Considerando, então, como leis empíricas apenas as uniformidades observadas, em relação às quais a questão de saber se são leis de causalidade deve permanecer indecisa até que possam ser explicadas dedutivamente, ou até que se encontre algum meio de aplicar o Método da Diferença ao caso, demonstrou-se no capítulo anterior que, até que uma uniformidade possa, por um ou outro desses modos, ser retirada da classe das leis empíricas e inserida na classe das leis de causalidade ou na dos resultados demonstrados das leis de causalidade, ela não pode ser considerada verdadeira com qualquer segurança além dos limites locais e outros dentro dos quais foi constatada por observação direta. Resta considerar como podemos nos assegurar de sua verdade mesmo dentro desses limites; após qual quantidade de experiência uma generalização que se baseia unicamente no Método da Concordância pode ser considerada suficientemente estabelecida, mesmo como uma lei empírica. Em um capítulo anterior, ao tratar dos Métodos de Indução Direta, reservamos expressamente essa questão*, e chegou a hora de tentarmos resolvê-la.

Constatamos que o Método da Concordância apresenta a deficiência de não provar causalidade e, portanto, só pode ser empregado para a determinação de leis empíricas. Mas também constatamos que, além dessa deficiência, ele sofre de uma imperfeição característica, que tende a tornar incertas até mesmo as conclusões que ele próprio é capaz de provar. Essa imperfeição decorre da Pluralidade de Causas. Embora dois ou mais casos em que o fenômeno a tenha sido observado possam não ter antecedente comum, exceto A, isso não prova que haja qualquer conexão entre a e A, visto que a pode ter muitas causas e pode ter sido produzido, nesses diferentes casos, não por algo que os casos tivessem em comum, mas por alguns dos elementos que neles eram diferentes. Observamos, contudo, que, à medida que se multiplicam os casos que apontam para A como antecedente, a incerteza característica do método diminui e a existência de uma lei de conexão entre A e a se aproxima mais da certeza. Agora é preciso determinar, após quanta experiência, essa certeza poderá ser considerada praticamente alcançada, e a conexão entre A e a poderá ser recebida como uma lei empírica.

Essa questão pode ser formulada de maneira mais familiar: após quantos e quais tipos de ocorrências podemos concluir que uma coincidência observada entre dois fenômenos não é fruto do acaso?

Para compreender a lógica da indução, é de suma importância que formemos uma concepção clara do que se entende por acaso e de como os fenômenos que a linguagem comum atribui a essa abstração são realmente produzidos.

§ 2. Definição e caracterização do acaso

Geralmente se fala do acaso em antítese direta à lei; tudo o que (supõe-se) não pode ser atribuído a nenhuma lei é atribuído ao acaso. É certo, porém, que tudo o que acontece é resultado de alguma lei; é efeito de causas e poderia ter sido previsto a partir do conhecimento da existência dessas causas e de suas leis. Se eu viro uma carta específica, isso é consequência de sua posição no baralho. Sua posição no baralho foi consequência da maneira como as cartas foram embaralhadas ou da ordem em que foram jogadas na última partida; o que, por sua vez, foi efeito de causas anteriores. Em cada etapa, se tivéssemos um conhecimento preciso das causas existentes, teria sido possível prever, de forma abstrata, o efeito.

Um evento que ocorre por acaso pode ser melhor descrito como uma coincidência da qual não temos fundamento para inferir uma uniformidade: a ocorrência de um fenômeno em certas circunstâncias, sem que tenhamos razão para inferir que ele ocorrerá novamente nessas mesmas circunstâncias. Isso, porém, quando analisado mais de perto, implica que a enumeração das circunstâncias não é completa. Seja qual for o fato, uma vez que ocorreu uma vez, podemos ter certeza de que, se todas as mesmas circunstâncias se repetissem, ele ocorreria novamente; e não apenas se todas, mas se houver uma parte específica dessas circunstâncias da qual o fenômeno é invariavelmente consequência. Com a maioria delas, no entanto, não há nenhuma conexão permanente: sua conjunção com essas circunstâncias é considerada um efeito do acaso, meramente casual. Fatos casualmente unidos são, separadamente, efeitos de causas e, portanto, de leis; mas de causas diferentes e causas não conectadas por nenhuma lei.

