Relembre a descrição de Bell sobre o processo de emaranhamento, com sua suposição de que primeiro uma medição é feita e a outra medição é feita posteriormente.

Se a medição da componente σ ₁ • a , onde a é algum vetor unitário, resultar no valor + 1, então, de acordo com a mecânica quântica, a medição de σ ₂ • a deve resultar no valor - 1 e vice-versa... Como podemos prever antecipadamente o resultado da medição de qualquer componente escolhida de σ ₂ , medindo previamente a mesma componente de σ ₁ , segue-se que o resultado de qualquer medição desse tipo deve, na verdade, ser predeterminado.

Como o colapso da função de onda de duas partículas é _{indeterminado} , nada é predeterminado , embora σ₂ tenha _, de fato, sinal oposto (para conservar o momento de spin) assim que σ₁ for medido. Aqui, Bell descreve a medição "seguinte" como sendo na mesma direção da medição "anterior". Na descrição de Bell, Bob está medindo "o mesmo componente" que Alice, o que significa que ele mede no mesmo ângulo que Alice.

Se Bob fizer medições em uma direção de rotação diferente da de Alice (uma componente de rotação diferente), suas medições perderão a correlação perfeita, inicialmente de forma lenta para um ângulo pequeno. À medida que o ângulo entre as medições aumenta, a correlação diminui com o quadrado do cosseno do ângulo. Curiosamente, a desigualdade de Bell para variáveis ocultas locais prevê uma diminuição linear com o ângulo. Tentaremos entender como Bell chegou a uma dependência linear do ângulo para o que ele chamou de seu modelo ad hoc e, posteriormente, de sua "desigualdade". É essa dependência linear que leva o politopo de Bell a ser um quadrado.

Os defensores da Interpretação de Copenhague afirmam que as propriedades das partículas (como o momento angular ou linear) não existem até serem medidas. Foi Pascual Jordan quem afirmou que a medição cria o valor de uma propriedade. Isso é verdade quando a preparação do estado se dá em uma combinação linear desconhecida ( superposição ) de estados quânticos.

Em nosso caso, as partículas emaranhadas foram preparadas em uma superposição de estados, mas ambas possuem spin total zero.

Assim, qualquer que seja o estado criado pela preparação, ele colocará as duas partículas em estados de spin opostos, aleatoriamente + - ou - + , mas ainda corroborando a visão de Bell de que elas estarão perfeitamente (anti-)correlacionadas quando medidas exatamente no mesmo ângulo (medindo a mesma componente de spin).

Wolfgang Pauli chamou isso de "medição de primeira espécie", quando um sistema é preparado em um determinado estado e, se medido novamente, certamente será encontrado no mesmo estado. (Essa é a base do efeito Zeno quântico .)

Já que nossos dois elétrons foram preparados com um spin para cima e o outro para baixo, o que poderia possivelmente causar uma mudança em seus spins, por exemplo, para ambos na mesma direção, ou, como afirma Copenhagen, simplesmente fazer com que ambos os spins deixassem de ser definidos até a próxima medição?

Enquanto nada interferir com qualquer uma das partículas emaranhadas em sua jornada até os detectores distantes, elas permanecerão perfeitamente correlacionadas, se (e somente se) forem medidas no mesmo ângulo. Caso contrário, as correlações deverão diminuir com o cosseno (ou talvez o quadrado do cosseno?) da diferença angular.

Podemos ilustrar as previsões de linha reta das desigualdades de Bell para variáveis ocultas locais, as curvas cosseno previstas pela mecânica quântica e pela conservação do momento angular, e as estranhas "quebras" nos ângulos de 0°, 90°, 180° e 270°, com o que é chamado de "caixa de Popescu-Rorhlich".
Esta caixa quadrada também é chamada de politopo de Bell.

A figura mostra a previsão de Bell sobre as variáveis ocultas locais como quatro linhas retas no quadrado interno. A região circular das correlações da mecânica quântica encontra-se fora das linhas retas de Bell, "violando" suas desigualdades. A mecânica quântica e as desigualdades de Bell se encontram nos vértices, onde as previsões de Bell mostram um ângulo reto distintamente não físico, que Bell chamou de "dobra".

Todos os resultados experimentais encontrados se situam ao longo das previsões quânticas curvas denominadas "limite de Tsirelson".

Em 1976, Bell nos apresentou este diagrama das "dobras" em sua desigualdade de variáveis ocultas locais. Ele diz:

Ao contrário da correlação quântica, que é estacionária em θ quando θ = 0 , na variável oculta a correlação deve apresentar uma inflexão nesse ponto.

