estamos resolvidos a erradicar qualquer inconsistência que surja. Assim, embora nunca possamos ter certeza absoluta ou estar completamente livres do risco de ter que repensar nossa matemática, a posição final deve ser uma das duas: ou temos um sistema de aritmética simples que, segundo nosso melhor conhecimento e crença, é consistente; ou não existe tal sistema possível. No primeiro caso, estamos na mesma posição que atualmente; no segundo, se descobrirmos que nenhum sistema contendo aritmética simples pode estar livre de contradições, teremos que abandonar não apenas toda a matemática e as ciências matemáticas, mas todo o pensamento.
Pode-se ainda sustentar que, embora um homem deva, nesse sentido, assumir, ele não pode propriamente afirmar sua própria consistência sem, com isso, contradizer suas palavras. Podemos ser consistentes; aliás, temos todos os motivos para esperar que o sejamos: mas uma necessária modéstia nos impede de afirmá-lo. Contudo, não é exatamente isso que o segundo teorema de Gödel afirma. Gödel demonstrou que, em um sistema consistente, uma fórmula (124) que declara a consistência do sistema não pode ser provada nesse sistema . Segue-se que uma máquina, se consistente, não pode produzir uma afirmação tão verdadeira de sua própria consistência: daí também que uma mente, se fosse realmente uma máquina , não poderia chegar à conclusão de que é consistente. Para uma mente que não é uma máquina, nenhuma conclusão semelhante se segue. Tudo o que Gödel provou é que uma mente não pode produzir uma prova formal da consistência de um sistema formal dentro do próprio sistema: mas não há objeção em ir para fora do sistema e nem em produzir argumentos informais para a consistência de um sistema formal ou de algo menos formal e menos sistematizado. Tais argumentos informais não poderão ser completamente formalizados: mas, afinal, o teor geral dos resultados de Gödel é que não devemos pedir, e não podemos obter, uma formalização completa. E embora fosse bom se pudéssemos obtê-las, visto que argumentos completamente formalizados são mais coercitivos do que os informais, como não podemos ter todos os nossos argumentos moldados dessa forma, não devemos criticar os argumentos informais pelo fato de serem informais, nem considerá-los totalmente inúteis. Portanto, parece-me apropriado e razoável que uma mente afirme sua própria consistência: apropriado, porque, embora as máquinas, como poderíamos esperar, sejam [268] incapazes de refletir plenamente sobre seu próprio desempenho e capacidades, ser capaz de ter autoconsciência dessa maneira é exatamente o que esperamos das mentes; e razoável, pelas razões apresentadas. Não só podemos dizer com justiça que sabemos que somos consistentes, exceto por nossos erros, como devemos, em qualquer caso, assumir que o somos, se o pensamento for possível; Além disso, somos seletivos; não diremos qualquer coisa indiscriminadamente, como fariam máquinas inconsistentes. E, finalmente, podemos, em certo sentido, decidir ser consistentes, no sentido de que podemos resolver não tolerar inconsistências em nosso pensamento e fala, e eliminá-las, caso surjam, retirando e anulando um dos elementos da contradição.
Podemos ver como quase poderíamos esperar que o teorema de Gödel distinguisse seres autoconscientes de objetos inanimados. A essência da fórmula gödeliana {57} é que ela é autorreferencial. Ela afirma que "Esta fórmula é impossível de provar neste sistema". Quando aplicada a uma máquina, a fórmula é especificada em termos que dependem da máquina em questão. A máquina está sendo questionada sobre seus próprios processos. Estamos pedindo que ela seja autoconsciente e diga o que pode e o que não pode fazer. Tais perguntas notoriamente levam a paradoxos. Nas primeiras e mais simples tentativas de filosofar, nos enredamos em questões sobre se, quando sabemos algo, sabemos que o sabemos, e sobre o que, quando pensamos em nós mesmos, estamos pensando, e o que está pensando. Depois de nos sentirmos perplexos e frustrados por esse (125) problema por um longo tempo, aprendemos a não insistir nessas questões: o conceito de um ser consciente é, implicitamente, percebido como diferente do de um objeto inconsciente. Ao afirmarmos que um ser consciente sabe algo, não estamos dizendo apenas que ele sabe, mas que sabe que sabe, e que sabe que sabe que sabe, e assim por diante, enquanto quisermos formular a pergunta: reconhecemos que há aqui uma infinitude, mas não se trata de uma regressão infinita no mau sentido, pois são as perguntas que se esgotam, por serem consideradas sem sentido, e não as respostas. As perguntas são consideradas sem sentido porque o conceito contém em si a ideia de poder continuar respondendo a tais perguntas indefinidamente. Embora os seres conscientes tenham o poder de continuar, não desejamos apresentar isso simplesmente como uma sucessão de tarefas que eles são capazes de realizar, nem vemos a mente como uma sequência infinita de eus, super-eus e super-super-eus. Em vez disso, insistimos que um ser consciente é uma unidade e, embora falemos de partes da mente, fazemos isso apenas como uma metáfora, e não permitiremos que seja interpretada literalmente.