É incorreto, portanto, dizer que qualquer fenômeno é produzido pelo acaso, mas podemos dizer que dois ou mais fenômenos são unidos pelo acaso, que coexistem ou se sucedem apenas por acaso; o que significa que não estão de forma alguma relacionados por causalidade; que não são causa e efeito, nem efeitos da mesma causa, nem efeitos de causas entre as quais subsiste qualquer lei de coexistência, nem mesmo efeitos da mesma combinação de causas primordiais.

Se a mesma coincidência casual nunca ocorresse uma segunda vez, teríamos um teste fácil para distingui-la das coincidências que são resultado de uma lei. Enquanto os fenômenos tivessem sido encontrados juntos apenas uma vez, a menos que conhecêssemos leis mais gerais que pudessem explicar a coincidência, não poderíamos distingui-la de uma coincidência casual; mas se ela ocorresse duas vezes, saberíamos que os fenômenos assim combinados estariam de alguma forma conectados por suas causas.

Não existe, contudo, tal teste. Uma coincidência pode ocorrer repetidamente e, ainda assim, ser apenas casual. Aliás, seria inconsistente com o que sabemos sobre a ordem da natureza duvidar que toda coincidência casual se repetirá mais cedo ou mais tarde, contanto que os fenômenos entre os quais ela ocorreu não deixem de existir ou de se reproduzir. A recorrência, portanto, da mesma coincidência mais de uma vez, ou mesmo sua recorrência frequente, não prova que ela seja um exemplo de qualquer lei; não prova que ela não seja casual ou, em linguagem comum, o efeito do acaso.

Contudo, quando uma coincidência não pode ser deduzida de leis conhecidas, nem comprovada experimentalmente como um caso de causalidade, a frequência de sua ocorrência é a única evidência a partir da qual podemos inferir que ela resulta de uma lei. Não, porém, sua frequência absoluta. A questão não é se a coincidência ocorre frequentemente ou raramente, no sentido comum desses termos; mas se ela ocorre com mais frequência do que o acaso justifica; com mais frequência do que seria racionalmente esperado se a coincidência fosse casual. Temos que decidir, portanto, qual o grau de frequência, em uma coincidência, que o acaso justifica. E para isso não pode haver uma resposta geral. Podemos apenas enunciar o princípio pelo qual a resposta deve ser determinada: a própria resposta será diferente em cada caso diferente.

Suponha que um dos fenômenos, A, exista sempre, e o outro fenômeno, B, apenas ocasionalmente: segue-se que cada ocorrência de B será uma ocorrência de sua coincidência com A, e ainda assim a coincidência será meramente casual, não o resultado de qualquer conexão entre eles. As estrelas fixas existem constantemente desde o início da experiência humana, e todos os fenômenos que foram observados pelo ser humano coexistiram com elas em todos os casos; contudo, essa coincidência, embora igualmente invariável com a que existe entre qualquer um desses fenômenos e sua própria causa, não prova que as estrelas sejam sua causa, nem que estejam de alguma forma conectadas a ele. Portanto, um caso de coincidência tão forte quanto qualquer outro que possa existir, e muito mais forte em termos de mera frequência do que a maioria daqueles que comprovam leis, não prova aqui uma lei: por quê Porque, como as estrelas existem sempre, elas devem coexistir com todos os outros fenômenos, estejam eles conectados a elas por causalidade ou não. A uniformidade, por maior que seja, não é maior do que ocorreria na suposição de que tal conexão não existe.