("Experimentos de Einstein-Podolsky-Rosen", republicado em " Falável e Indizível na Mecânica Quântica ", 1987, p. 85)

Bell não nos oferece nenhuma explicação física sobre o formato quadrado "tortuoso" de sua desigualdade de "variáveis ocultas locais".

Em seu famoso artigo de 1981 sobre as "Meias de Bertlmann", Bell explica que as previsões para seu modelo " ad hoc " são lineares na diferença angular |a - b|, e observa o fato de que sua desigualdade só concorda com as previsões quânticas nos vértices do quadrado das previsões lineares acima, e não em ângulos intermediários .

Para explicar as correlações de Einstein-Podolsky-Rosen-Bohm, basta assumir que as duas partículas emitidas pela fonte possuem eixos magnéticos com direções opostas. Assim, se o eixo magnético de uma partícula estiver mais alinhado (do que oposto) a um campo de Stern-Gerlach, o eixo magnético da outra partícula estará mais oposto (do que alinhado) a um campo de Stern-Gerlach paralelo. Portanto, quando uma partícula é desviada para cima, a outra é desviada para baixo, e vice-versa. Do ponto de vista einsteiniano, não há nada de problemático ou incompreensível nessas correlações, com analisadores de Stern-Gerlach paralelos.

Até aqui tudo bem. Mas agora vamos um pouco além e consideremos ímãs de Stern-Gerlach não paralelos. Suponha que o primeiro seja girado, em relação a uma posição padrão em torno da linha de voo da partícula, por um ângulo α . Suponha que o segundo seja girado da mesma forma por um ângulo β . Então, se o eixo magnético de qualquer uma das partículas separadamente estiver orientado aleatoriamente, mas se os eixos das partículas de um dado par estiverem sempre orientados em sentidos opostos, um breve cálculo fornece as probabilidades dos vários resultados possíveis, no modelo ad hoc ,...

P(cima, baixo) = P(baixo, cima) = 1/2 - |a-b|/2π

onde 'para cima' e 'para baixo' são definidos em relação aos campos magnéticos dos dois ímãs. No entanto, um cálculo de mecânica quântica fornece

P(para cima, para baixo) = P(para baixo, para cima) = 1/2 - 1/2(sen(a - b)/2) ² [ = 1/2(cos(a - b)/2) ² ]

Assim, o modelo ad hoc faz o que lhe é exigido (ou seja, reproduz resultados da mecânica quântica) apenas em ( a — b ) = 0, ( a - b ) = π/2 e ( a — b ) = π, mas não em ângulos intermediários.

("As meias de Bertlmann e a natureza da realidade", republicado em " Falável e Indizível na Mecânica Quântica ", 1987, p. 146)

Qual foi o "cálculo rápido" de Bell que fornece "as probabilidades de resultados possíveis" em seu modelo ad hoc como linearmente proporcionais ao ângulo |a-b|?

E o que exatamente foi o "cálculo mecânico quântico" de Bell que nos dá probabilidades proporcionais ao cosseno do ângulo |a-b| ao quadrado?

Bell não nos fornece nenhuma razão física subjacente para a dependência linear do ângulo. Ele claramente sabe que sua "desigualdade" linear representa um forte desafio à previsão do cosseno curvo da mecânica quântica.

E a estranha previsão de Bell sobre cantos agudos ou "dobras", onde suas linhas retas fazem uma curva de noventa graus (é somente nesses cantos que sua desigualdade linear concorda com a mecânica quântica curva), certamente deveria ter levado Bell a nos dar uma explicação mais profunda de seu teorema?

Quando John Clauser escreveu a Bell sugerindo um teste experimental de sua desigualdade, Bell respondeu:

"Considerando o sucesso geral da mecânica quântica, é muito difícil para mim duvidar do resultado de tais experimentos. No entanto, eu preferiria que esses experimentos, nos quais os conceitos cruciais são testados de forma muito direta, tivessem sido realizados e os resultados registrados."

E acrescentou:

"Além disso, sempre existe a possibilidade de um resultado inesperado, que abalaria o mundo."

A Era do Enredamento , de Louisa Gilder, pág. 256.

Clauser mais tarde chamou Gilder de volta.

"Sendo um jovem estudante nesta era de pensamento revolucionário, naturalmente quis 'sacudir o mundo'."

Ibid. .

A dependência do quadrado do cosseno é a chamada " lei de Malus " para polarizadores cruzados, conforme apontado por Abner Shimony em seu artigo na Stanford Encyclopedia sobre o Teorema de Bell .

Paul Dirac ensinou seu "princípio da superposição" com polarizadores cruzados em seu livro didático de 1930, Os Princípios da Mecânica Quântica .

