1. A equação de Schrödinger .

A equação fundamental do movimento na mecânica quântica é a famosa equação de onda de Erwin Schrödinger , que descreve a evolução temporal de sua função de onda ψ .

_{Max Born} interpretou o quadrado do valor absoluto da função de onda de Schrödinger | ψn| ² ₍ ^ou < ψn |ψn _> na notação de Dirac) como fornecendo a probabilidade de encontrar um sistema quântico em um estado n específico . Enquanto esse valor absoluto (na notação bra-ket de Dirac) for finito,

Então, ψ pode ser normalizado, de modo que a probabilidade de encontrar uma partícula em algum lugar < ψ | ψ > = 1, o que é necessário para sua interpretação como uma probabilidade. A função de onda normalizada pode então ser usada para calcular "observáveis" como a energia, o momento, etc. Por exemplo, o valor provável ou esperado para a posição r do sistema, no espaço de configuração q , é

2. O Princípio da Superposição .

A equação de Schrödinger (1) é uma equação linear . Ela não possui termos quadráticos ou de potência superior, e isso introduz uma característica profunda — e para muitos cientistas e filósofos, perturbadora — da mecânica quântica, impossível na física clássica , a saber, o princípio da superposição de estados quânticos. Se ψ _{_a} e ψ_{_b} são ambas soluções da equação (1), então uma combinação linear arbitrária destas,

com coeficientes complexos c _a e c _b , também é uma solução.

Juntamente com a interpretação probabilística (estatística) da função de onda de Born, o princípio da superposição explica os principais mistérios da teoria quântica, alguns dos quais esperamos resolver, ou pelo menos reduzir, com uma explicação objetiva (independente do observador) da criação irreversível de informação durante os processos quânticos.

A informação observável é fundamental para as medições, embora os observadores possam surgir a qualquer momento após a informação passar a existir como consequência da interação entre um sistema quântico e um aparelho de medição.

A natureza quântica (discreta) dos sistemas físicos resulta do fato de geralmente haver um grande número de soluções ψ _n (chamadas autofunções) da equação (1) em sua forma independente do tempo, com autovalores de energia E _n .

Os autovalores de energia do espectro discreto E _n limitam as interações (por exemplo, com fótons) a diferenças de energia específicas E _n - E _m .

Na antiga teoria quântica, Bohr postulou que os elétrons nos átomos estariam em "estados estacionários" de energia E _n , e que as diferenças de energia seriam da forma E _n - E _m = hν , onde ν é a frequência da linha espectral observada.

Em 1916, Einstein derivou esses dois postulados de Bohr a partir de princípios físicos básicos em seu artigo sobre os processos de emissão e absorção de átomos. O que para Bohr eram suposições, Einstein fundamentou na física quântica, embora praticamente ninguém tenha apreciado seu trabalho fundamental na época, e poucos o apreciem hoje, tendo seu trabalho sido ofuscado pelos físicos de Copenhague.

As autofunções ψ _n são ortogonais entre si.

onde a "função delta" Uma vez normalizados, os ψ _n formam um conjunto ortonormal de funções (ou vetores) que podem servir como base para a expansão de uma função de onda φ arbitrária.

Os coeficientes de expansão são

No espaço de Hilbert abstrato, < ψ _n | φ > é a "projeção" do vetor φ nos eixos ortogonais ψ _n do conjunto de vetores "base" ψ _{n .}

2.1 Um exemplo de superposição.

Dirac nos diz que um fóton polarizado diagonalmente pode ser representado como uma superposição de estados verticais e horizontais, com coeficientes de números complexos que representam " amplitudes de probabilidade ". Os autoestados de polarização horizontal e vertical são as únicas " possibilidades ", se o aparelho de medição for projetado para medir polarização horizontal ou vertical.

Por isso,

Os vetores (funções de onda) v e h são a escolha apropriada de vetores de base, os comprimentos dos vetores são normalizados para a unidade e a soma dos quadrados das amplitudes de probabilidade também é igual a um. Esta é a condição de ortonormalidade necessária para interpretar os (quadrados das) funções de onda como probabilidades .

