Cherchons à évaluer, en partant de la loi de Newton sur l'attraction universelle, la déviation que ferait subir à une molécule, dans l'intervalle de deux chocs, le déplacement d'une masse extrêmement petite située à une très grande distance. Sous l'action de l'attraction terrestre un corps pesant tombe en une seconde de 5 mètres environ; en 10^-10 seconde, il tombera d'une quantité 10^-20 fois plus petite; si, au lieu du globe terrestre, nous considérons une petite sphère concentrique de même densité et dont les dimensions linéaires seraient 10¹⁷ fois plus faibles (la circonférence d'un grand cercle étant 4 dix-millionièmes de millimètre au lieu de 40 millions de mètres), la masse de cette sphère étant 10⁵¹ fois plus faible que celle de la terre, la déviation serait encore fois plus petite, soit 10²⁰ X 10⁵¹ = 10⁷¹ fois plus petite. Transportons maintenant cette sphère minuscule au delà des extrémités de l'univers visible, en un point d'où la lumière met des milliards d'années pour nous parvenir, au lieu qu'elle mettrait un cinquantième de seconde pour venir du centre de la terre; la distance étant environ 10¹⁸ fois plus grande, l'attraction devient 10³⁶ fois plus faible; la déviation est donc en définitive 10²⁶ X 10⁷¹ = 10¹⁰⁷ fois plus faible. Enfin, par un calcul analogue que j'omets, on aurait la valeur de la déviation qui correspondrait, non plus à l'action de la sphère minuscule placée à cette distance prodigieuse, mais au simple effet d'un déplacement d'un millionième de millimètre dans la position d'une telle sphère à une 'telle distance. Même en accumulant ainsi les hypothèses de nature à rendre l'action aussi faible que possible, on n'arrivera même pas à diviser la déviation par 10²⁰⁰, c'est-à-dire que les variations produites par une telle action dans la trajectoire d'une molécule sont colossalement grandes par rapport à ce qui nous a été nécessaire pour notre raisonnement: La représentation d'une masse gazeuse par un modèle unique, formé de molécules dont les positions et les vitesses à un instant donné sont rigoureusement déterminées, est donc une pure fiction abstraite; on ne peut se rapprocher de la réalité qu'en imaginant un faisceau de modèles, c'est-à-dire en attribuant aux données initiales une certaine indétermination. Si faible que soit cette indétermination, si faible aussi que l'on suppose l'indétermination des forces extérieures, l'effet des chocs disperse très rapidement les faisceaux de trajectoires supposés infiniment déliés et le problème du mouvement ultérieur des molécules devient, en très peu de secondes, très indéterminé, en ce sens qu'un nombre colossalement grand de possibilités différentes sont a priori également probables. Bien entendu, en un instant précis, actuel, une seule de ces possibilités est réalisée, mais l'indétermination renaît aussi considérable dès que l'on se pose le problème de l'état à une époque future, même très voisine. La seule forme sous laquelle le problème puisse être posé et résolu est donc la forme statistique : le très grand nombre des éventualités possibles peut-il être séparé. en deux groupes très inégaux, toutes celles qui sont réunies dans le groupe le plus nombreux ayant certains caractères communs C'est ainsi que si l'on envisage toutes les éventualités possibles pour la succession d'un milliard de parties de pile ou face, on peut constituer un premier groupe avec les cas où l'écart est inférieur à .000.000, où par conséquent le nombre de parties gagnées est compris entre 499.000.00o et 501.000.000, et un second groupe avec tous les autres cas. Le premier groupe étant extrêmement plus nombreux que le premier, il est infiniment vraisemblable que l'événement qui sera réalisé appartiendra à ce premier groupe, c'est-à-dire possédera ce caractère que le rapport du nombre des parties pile au nombre des parties face sera compris entre 0,996 et 1,004. Les conclusions auxquelles aboutit l'application des méthodes statistiques à l'étude des problèmes de la théorie cinétique sont de même nature que la conclusion précédente ; d'ailleurs, en raison du très grand nombre des molécules, ils sont encore plus précis ; quant au sens qu'il faut attribuer aux mots infiniment vraisemblable, nous-ne pouvons que renvoyer à la comparaison du miracle des singes dactylographes.