Descobrimos que David Bohm e John Bell, implicitamente , e Eugene Wigner, explicitamente , usaram a conservação do momento angular (ou do spin da partícula) para nos dizer que, se um elétron com spin 1/2 for medido como "para cima", o outro deve estar com spin para baixo. Assim como Albert Einstein usou implicitamente a conservação do momento linear no desenvolvimento do Paradoxo EPR .

David Bohm e Yakir Aharonov escreveram em 1957,

Consideramos uma molécula de spin total zero constituída por dois átomos, cada um com spin meio. A função de onda do sistema é, portanto,

ψ = (1/√2) [ ψ ₊ (1) ψ _- (2) - ψ _- (1) ψ ₊ (2) ]

onde ψ ₊ (1) se refere à função de onda do estado atômico no qual uma partícula (A) tem spin +ℏ/2, etc. Os dois átomos são então separados por um método que não influencia o spin total. Depois de estarem suficientemente separados para que cessem de interagir, qualquer componente desejada do spin da primeira partícula (A) é medida. Então, como o spin total ainda é zero, pode-se concluir imediatamente que a mesma componente do spin da outra partícula (B) é oposta à de A.

("Discussão da prova experimental do paradoxo de Einstein, Rosen e Podolsky", Physical Review , vol. 108, nº 4, p. 1070, 1957)

Eugene Wigner escreveu em 1963

Se uma medição do momento de uma das partículas for realizada — a possibilidade disso nunca é questionada — e o resultado for p , o vetor de estado da outra partícula torna-se repentinamente uma onda plana (ligeiramente amortecida) com momento -p . Essa afirmação é sinônima da afirmação de que uma medição do momento da segunda partícula resultaria em -p , como decorre da lei de conservação do momento linear. A mesma conclusão pode ser obtida também por meio de um cálculo formal dos possíveis resultados de uma medição conjunta dos momentos das duas partículas.

Escrevendo alguns anos depois de Bohm e um ano antes de Bell, Wigner descreve explicitamente o exemplo de Einstein sobre a conservação do momento linear, bem como a conservação do momento angular (spin), que explica as correlações perfeitas entre as componentes do momento angular (spin) medidas na mesma direção.

Pode-se ir ainda mais longe: em vez de medir o momento linear de uma partícula, pode-se medir seu momento angular em torno de um eixo fixo. Se essa medição resultar no valor mℏ , o vetor de estado da outra partícula torna-se repentinamente uma onda cilíndrica para a qual a mesma componente do momento angular é -mℏ . Essa afirmação é novamente sinônima da afirmação de que uma medição da referida componente do momento angular da segunda partícula certamente resultaria no valor -mℏ . Isso pode ser inferido novamente da lei da conservação do momento angular (que é zero para as duas partículas juntas) ou por meio de uma análise formal.

( O Problema da Medição , Eugene Wigner, em Wheeler e Zurek, Medição Quântica , p. 340)

John Bell escreveu em 1964,

Tomando como exemplo Bohm e Aharonov, o argumento EPR é o seguinte. Considere um par de partículas de spin um-meio formadas de alguma forma no estado de spin singleto e movendo-se livremente em direções opostas. Medições podem ser feitas, digamos, por meio de ímãs de Stern-Gerlach, em componentes selecionados dos spins _{σ₁ e} σ₂ . Se a medição do componente σ₁ • a _, onde a é algum vetor unitário, resultar no valor +1, então, de acordo com a mecânica quântica, a medição de _σ₂ • a deve resultar no valor -1 e vice-versa. Agora, formulamos a hipótese, que parece, no mínimo, digna de consideração, de que se as duas medições forem feitas em locais distantes um do outro, a orientação de um ímã não influencia o resultado obtido com o outro.

" Pré-determinação " é um termo muito forte. A primeira medição apenas "determina" a medição posterior. Veremos que a segunda medição é síncrona com a "primeira" em um referencial "especial".

Uma vez que podemos prever antecipadamente o resultado da medição de qualquer componente escolhido de σ ₂ , medindo previamente o mesmo componente de σ ₁ , conclui-se que o resultado de qualquer medição desse tipo deve, na verdade, ser predeterminado.

Uma vez que a função de onda mecânica quântica inicial não determina o resultado de uma medição individual, essa predeterminação implica a possibilidade de uma especificação mais completa do estado.

(" Sobre o paradoxo de Einstein-Podolsky-Rosen ", Física , 1.3, p. 195.)

Assim como Bohm e Wigner, Bell está usando implicitamente a conservação do spin total.

