O livro clássico de Abraham de Moivre,
A Doutrina das Probabilidades (em três edições entre 1718 e 1756), era basicamente um manual para jogadores. Ele os capacitava a saber como apostar em vários jogos de azar.
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A probabilidade de um evento é maior ou menor, de acordo com o número de chances pelas quais ele pode acontecer, em comparação com o número total de chances pelas quais ele pode acontecer ou não.
Esta breve declaração parte do pressuposto de que todos os estados são igualmente prováveis, assumindo que não temos
informações que indiquem o contrário.
Embora isso descreva nossa informação epistemicamente , tornando-a uma questão de conhecimento humano, podemos dizer ontologicamente que o mundo não contém nenhuma informação que torne um estado mais provável do que os outros. Tal informação simplesmente não existe. Isso às vezes é chamado de princípio da razão insuficiente ou princípio da indiferença .
Se essa informação existisse, ela poderia e seria revelada em um grande número de ensaios experimentais, que fornecem as estatísticas sobre os diferentes "estados".
As probabilidades são teorias
a priori
. As estatísticas são a posteriori , os resultados de experimentos.
Nas controvérsias filosóficas entre interpretações a priori ou epistêmicas da probabilidade e interpretações a posteriori ou ontológicas, estas últimas são frequentemente denominadas interpretações "frequentes" da probabilidade. Preferimos usar o termo estatística para essas frequências.
O trabalho de De Moivre está na base das distribuições de velocidade de James Clerk Maxwell para as moléculas em um gás, e da explicação de Ludwig Boltzmann para o aumento da entropia na mecânica estatística (a segunda lei da termodinâmica).
Mantendo-se todas as outras condições iguais, qualquer sistema físico evolui em direção ao macroestado com o maior número de microestados compatíveis com a informação contida no macroestado. Essa informação é intrínseca ao sistema. Ela pode ser observável, mas de forma alguma depende de ser observada ou "conhecida" por qualquer observador.
Distribuições de probabilidade
Em seu livro, de Moivre desenvolveu a matemática para a expansão binomial de (
p -
q )
n analisando os lançamentos de uma moeda. Se
p é a probabilidade de "cara" e
q = 1 -
p a probabilidade de "coroa", então a probabilidade de
k caras é
Pr( k ) = ( n!/(n - k)! k! ) p (n - k) q k
De Moivre também foi o primeiro a aproximar o fatorial para n grande como
n! ≈ (constante) √n n n e - n
James Stirling determinou a constante na aproximação de de Moivre ( = √(2π), que agora é comumente chamada de fórmula de Stirling .
Utilizando essa aproximação, válida para números grandes, de Moivre passou a aproximar a expansão binomial
discreta com uma curva
contínua .A animação mostra como os coeficientes binomiais de de Moivre se aproximam da distribuição normal contínua, ou curva em forma de sino, à medida que n tende ao infinito.
Pr( x ) = (1/√(2π)) e -x 2/2
Pierre-Simon Laplace também derivou esse resultado, que às vezes é chamado de Teorema de de Moivre-Laplace . É muito provável que Laplace conhecesse o trabalho de de Moivre, mas não lhe deu crédito, talvez devido à associação de de Moivre com jogos de azar, talvez porque de Moivre fosse um protestante huguenote que havia emigrado para a Inglaterra, ou talvez porque as grandes obras de Laplace resumiam grande parte da matemática e da ciência do século anterior sem dar crédito a seus predecessores.
Quase 100 anos depois, Legendre e Gauss desenvolveram independentemente essa curva como a distribuição dos erros de medição. Ela passou a ser chamada, de forma inadequada, de "lei" dos erros, induzindo muitos filósofos ao erro, que argumentavam que eventos aleatórios eram, portanto, regidos por leis e que cada evento deveria ser determinado de alguma forma por essa religiosidade subjacente.
Para derivar a curva de de Moivre como a distribuição dos erros, Legendre e Gauss fizeram três suposições: que os erros são distribuídos simetricamente em torno de um valor máximo, que o valor tende a zero para grandes valores positivos e negativos de x e que o valor médio dos erros é o valor médio, ou seja, zero.
Nas mãos de Laplace, essa tendência da curva de atingir um pico em torno de um máximo no valor médio, no limite de números grandes, passou a ser chamada de teorema do limite central .
Atualmente, o princípio da indiferença (suposição de equiprobabilidade), a lei dos grandes números e o teorema central do limite são três dos postulados fundamentais da probabilidade .
Carl Friedrich Gauss demonstrou que a distribuição de probabilidade normal explica o "método dos mínimos quadrados", que vinha sendo utilizado por muitos cientistas para estabelecer o valor mais provável de uma medição experimental. Gauss mostrou que o valor mais provável é o valor médio (a média aritmética) quando os erros nas observações são distribuídos aleatoriamente.
Retomando o trabalho original de de Moivre, que tratava da ocorrência fortuita de eventos aleatórios, é muito importante notar que os eventos individuais são de fato aleatórios, apesar de sua aproximação assintótica à distribuição normal no limite de um grande número de eventos. O mundo material em si é discreto e aleatório, apesar da idealização da curva de probabilidade contínua analítica descoberta inicialmente por de Moivre.
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