68. — Lorsque l'on pose sous la forme précédente les problèmes de la mécanique statistique, l'objection dite objection de Loschmidt peut être aisément levée. Cette objection est la suivante. L'application de la théorie cinétique à l'étude des phénomènes thermodynamiques conduit à rendre compte de phénomènes irréversibles, tel que l'établissement de l'équilibre de température entre deux corps mis en contact. Or, la théorie cinétique utilise des phénomènes mécaniques qui sont tous réversibles, c'est-à-dire que les équations qui représentent ces phénomènes ne sont pas modifiées lorsque l'on change le signe du temps. Sous une forme plus concrète, si l'on conçoit qu'à un instant donné, on fasse rebrousser chemin à chaque molécule en lui imprimant une vitesse exactement opposée à sa vitesse actuelle, tout se passera comme si, le mouvement ayant été cinématographie, on projetait le film à l'envers, en commençant par les portions les plus récentes. Il n'est donc pas possible, objecte Loschmidt, d'expliquer par un tel mécanisme réversible des phénomènes irréversibles. Cette objection tombe lorsque l'on s'est bien rendu compte du caractère nécessairement statistique des explications mécaniques; on ne cherche pas à déterminer l'allure rigoureusement définie des phénomènes mécaniques moléculaires, mais l'allure la plus probable parmi toutes les allures possibles; cette indétermination de l'avenir est le principe même de la mécanique statistique; mais on ne saurait parler d'indétermination du passé, et c'est pourquoi la distinction entre le passé et l'avenir, c'est- à-dire la dissymétrie du principe de Carnot en ce qui concerne le signe du temps, n'est pas contradictoire avec une explication mécanique des faits thermodynamiques. Nous reviendrons plus loin (ch. x) sur la discussion de la théorie de l'irréversibilité.

Je voudrais dire ici quelques mots des remarques de Boltzmann sur l'application du deuxième principe à l'univers. Comme le dit fort justement Boltzmann, «assurément personne ne prendra de telles spéculations pour d'importantes découvertes, ni pour le but le plus élevé de la science, comme le faisaient les anciens philosophes. Mais il n'est pas certain qu'il soit juste de les tourner en dérision et de les regarder comme. tout à fait oiseuses». Boltzmann développe une conception mécanique de l'univers, dans laquelle il se produit, çà et là, des passages d'un état plus probable à un état moins probable, de sorte que, pour l'univers entier, l'irréversibilité n'existe pas. Cette conception est rigoureuse au point de vue abstrait si l'univers est un système mécanique pouvant être défini par un nombre fini de paramètres dont le champ total de variation est fini. Admettons, pour un instant, que nous puissions accepter cette image pour l'univers que nous voyons, c'est-à-dire que nous puissions fixer un nombre très grand R, tel qu'il n'y ait jamais rien à l'extérieur de la sphère S de rayon R ; cette sphère S sera notre univers ; l'évolution de cet univers sera, d'après un théorème de Poincaré, aussi voisine que l'on veut d'une évolution pério. dique et, dans des périodes immensément longues, les phénomènes en contradiction avec le second principe y seront aussi fréquents que les phénomènes en accord avec ce principe. En laissant même de côté les difficultés — cependant à mon avis insurmontables — entraînés par l'hypothèse que rien ne sort de la sphère S, il faut observer que la conclusion n'est rigoureuse qu'autant que nous supposons absolue l'inexistence de toute action extérieure à S. Imaginons, avec O. Chwolson I, une sphère S, dont les dimensions par rapport à S seraient celles de S par rapport à un atome, puis une sphère S. qui serait à S, ce que S, est à S, et ainsi de suite jusqu'à une sphère S„ dont l'indice n serait égal à un million. Pour que l'application à S de la théorie mécanique de la quasi-périodicité due à Poincaré fût légitime, il faudrait que nous fussions assurés qu'il n'y a pas, aux confins de S,,, quelque univers St de mêmes dimensions que S bien que probablement très différent de S et pouvant, dans le cours des temps, agir sur S. Car la durée des temps nécessaires pour l'application du théorème de Poincaré est tellement longue qu'une rencontre de S avec S' serait infiniment probable, bien avant que ces temps fussent écoulés. Ceci revient à dire qu'il est au moins aussi vraisemblable de supposer que les lois de notre univers seront complètement modifiées par une combinaison avec un autre univers (actuellement infiniment plus éloigné de lui qu'un atome situé sur la Terre n'est éloigné d'un atome situé sur Sirius) que de supposer un changement de sens appréciable dans la variation de l'entropie.