Por outro lado, suponhamos que estivéssemos investigando se existe alguma conexão entre a chuva e um determinado vento. Sabemos que a chuva ocorre ocasionalmente com qualquer vento; portanto, a conexão, se existir, não pode ser uma lei propriamente dita. Contudo, a chuva pode estar ligada a um vento específico por meio de causalidade; isto é, embora nem sempre possam ser efeitos da mesma causa (pois, se assim fosse, coexistiriam regularmente), pode haver algumas causas comuns a ambos, de modo que, na medida em que um seja produzido por essas causas comuns, ambos coexistirão, pelas leis das causas. Como, então, podemos verificar isso A resposta óbvia é observar se a chuva ocorre com um vento com mais frequência do que com qualquer outro. Isso, porém, não é suficiente; pois talvez esse vento sopre com mais frequência do que qualquer outro; de modo que soprar com mais frequência em tempo chuvoso não seja mais do que aconteceria, mesmo que não tivesse nenhuma conexão com as causas da chuva, desde que não estivesse ligado a causas adversas à chuva. Na Inglaterra, os ventos de oeste sopram durante aproximadamente o dobro do ano em comparação com os ventos de leste. Portanto, se chove apenas duas vezes mais frequentemente com vento de oeste do que com vento de leste, não temos motivos para inferir que alguma lei da natureza esteja envolvida nessa coincidência. Se chove mais do que o dobro da frequência, podemos ter certeza de que alguma lei está envolvida; ou existe alguma causa na natureza que, neste clima, tende a produzir tanto chuva quanto vento de oeste, ou o próprio vento de oeste tem alguma tendência a produzir chuva. Mas se chove menos do que o dobro da frequência, podemos chegar a uma conclusão diretamente oposta: um fenômeno, em vez de ser causa do outro ou estar relacionado a causas dele, deve estar relacionado a causas adversas ou à ausência de alguma causa que o produza. E embora possa chover com muito mais frequência com vento oeste do que com vento leste, isso estaria longe de provar qualquer conexão entre os fenômenos, visto que a conexão comprovada seria entre a chuva e o vento leste, ao qual, em termos de mera frequência de coincidência, está menos relacionada.

Eis, então, dois exemplos: em um, a maior frequência possível de coincidência, sem qualquer caso em contrário, não prova que exista alguma lei; no outro, uma frequência de coincidência muito menor, mesmo quando a não coincidência é ainda mais frequente, prova que existe uma lei. Em ambos os casos, o princípio é o mesmo. Em ambos, consideramos a frequência positiva dos próprios fenômenos e qual a grande frequência de coincidência que isso, por si só, deve produzir, sem supor qualquer conexão entre eles, desde que não haja repugnância; desde que nenhum esteja conectado a qualquer causa que tenda a frustrar o outro. Se encontrarmos uma frequência de coincidência maior do que essa, concluímos que existe alguma conexão; se uma frequência menor, que existe alguma repugnância. No primeiro caso, concluímos que um dos fenômenos pode, em certas circunstâncias, causar o outro, ou que existe algo capaz de causar ambos; no segundo, que um deles, ou alguma causa que produz um deles, é capaz de neutralizar a produção do outro. Assim, temos que deduzir da frequência observada de coincidências tanto quanto possa ser efeito do acaso, isto é, da mera frequência dos próprios fenômenos; e se algo restar, o que resta é o fato residual que comprova a existência de uma lei.

