Carl Friedrich Gauss foi um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Ele contribuiu enormemente para o estudo das probabilidades e do acaso, definindo rigorosamente conceitos que haviam sido abordados por
Abraham de Moivre e Pierre-Simon Laplace .
Gauss provou que entre as distribuições unimodais, simétricas e diferenciáveis φ(xx 0 ), a distribuição normal é aquela em que o estimador de máxima verossimilhança X do parâmetro de localização x 0 coincide com a média aritmética.
Sua demonstração é a seguinte: Sejam M 1 ,M 2 ,... as observações, em número μ, sendo p a sua média aritmética.
Então, a equação de probabilidade
φ'(M 1 - X) + φ'(M 2 - X) + .... = 0
em que φ'(Δ) = dφ(Δ)/φ(Δ)dΔ possuirá uma solução (única) p, ou seja
φ'(M 1 - p) + φ'(M 2 - p) + .... O.
Supondo, então, que M₂ = M₃ ..... M₁ - μN, Gauss chegou a
φ'[N(μ - 1)] = (1 - μ )φ'(-N), φ'(Δ)/Δ = k, (k < 0)
para qualquer μ natural, então
φ(Δ) = Ce kΔ 2 /2 .
Em 1718, de Moivre definiu probabilidade de forma muito simples.
A probabilidade de um evento é maior ou menor, de acordo com o número de chances pelas quais ele pode acontecer, em comparação com o número total de escolhas pelas quais ele pode acontecer ou não.
Esta breve declaração parte do pressuposto de que todos os estados são igualmente prováveis, assumindo que não temos
informações que indiquem o contrário.
Embora isso descreva nossa informação epistemicamente , tornando-a uma questão de ignorância humana, podemos dizer ontologicamente que o mundo não contém nenhuma informação que torne um estado mais provável do que os outros. Tal informação simplesmente não existe. Isso às vezes é chamado de princípio da razão insuficiente ou princípio da indiferença .
Se essa informação existisse, ela poderia e seria revelada em um grande número de ensaios experimentais, que fornecem as estatísticas sobre os diferentes "estados".
Probabilidades são teorias. Estatísticas são experimentos.
Nas controvérsias filosóficas entre probabilidade a priori ou epistêmica e probabilidade a posteriori ou ontológica, esta última é frequentemente considerada a interpretação da probabilidade como uma "frequência".
Distribuições de probabilidade
De Moivre elaborou a matemática da distribuição binomial analisando os lançamentos de uma moeda. Se
p é a probabilidade de sair "cara" e
q = 1 -
p a probabilidade de sair "coroa", então a probabilidade de sair
k caras é
Pr( k ) = ( n!/(n - k)! k! ) p (n - k) q k
Pierre-Simon Laplace também derivou esse resultado, que às vezes é chamado de Teorema de de Moivre-Laplace .
De Moivre também foi o primeiro a aproximar o fatorial para n grande como
n! ≈ (constante) √n n n e - n
James Stirling determinou a constante na aproximação de de Moivre ( = √(2π), que agora é comumente chamada de aproximação de Stirling .
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