En d'autres termes, l'évolution régulière vers des états de plus en plus probables me paraît, contrairement à la conception de Boltzmann, devoir être admise pour l'univers entier, du moment qu'on ne le regarde pas comme un système fini isolé pour toujours dans une portion finie de l'espace, de laquelle rien ne peut sortir, ni matière, ni énergie, ni rayonnement et dans laquelle rien ne peut entrer.¹

Buscamos avaliar, a partir da lei da gravitação de Newton, o desvio de uma molécula, entre duas colisões, causado pelo deslocamento de uma massa extremamente pequena situada a uma grande distância. Sob a ação da gravidade, um corpo pesado cai em um segundo cinco metros; em 10 ^-10 segundos, cairá por uma quantidade 10 ^-20 vezes menor; se, em vez da Terra, considerarmos uma pequena esfera concêntrica com a mesma densidade e cujas dimensões lineares sejam 10 ¹⁷ vezes menores (a circunferência de um círculo máximo é de 4 décimos de milionésimo de milímetro em vez de 40 milhões de metros), sendo a massa da esfera 10 ⁵¹ vezes menor que a da Terra, o desvio seria ainda menor, 10 ²⁰ X 10 ⁵¹ = 10 ⁷¹ vezes menor. Agora, deslocando essa pequena esfera para além dos confins do universo visível, em um ponto onde a luz leva bilhões de anos para nos alcançar, em vez de levar um quinquagésimo de segundo para vir do centro da Terra, sendo a distância cerca de 10 ¹⁸ vezes maior, a atração torna-se 10 ³⁶ vezes menor, e o desvio final é 10 ²⁶ X ^{71 X 10} = 10 ¹⁰⁷ vezes menor. Por fim, em um cálculo semelhante que omito, o valor do desvio corresponderia ou à ação da minúscula esfera colocada a essa distância prodigiosa, ou ao simples efeito de mover um milionésimo de milímetro na posição de tal esfera tão distante.

Mesmo acumulando as hipóteses suscetíveis de tornar a ação o menor possível, não podemos sequer dividir o desvio por 10²⁰⁰, isto é, as alterações produzidas por tal ação na trajetória de uma molécula são colossalmente grandes em comparação com o que se fez necessário para a nossa argumentação: a representação de uma massa gasosa por um único modelo, constituído de moléculas cujas posições e velocidades em um dado momento sejam rigorosamente determinadas, é pura ficção abstrata; ela não pode estar mais próxima da realidade do que imaginar uma pilha de modelos, isto é, atribuir aos dados iniciais certa incerteza. Por mais fraca que seja essa incerteza, por menor que se suponha a incerteza das forças externas, o efeito das colisões dispersa rapidamente os feixes de trajetórias supostos como traços infinitamente tênues, e o problema do movimento subsequente das moléculas torna-se, em uma fração muito curta de segundos, sumamente indeterminado, no sentido de que um número imenso de possibilidades diferentes são a priori igualmente prováveis. É claro que, em um dado momento, hoje, apenas uma dessas possibilidades se realiza, mas a incerteza renasce tão grande quanto antes assim que se trata do problema do estado em um momento futuro, mesmo muito próximo. A única forma pela qual o problema pode ser posto e resolvido é a forma estatística: o grande número de contingências possíveis pode ser separado em dois grupos muito desiguais, todos aqueles reunidos no grupo maior com certas características comuns? Assim, se considerarmos todas as contingências possíveis para o estado de um bilhão de partidas de cara ou coroa, pode haver um primeiro grupo com o caso em que o desvio é inferior a 1.000.000, onde o número de jogos ganhos está entre 499.000.000 e 501.000.000, e um segundo grupo com todos os outros casos. O primeiro grupo é incomparavelmente maior que o segundo; é altamente provável que o evento que se realizará pertença ao primeiro grupo, isto é, que apresentará a característica de que a razão entre o número de coroas e caras estará entre 0,996 e 1,004. As conclusões alcançadas pela aplicação de métodos estatísticos ao estudo dos problemas da teoria cinética são de natureza semelhante à conclusão anterior e, de fato, por causa do grande número de moléculas, são ainda mais precisas quanto ao sentido a ser atribuído às palavras altamente provável; só podemos nos remeter à comparação do milagre dos macacos datilografando.