A frequência dos fenômenos só pode ser determinada dentro de limites definidos de espaço e tempo; dependendo, como depende, da quantidade e distribuição dos agentes naturais primordiais, dos quais nada podemos saber além dos limites da observação humana, visto que nenhuma lei, nenhuma regularidade, pode ser traçada neles, permitindo-nos inferir o desconhecido a partir do conhecido. Mas, para o presente propósito, isso não é uma desvantagem, pois a questão está confinada aos mesmos limites dos dados. As coincidências ocorreram em certos lugares e épocas, e dentro desses podemos estimar a frequência com que tais coincidências seriam produzidas pelo acaso. Se, então, constatarmos pela observação que A existe em um caso a cada dois, e B em um caso a cada três; então, se não houver conexão nem repugnância entre eles, ou entre quaisquer de suas causas, os casos em que A e B existirão ambos, isto é, coexistirão, serão um caso a cada seis. Pois A existe em três casos a cada seis; e B, existindo em um caso a cada três, independentemente da presença ou ausência de A, existirá em um caso a cada três. Haverá, portanto, do total de casos, dois em que A existe sem B; um caso de B sem A; dois em que nem B nem A existem; e um caso em seis em que ambos existem. Se, então, de fato, eles coexistirem com mais frequência do que um caso em seis; e, consequentemente, A não existir sem B duas vezes em três vezes, nem B sem A uma vez em duas vezes; existe alguma causa que tende a produzir uma conjunção entre A e B.

Generalizando o resultado, podemos dizer que, se A ocorre em uma proporção maior dos casos em que B ocorre do que dos casos em que B não ocorre, então B também ocorrerá em uma proporção maior dos casos em que A ocorre do que dos casos em que A não ocorre; e existe alguma conexão, por meio de causalidade, entre A e B. Se pudéssemos ascender às causas dos dois fenômenos, encontraríamos, em algum momento, próximo ou remoto, alguma causa ou causas comuns a ambos; e se pudéssemos determinar quais são essas causas, poderíamos formular uma generalização que seria verdadeira sem restrição de lugar ou tempo; mas, até que possamos fazer isso, o fato de haver uma conexão entre os dois fenômenos permanece uma lei empírica.

§ 3. A eliminação do acaso

Tendo considerado de que maneira se pode determinar se uma dada conjunção de fenômenos é casual ou resultado de alguma lei, para completar a teoria do acaso, é necessário que agora consideremos aqueles efeitos que são em parte resultado do acaso e em parte da lei, ou, em outras palavras, nos quais os efeitos de conjunções casuais de causas são habitualmente misturados em um único resultado com os efeitos de uma causa constante.

Este é um caso de Composição de Causas; e a peculiaridade reside no fato de que, em vez de duas ou mais causas intercalando seus efeitos de maneira regular, temos agora uma causa constante, produzindo um efeito que é sucessivamente modificado por uma série de causas variáveis. Assim, com o avanço do verão, a aproximação do sol à posição vertical tende a produzir um aumento constante da temperatura; mas a esse efeito da causa constante, misturam-se os efeitos de muitas causas variáveis, como ventos, nuvens, evaporação, forças elétricas e similares, de modo que a temperatura de um determinado dia depende em parte dessas causas passageiras e apenas em parte da causa constante. Se o efeito da causa constante é sempre acompanhado e mascarado pelos efeitos das causas variáveis, torna-se impossível determinar a lei da causa constante da maneira usual, separando-a de todas as outras causas e observando-a isoladamente. Daí surge a necessidade de uma regra adicional de investigação experimental.

Quando a ação de uma causa A está sujeita a interferências, não de forma constante pela mesma causa ou causas, mas por causas diferentes em momentos diferentes, e quando estas são tão frequentes, ou tão indeterminadas, que não podemos excluí-las completamente de qualquer experimento, mesmo que as variemos, nosso recurso é tentar determinar qual é o efeito de todas as causas variáveis em conjunto. Para isso, realizamos o maior número possível de experimentos, mantendo A invariável. Os resultados desses diferentes experimentos serão naturalmente diferentes, uma vez que as causas modificadoras indeterminadas são diferentes em cada um; se, então, não constatarmos que esses resultados são progressivos, mas, ao contrário, oscilam em torno de um certo ponto, um experimento dando um resultado um pouco maior, outro um pouco menor, um resultado tendendo um pouco mais em uma direção, outro um pouco mais na direção contrária; enquanto o ponto médio não varia, mas diferentes conjuntos de experimentos (realizados na maior variedade possível de circunstâncias) produzem a mesma média, desde que sejam suficientemente numerosos; Então, esse resultado médio, ou mediano, é a parte, em cada experimento, que se deve à causa A, e é o efeito que teria sido obtido se A pudesse ter agido sozinha: o restante variável é o efeito do acaso, isto é, de causas cuja coexistência com a causa A foi meramente casual. O teste da suficiência da indução, neste caso, é quando qualquer aumento no número de tentativas a partir das quais a média é calculada não altera materialmente a média.