Os paradoxos da consciência surgem porque um ser consciente pode estar ciente de si mesmo, bem como de outras coisas, e ainda assim não pode [269] ser realmente interpretado como divisível em partes. Isso significa que um ser consciente pode lidar com questões gödelianas de uma maneira que uma máquina não pode, porque um ser consciente pode considerar a si mesmo e seu desempenho e ainda assim não ser diferente daquilo que realizou o desempenho. Uma máquina pode ser feita, por assim dizer, para "considerar" seu próprio desempenho, mas não pode levar isso "em conta" sem se tornar uma máquina diferente, ou seja, a velha máquina com uma "nova peça" adicionada. Mas é inerente à nossa ideia de uma mente consciente que ela possa refletir sobre si mesma e criticar seus próprios desempenhos, e nenhuma peça extra é necessária para isso: ela já é completa e não tem calcanhar de Aquiles.
A tese, portanto, começa a se tornar mais uma questão de análise conceitual {58} do que de descoberta matemática. Isso é corroborado ao considerarmos outro argumento apresentado por Turing. 11 Até agora, construímos apenas artefatos bastante simples e previsíveis. Quando aumentarmos a complexidade de nossas máquinas, talvez haja surpresas reservadas para nós. Ele traça um paralelo com uma pilha de fissão. Abaixo de um certo tamanho "crítico", nada de muito significativo acontece; mas acima do tamanho crítico, as faíscas começam a voar. Talvez o mesmo ocorra com cérebros e máquinas. A maioria dos cérebros e todas as máquinas são, atualmente, "subcríticos" — reagem aos estímulos recebidos de maneira monótona e desinteressante, não têm ideias próprias e só conseguem produzir respostas padronizadas —, mas alguns cérebros atualmente, e possivelmente algumas máquinas no futuro, são supercríticos e brilham por conta própria. (126) Turing está sugerindo que é apenas uma questão de complexidade e que acima de um certo nível de complexidade surge uma diferença qualitativa, de modo que as máquinas "supercríticas" 44 serão bastante diferentes das máquinas simples até então previstas.
Isso pode ser verdade. A complexidade muitas vezes introduz diferenças qualitativas. Embora pareça implausível, pode ser que, acima de um certo nível de complexidade, uma máquina deixe de ser previsível, mesmo em princípio, e comece a agir por conta própria, ou, para usar uma expressão bastante reveladora, comece a ter uma mente própria. Ela começaria a ter uma mente própria quando não fosse mais totalmente previsível e dócil, mas capaz de realizar ações que reconhecemos como inteligentes, e não apenas erros ou disparos aleatórios, mas que não havíamos programado nela. Mas então ela deixaria de ser uma máquina, no sentido estrito do termo. O que está em jogo no debate mecanicista não é como as mentes são, ou poderiam ser, criadas, mas como elas operam. É essencial para a tese mecanicista que o modelo mecânico da mente opere de acordo com [270] os "princípios mecânicos", isto é, que possamos entender o funcionamento do todo em termos do funcionamento de suas partes, e que o funcionamento de cada parte seja determinado por seu estado inicial e pela construção da máquina, ou seja uma escolha aleatória entre um número determinado de operações determinadas. Se o mecanicista produzir uma máquina tão complexa que isso deixe de ser válido, então ela não será mais uma máquina para os propósitos de nossa discussão, não importa como tenha sido construída. Diríamos, antes, que ele criou uma mente, no mesmo sentido em que procriamos pessoas atualmente. Haveria então duas maneiras de trazer novas mentes ao mundo: a maneira tradicional, gerando filhos de mulheres, e uma nova maneira, construindo sistemas muito, muito complexos de, digamos, válvulas {59} e relés. Ao falar da segunda forma, devemos ter o cuidado de salientar que, embora o que foi criado parecesse uma máquina, na verdade não o era, pois não se tratava apenas da soma de suas partes. Não era possível prever o que faria apenas conhecendo a forma como foi construído e o estado inicial de suas partes: não era possível sequer determinar os limites do que poderia fazer, pois mesmo quando confrontado com uma questão do tipo Gödel, o sistema acertou a resposta. De fato, devemos dizer brevemente que qualquer sistema que não fosse derrotado pela questão de Gödel não era, por si só, uma máquina de Turing, ou seja, não era uma máquina no sentido estrito do termo.