Quando esses coeficientes numéricos (em geral complexos) (1/√2) são elevados ao quadrado (na verdade, quando são multiplicados por seus conjugados complexos para produzir números reais positivos), os números (1/2) representam as probabilidades de encontrar o fóton em um ou outro estado, caso uma medição seja feita em um estado inicial que esteja diagonalmente polarizado.

Note que, se o estado inicial do fóton fosse vertical, sua projeção ao longo do vetor da base vertical seria igual a um, e sua projeção ao longo do vetor horizontal seria zero. Nossas previsões de probabilidade seriam então: vertical = 1 (certeza) e horizontal = 0 (também certeza). A física quântica nem sempre é incerta , apesar de sua reputação.

3. O Axioma da Medição .

O axioma da medição depende da ideia de "observáveis", grandezas físicas que podem ser medidas em experimentos. Um observável físico é representado como um operador A que é "hermitiano" (um operador "autoadjunto" - igual ao seu conjugado complexo, A* = A ). Os elementos diagonais n, n da matriz do operador,

são interpretados como fornecendo o valor esperado para A _n (quando fazemos uma medição).

Os elementos fora da diagonal n, m descrevem a propriedade exclusivamente quântica de interferência entre funções de onda e fornecem uma medida das probabilidades de transições entre os estados n e m .

São as probabilidades quânticas intrínsecas que constituem a fonte última do indeterminismo e, consequentemente, da irreversibilidade irredutível, como veremos.

As transições entre estados são irremediavelmente aleatórias, como o decaimento de um núcleo radioativo (descoberto por Rutherford em 1901) ou a emissão de um fóton por um elétron em transição para um nível de energia mais baixo em um átomo (explicado por Einstein em 1916).

O axioma da medição é a formalização do postulado de Bohr de 1913, segundo o qual os elétrons atômicos serão encontrados em estados estacionários com energias E _{_n} . Em 1913, Bohr os visualizou orbitando o núcleo. Mais tarde, ele afirmou que não poderiam ser visualizados, mas os químicos os visualizam rotineiramente como nuvens de amplitude de probabilidade com formas facilmente calculadas que predizem corretamente as ligações químicas.

As probabilidades de transição fora da diagonal são o formalismo dos "saltos quânticos" de Bohr entre seus estados estacionários, emitindo ou absorvendo energia hν = E _n - E _m . Einstein explicou claramente em 1916 que os saltos são acompanhados por seus quanta de luz discretos (fótons), mas Bohr continuou a insistir que a radiação era clássica por mais dez anos, ignorando deliberadamente os esforços fundamentais de Einstein naquilo que Bohr poderia ter considerado sua área de especialização (mecânica quântica).

O axioma da medição afirma que um grande número de medições da observável A , que se sabe ter autovalores A _n , resultará em um número de medições com valor A _n que é proporcional à probabilidade de encontrar o sistema no autoestado ψ _n .

A mecânica quântica é uma teoria probabilística e estatística. As probabilidades são teorias sobre o que os experimentos irão demonstrar. Os experimentos fornecem as estatísticas (a frequência dos resultados) que confirmam as previsões da teoria quântica — com a maior precisão de qualquer teoria já descoberta!

4. O Postulado da Projeção .

A terceira ideia inovadora da teoria quântica é frequentemente considerada a mais radical. Certamente, ela gerou algumas das ideias mais radicais já surgidas na física, em tentativas de várias "interpretações" de negá-la.

O postulado da projeção é, na verdade, muito simples e até mesmo intuitivo. Ele afirma que, quando uma medição é feita, o sistema de interesse será encontrado em (irá "colapsar" instantaneamente em) um dos possíveis autoestados da grandeza observável medida.

Temos várias possibilidades para os autovalores. Podemos calcular as probabilidades para cada autovalor. A medição simplesmente torna um deles real e o faz, disse Max Born, em proporção ao quadrado absoluto da função de onda de amplitude de probabilidade ψ _n .

Dessa forma, o acaso ontológico entra na física, e é em parte esse fato da aleatoriedade quântica que incomodou Einstein ("Deus não joga dados") e Schrödinger (cuja equação de movimento para a função de onda de probabilidade-amplitude é determinística).