68. — Ao examinarmos, como temos feito, os problemas da mecânica estatística, a objeção chamada objeção de Loschmidt pode ser facilmente afastada. Essa objeção é a seguinte: a aplicação da teoria cinética ao estudo dos fenômenos termodinâmicos levou à explicação de fenômenos irreversíveis, tais como o estabelecimento do equilíbrio de temperatura entre dois corpos em contato. No entanto, a teoria cinética utiliza fenômenos mecânicos que são todos reversíveis, isto é, as equações que representam esses fenômenos não se modificam ao mudar o sinal do tempo. Para ser mais concreto, se pensarmos, em um dado instante, que poderíamos reverter cada molécula dando-lhe uma velocidade exatamente oposta à sua velocidade atual, tudo se passa como se estivéssemos projetando um filme de trás para a frente, começando pelas partes mais recentes. Não é, portanto, possível, objetava Loschmidt, explicar fenômenos irreversíveis por meio de um mecanismo reversível. Essa objeção cai por terra quando se compreende plenamente a natureza necessariamente estatística das explicações mecânicas; não há tentativa de determinar rigorosamente fenômenos mecânicos moleculares estritamente definidos, mas sim de considerar o mais provável entre todos os movimentos possíveis; essa indeterminação do futuro é o próprio princípio da mecânica estatística; mas não podemos falar de indeterminação do passado, de modo que a distinção entre o passado e o futuro, isto é, a assimetria do princípio de Carnot no que diz respeito ao sinal do tempo, não contradiz uma explicação mecânica dos fatos da termodinâmica. Retornaremos mais adiante (cap. X) à discussão da teoria da irreversibilidade.

Gostaria de dizer algumas palavras sobre as observações de Boltzmann a respeito da aplicação da segunda lei ao universo. Como Boltzmann afirmou com razão: "certamente ninguém especulará sobre descobertas tão importantes, nem sobre o objetivo mais elevado da ciência, como fizeram os filósofos antigos. Mas não é certo que seria justo ridicularizá-las e encará-las como inúteis". Boltzmann desenvolveu uma concepção mecânica do universo na qual ocorrem, aqui e ali, passagens de um estado mais provável para um estado menos provável, de modo que, para o universo como um todo, a irreversibilidade não existe. Essa concepção é rigorosa no abstrato se o universo for um sistema mecânico que possa ser definido por um número finito de parâmetros e cujo campo total de variação seja finito. Suponhamos por um momento que possamos aceitar essa imagem para o mundo que vemos, isto é, que possamos fixar um número muito grande R, de tal modo que não haja nada fora da esfera S de raio R, sendo a esfera S o nosso universo; a evolução desse universo é, de acordo com um teorema de Poincaré, tão próxima quanto quisermos de uma evolução periódica e, em períodos imensamente longos, fenômenos que contradizem a segunda lei serão tão comuns quanto fenômenos em conformidade com essa lei. Mesmo deixando de lado as dificuldades — porém creio que insuperáveis — implicadas pela suposição de que nada deixa a esfera S, deve-se notar que a conclusão é rigorosa apenas enquanto supusermos a absoluta ausência de qualquer ação externa sobre S. Imaginemos uma esfera S₂, cujas dimensões em relação a S sejam como as de S em relação a um átomo, e depois uma esfera S₃ que estaria para S₂ assim como S₂ está para S, e assim por diante até uma esfera S_n com o índice n igual a um milhão. Para que a aplicação a S da teoria mecânica quase-periódica de Poincaré fosse legítima, seria necessário que não houvesse, dentro da esfera S_n, algum universo S' do mesmo tamanho que S e provavelmente muito diferente de S que pudesse, no curso do tempo, agir sobre S. Pois o intervalo de tempo exigido para a aplicação do teorema de Poincaré é tão longo que um encontro de S com S' seria altamente provável, muito antes de esse tempo ter decorrido. Isto equivale a dizer que é pelo menos tão plausível supor que as leis do nosso universo serão completamente alteradas por uma combinação com outro universo (agora muito mais distante do nosso do que um átomo situado na Terra está de um átomo situado em Sírius) quanto supor uma mudança significativa de direção na variação da entropia.