Se a prova da falsidade do mecanicismo for válida, ela terá a maior consequência para toda a filosofia. Desde a época de Newton, o fantasma do determinismo mecanicista tem obcecado os filósofos. Se quiséssemos ser científicos, parecia que deveríamos considerar os seres humanos como (127) autômatos determinados, e não como agentes morais autônomos; se quiséssemos ser morais, parecia que deveríamos negar à ciência o que lhe é devido, impor um limite arbitrário ao seu progresso na compreensão da neurofisiologia humana e refugiar-nos no misticismo obscurantista. Nem mesmo Kant conseguiu resolver a tensão entre os dois pontos de vista. Mas agora, embora muitos argumentos contra a liberdade humana ainda persistam, o argumento do mecanicismo, talvez o mais convincente de todos, perdeu sua força. Não será mais, por esse motivo, obrigatório ao filósofo natural negar a liberdade em nome da ciência; não sentirá mais o impulso de abolir o conhecimento para dar lugar à fé. Podemos até começar a vislumbrar como poderia haver espaço para a moralidade, sem que seja necessário abolir ou mesmo circunscrever o domínio da ciência. Nosso argumento não estabeleceu limites para a investigação científica: ainda será possível investigar o funcionamento do cérebro. Ainda será possível produzir modelos mecânicos da mente. Só que agora podemos ver que nenhum modelo mecânico será completamente adequado, nem quaisquer explicações [271] em termos puramente mecanicistas. Podemos produzir modelos e explicações, e eles serão esclarecedores: mas, por mais que cheguem, sempre haverá mais a ser dito. Não há limites arbitrários para a investigação científica: mas nenhuma investigação científica jamais poderá esgotar a infinita variedade da mente humana. 12
Algumas objeções de Benacerraf e Putman são consideradas em "Satan Stultified".
Uma análise mais completa, na qual outras objeções são consideradas, é apresentada em J. R. Lucas, The Freedom of the Will , Oxford, 1970. A maioria dos críticos concentra suas críticas em "Minds, Machines and Gödel", sem levar em conta The Freedom of the Will . Nos últimos anos, o livro esteve esgotado. Mas, por iniciativa da OUP, ele está novamente disponível. Exemplares únicos são impressos. Recomendo-o àqueles que consideram haver lacunas no artigo aqui reproduzido. (Espero, futuramente, digitalizar as páginas relevantes e disponibilizá-las na internet, mas tenho muitas outras prioridades.)
Veja também " Vire a Página", uma palestra que apresentei em 25/05/96 em uma conferência da BSPS em Oxford.
e “Mentes, Máquinas e Gödel: Uma Retrospectiva ”, em P.J.R. Millican e A. Clark, eds., Máquinas e Pensamento: O Legado de Alan Turing , Oxford, 1996, pp. 103-124.
Uma discussão completa das questões levantadas está agora disponível em Etica e Politica , 2003.
O Google Acadêmico apresenta um grande número (cerca de 242) de referências a discussões críticas.
Uma lista antiga de críticas e discussões sobre o argumento gödeliano. Clique aqui para retornar à página inicial.