O postulado da projeção, ou colapso da função de onda, é o elemento da mecânica quântica mais frequentemente negado por diversas "interpretações". Os súbitos saltos quânticos discretos e descontínuos são considerados tão não intuitivos que os intérpretes os substituíram pelas alternativas mais extravagantes (literalmente). A famosa "interpretação de muitos mundos" propõe uma "divisão" de todo o universo em dois universos de igual tamanho, violando massivamente os princípios de conservação mais fundamentais da física, em vez de permitir que um fóton diagonal, ao atingir um polarizador, "colapse" repentinamente para um estado horizontal ou vertical.

4.1 Um exemplo de projeção .

Dado um sistema quântico em um estado inicial | φ >, podemos expandi-lo em uma combinação linear dos autoestados do nosso aparato de medição, os | ψ _n >.

No caso dos fótons polarizados de Dirac , o estado diagonal | d > é uma combinação linear dos estados horizontal e vertical do aparelho de medição, | v > e | h >. Quando elevamos ao quadrado os coeficientes (1/√2), vemos que há 50% de chance de medir o fóton como polarizado horizontalmente ou verticalmente.

4.2 Visualizando a projeção .

Quando um fóton é preparado em um estado polarizado verticalmente | v >, sua interação com um polarizador vertical é fácil de visualizar. Podemos imaginar o vetor de estado do fóton inteiro simplesmente passando pelo polarizador sem sofrer alterações.

O mesmo se aplica a um fóton preparado em um estado polarizado horizontalmente | h > ao passar por um polarizador horizontal. E a interação de um fóton horizontal com um polarizador vertical é fácil de entender. O polarizador vertical absorverá completamente o fóton horizontal.

O fóton diagonalmente polarizado | d >, no entanto, revela completamente a natureza não intuitiva da física quântica. Podemos visualizar a indeterminação quântica , sua natureza estatística , e podemos visualizar dramaticamente o processo de colapso , já que um vetor de estado alinhado em uma direção deve girar instantaneamente para outra direção vetorial.

Como vimos acima (Figura 2.1), a projeção vetorial de | d > em | v >, com comprimento (1/√2), nos dá a probabilidade 1/2 de fótons emergirem do polarizador vertical. Mas esta é apenas uma afirmação estatística sobre a probabilidade esperada para um grande número de fótons preparados de forma idêntica.

Quando temos apenas um fóton por vez, nunca obtemos metade de um fóton atravessando o polarizador. Os críticos da teoria quântica padrão às vezes dizem que ela não nos diz nada sobre partículas individuais, apenas sobre conjuntos de experimentos idênticos. Há verdade nisso, mas nada nos impede de imaginar o estranho processo de um único fóton polarizado diagonalmente interagindo com um polarizador vertical.

Existem duas possibilidades. Ou obtemos um fóton inteiro (o que significa que ele "colapsou" ou que o vetor diagonal foi "reduzido a" um vetor vertical) ou não obtemos fóton algum. Esse é o significado de "colapso". É o mesmo que um átomo "saltar" de forma descontínua e repentina de um nível de energia para outro. É o mesmo que o fóton em um experimento de dupla fenda aparecer repentinamente em um ponto da placa fotográfica, onde um instante antes poderia ter aparecido em qualquer lugar.

Podemos até visualizar o que acontece quando nenhum fóton aparece. Podemos imaginar que o fóton diagonal foi reduzido a um fóton polarizado horizontalmente e foi completamente absorvido.

Por que podemos observar a natureza estatística e a indeterminação Primeiro, estatisticamente, no caso de muitos fótons idênticos, podemos dizer que metade passará e metade será absorvida.

A indeterminação reside no fato de que, no caso de um único fóton, não temos como saber qual será. É o mesmo que não podemos prever o momento em que um núcleo radioativo irá decair, ou o momento e a direção em que um átomo emitirá um fóton.

Essa indeterminação é uma consequência do nosso vetor de estado de fóton diagonal ser "representado" (transformado) em uma superposição linear de vetores de estado de fóton verticais e horizontais. Assim, o princípio da superposição, juntamente com o postulado da projeção, nos fornece indeterminação, estatística e uma maneira de "visualizar" o colapso de uma superposição de estados quânticos em um dos estados de base.

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