Em outras palavras, penso que a evolução regular em direção a estados cada vez mais prováveis deve ser admitida para o universo inteiro, contrariamente ao conceito de Boltzmann, desde que não o encaremos como um sistema finito isolado para sempre em uma porção finita do espaço da qual nada pode escapar, nem matéria, nem energia ou radiação, e na qual nada pode entrar. 62. — Concevons qu'on ait dressé un million de singes à frapper au hasard sur les touches d'une machine à écrire et que, sous la surveillance de contremaîtres illettrés, ces singes dactylographes travaillent avec ardeur dix heures par jour avec un million de machines à écrire de types variés. Les contremaîtres illettrés rassembleraient les feuilles noircies et les relieraient en volumes. Et au bout d'un an, ces volumes se trouveraient renfermer la copie exacte des livres de toute nature et de toutes langues conservés dans les plus riches bibliothèques du monde. Telle est la probabilité pour qu'il se produise pendant un instant très court, dans le récipient A, un écart de l'ordre du cent millième dans la composition du mélange gazeux. Supposer que cet écart ainsi produit subsistera pendant quelques secondes revient à admettre que, pendant plusieurs années, notre armée de singes dactylographes, travaillant toujours dans les mêmes conditions, fournira chaque jour la copie exacte de tous les imprimés, livres et journaux, qui paraîtront le jour correspondant de la semaine suivante sur toute la surface du globe et de toutes les paroles qui seront prononcées par tous les hommes en ce même jour. Il est plus simple de dire que ces écarts improbables sont purement impossibles.

Imaginemos que tenhamos preparado um milhão de macacos batendo aleatoriamente nas teclas de máquinas de escrever e que, sob a supervisão de capatazes analfabetos, esses macacos trabalhem arduamente datilografando dez horas por dia com um milhão de máquinas de escrever de vários tipos. Os capatazes analfabetos recolheriam as folhas datilografadas e escurecidas e as encadernariam em volumes. Ao fim de um ano, esses volumes conteriam uma cópia exata de livros de todos os gêneros e de todas as línguas preservados nas bibliotecas mais ricas do mundo. Essa é a probabilidade de que ocorra, durante um tempo muito breve, no recipiente A, um desvio de cerca de um centésimo de milésimo na composição da mistura gasosa. Supor que o desvio assim produzido permaneça por alguns segundos equivale a admitir que, durante muitos anos, nosso exército de macacos datilógrafos, trabalhando sempre do mesmo modo todos os dias, fornecerá uma cópia exata de todos os livros e jornais impressos que aparecerão no dia correspondente da semana seguinte sobre toda a superfície da Terra, incluindo todas as palavras que serão proferidas por todos os homens naquele dia. É mais simples dizer que tais desvios não são apenas improváveis, mas puramente impossíveis.