Ernst Zermelo foi um matemático brilhante que desenvolveu o que hoje é conhecido como
teoria axiomática de conjuntos ZFC (Zermelo-Fraenkel-Choice) , uma importante contribuição para os fundamentos da matemática. Na década de 1890, após concluir seu doutorado na Universidade de Berlim, ele assumiu um cargo como assistente de
Max Planck , com quem desenvolveu uma crítica ao Teorema H de
Ludwig Boltzmann, conhecida como
objeção de recorrência de Zermelo .
O Teorema H foi a tentativa de Boltzmann de derivar o aumento da entropia exigido pela segunda lei da termodinâmica a partir da dinâmica clássica básica.
Foi o segundo ataque "paradoxal" ou "objetivo" contra Boltzmann. O primeiro foi a afirmação de Josef Loschmidt de que a entropia seria reduzida se o tempo fosse revertido. Este é o problema da reversibilidade microscópica . Boltzmann reformulou seu Teorema H com base em argumentos puramente estatísticos em resposta à objeção de Loschmidt, mas vinte anos depois se deparou com uma objeção até mesmo aos seus argumentos estatísticos.
Ernst Zermelo foi um matemático extraordinário. Ele foi (em 1908) o fundador da teoria axiomática dos conjuntos, que, com a adição do axioma da escolha (também de Zermelo, em 1904), é o fundamento mais comum da matemática. O axioma da escolha afirma que, dada qualquer coleção de conjuntos, é possível encontrar uma maneira de selecionar, sem ambiguidade, um objeto de cada conjunto, mesmo que o número de conjuntos seja infinito.
Antes desse trabalho extraordinário, Zermelo era um jovem colaborador de Max Planck em Berlim, onde muitos físicos alemães (notadamente liderados pelo energista Wilhelm Ostwald e pelo físico-filósofo Ernst Mach ) se opunham ao trabalho de Boltzmann para estabelecer a existência de átomos. Planck era especialista no problema dos três corpos, que, diferentemente do problema de duas partículas, não possui uma solução analítica exata.
Planck havia conseguido estabelecer limites ou restrições para as possíveis configurações dos três corpos a partir das leis de conservação. Ele e Zermelo aplicaram parte desse raciocínio às n partículas em um gás. Eles argumentaram que, dado um tempo suficientemente longo, as partículas retornariam a uma distribuição no "espaço de fase" (um espaço de 6n dimensões de possíveis velocidades e posições) que seria indistinguível da distribuição original.
Assim, argumentaram eles, a fórmula de Boltzmann para a entropia voltaria a diminuir em algum momento futuro, invalidando a afirmação de Boltzmann de que sua medida de entropia sempre aumenta - como exige a segunda lei da termodinâmica.
Boltzmann respondeu que seu argumento era estatístico. Ele apenas afirmou que o aumento da entropia era esmagadoramente mais provável do que a diminuição prevista por Zermelo. Boltzmann calculou a probabilidade de uma diminuição em um gás muito pequeno, com apenas algumas centenas de partículas, e descobriu que o tempo necessário para que tal diminuição ocorresse era muitas ordens de magnitude maior do que a idade presumida do universo.
A ideia de que um sistema macroscópico pode retornar exatamente às mesmas condições físicas está intimamente relacionada à ideia de que um agente pode enfrentar exatamente as mesmas circunstâncias ao tomar uma decisão. Os deterministas sustentam que, dado o "passado fixo" e as "leis da natureza", o agente teria que tomar exatamente a mesma decisão novamente.
A extrema improbabilidade da recorrência perfeita
Em um universo clássico, como o de
Laplace , onde a informação é constante, a recorrência de Zermelo é matematicamente possível. O universo pode retornar às circunstâncias exatas de qualquer instante anterior, pois contém a mesma quantidade de matéria, energia e informação.
Mas, no universo real, a informação (e o conteúdo material do universo) expande-se de um mínimo na origem para quantidades cada vez maiores de informação — bem como para um aumento da entropia, é claro. Consequentemente, é estatisticamente e realisticamente improvável (senão impossível) que o universo retorne exatamente às mesmas circunstâncias de qualquer momento anterior.
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