Albert Einstein apresentou o mesmo argumento em 1933, pouco antes do EPR , embora com a conservação do momento linear , perguntando a Leon Rosenfeld:

Suponha que duas partículas sejam colocadas em movimento uma em direção à outra com o mesmo momento linear, muito grande, e que interajam entre si por um intervalo de tempo muito curto ao passarem por posições conhecidas. Considere agora um observador que captura uma das partículas, longe da região de interação, e mede seu momento linear: então, pelas condições do experimento, ele obviamente poderá deduzir o momento linear da outra partícula. Se, no entanto, ele optar por medir a posição da primeira partícula, poderá determinar a posição da outra partícula.

( Niels Bohr, Sua Vida e Obra vistas por Seus Amigos e Colegas , 1967, S. Rozental, pp. 128-129)

Os defensores da Interpretação de Copenhague afirmam que as propriedades das partículas (como o momento angular ou linear) não existem até serem medidas. Foi Pascual Jordan quem afirmou que a medição cria o valor de uma propriedade. Isso é verdade quando a preparação do estado se dá em uma combinação linear desconhecida ( superposição ) de estados quânticos.

E, no nosso caso, a mecânica quântica descreve as partículas emaranhadas como preparadas em uma superposição de estados de duas partículas, mas observe que ambos os estados têm spin total zero.

Agora, esse estado emaranhado inicial é esfericamente simétrico e invariante rotacionalmente. Ele não possui uma direção de spin preferencial que possa "pré-determinar" as direções que serão encontradas por Alice e Bob, como Bell descreveu.

A direção preferencial é criada pela medição de Alice, ou pela de Bob, caso ele meça primeiro no "referencial especial" em que Alice e Bob estão "em repouso" e equidistantes do local do emaranhamento inicial.

Vamos supor que Alice mede primeiro e obtém spin +1/2. O estado preparado foi projetado (aleatoriamente) em ψ ₊ (1) ψ _- (2) .

Mas, o mais importante, a medição de Alice estabelece o ângulo de sua medição de rotação — o ângulo de seu ímã de Stern-Gerlach no plano x,y. Werner Heisenberg afirma que é uma escolha livre dela medir a componente x. Como descrito na Interpretação de Copenhague, Alice traz essa propriedade da componente x à existência. (Essa foi a contribuição de Pascual Jordan para a interpretação.)

Não havia componente x ou y no emaranhamento preparado invariante rotacionalmente.

Paul Dirac salientou que o valor real da propriedade depende daquilo que ele chama de "escolha da natureza". O estado preparado inicial (1) poderia igualmente ter colapsado em ψ _- (2) . Esta é a fonte da aleatoriedade quântica que é crucial para a criptografia quântica.

Qualquer que seja o estado projetado pela medição de Alice, ele quebra a simetria esférica original e coloca as duas partículas em estados de spin opostos (no plano de sua medição), aleatoriamente + - ou - +, apoiando as ideias de Bohm, Wigner e Bell, de que as partículas serão perfeitamente (anti-)correlacionadas quando medidas.

Em nosso exemplo, como Alice mediu a componente x do spin como +1/2, Bob necessariamente (e devido à conservação do momento angular) medirá a componente x como -1/2.

Como vimos acima, Wolfgang Pauli chamou de "medição de primeira espécie" quando um sistema é preparado em um estado, de modo que, ao ser medido, certamente será encontrado no mesmo estado.

Contanto que nada interfira com as partículas emaranhadas em sua jornada até os detectores distantes (exceto talvez a decoerência ?), elas serão consideradas perfeitamente correlacionadas se (e somente se) forem medidas no mesmo ângulo (em nosso caso, a componente x). Caso contrário, as correlações devem diminuir com o quadrado do cosseno da diferença angular. É estranho que Bell tenha aceitado uma desigualdade que prevê que as correlações diminuem com o ângulo como uma função linear não física com "quebras".

Em qualquer caso, as leis de conservação nos dizem que, quando qualquer uma das partículas é medida, conhecemos instantaneamente as propriedades da outra partícula, incluindo sua localização equidistante, mas no lado oposto da interação de emaranhamento, e todas as outras propriedades conservadas, como o spin.

Mas isso não é " ação à distância ". É apenas " conhecimento à distância ".

Um estudo mais recente (2005) que demonstra que as correlações nos testes de Bell resultam da conservação do momento angular é " Correlation functions, Bell's inequalities and the fundamental conservation laws ", de CS Unnikrishnan, do Instituto Tata, na Índia. Ele também discute as peculiaridades nas previsões lineares de Bell para as correlações, em comparação com a curva da lei de conservação .

Normal | Professor | Pesquisador