Esse tipo de eliminação, em que não eliminamos nenhuma causa atribuível específica, mas sim a multiplicidade de causas flutuantes e inatribuíveis, pode ser denominado Eliminação do Acaso. Um exemplo disso ocorre quando repetimos um experimento para, ao calcular a média dos diferentes resultados, eliminar os efeitos dos erros inevitáveis de cada experimento individual. Quando não há uma causa permanente que produza uma tendência ao erro peculiar em uma direção, a experiência nos permite supor que os erros de um lado, em um certo número de experimentos, irão, aproximadamente, compensar os erros do lado oposto. Portanto, repetimos o experimento até que qualquer mudança produzida na média do conjunto por repetições subsequentes esteja dentro dos limites de erro compatíveis com o grau de precisão exigido pelo objetivo que temos em vista.

§ 4 Descoberta de fenômenos residuais pela eliminação do acaso

Na suposição feita até agora, assumiu-se que o efeito da causa constante A constituía uma parte tão grande e evidente do resultado geral, que sua existência jamais poderia ser uma questão de incerteza, e o objetivo do processo de eliminação era apenas determinar o quanto era atribuível a essa causa; qual era sua lei exata. Contudo, ocorrem casos em que o efeito de uma causa constante é tão pequeno, comparado ao de algumas das causas variáveis com as quais ela pode estar casualmente associada, que por si só passa despercebido, e a própria existência de qualquer efeito decorrente de uma causa constante é descoberta pela primeira vez pelo processo que, em geral, serve apenas para determinar a magnitude desse efeito. Este caso de indução pode ser caracterizado da seguinte forma: sabe-se que um determinado efeito é determinado principalmente, e não totalmente, por causas variáveis. Se for produzido inteiramente por essas causas, então, se considerarmos o conjunto de um número suficiente de casos, os efeitos dessas diferentes causas se anularão mutuamente. Se, portanto, não constatarmos isso, mas, ao contrário, após um número suficiente de tentativas em que nenhum aumento adicional altere o resultado médio, e descobrirmos que essa média não é zero, mas alguma outra grandeza em torno da qual, embora pequena em comparação com o efeito total, o efeito oscila, e que é o ponto médio dessa oscilação, podemos concluir que se trata do efeito de alguma causa constante: causa essa que podemos esperar detectar por meio de alguns dos métodos já tratados. Isso pode ser chamado de descoberta de um fenômeno residual pela eliminação dos efeitos do acaso .

É dessa maneira, por exemplo, que dados viciados podem ser descobertos. É claro que nenhum dado é tão viciado a ponto de sempre apresentar certos números; caso contrário, a fraude seria detectada instantaneamente. O vício, uma causa constante, se mistura com as causas variáveis que determinam qual resultado será obtido em cada lance. Se os dados não fossem viciados e o resultado dependesse inteiramente das causas variáveis, estas, em um número suficiente de lances, se equilibrariam, e não haveria um número preponderante de lançamentos de um determinado tipo. Portanto, se após um número suficiente de tentativas, em que nenhum aumento adicional nesse número tenha qualquer efeito material sobre a média, encontrarmos uma preponderância a favor de um determinado lançamento, podemos concluir com segurança que existe alguma causa constante atuando a favor desse lançamento, ou seja, que os dados não são honestos; e a extensão exata dessa injustiça. De maneira semelhante, descobriu-se a chamada variação diurna do barômetro, muito pequena em comparação com as variações decorrentes das mudanças irregulares no estado da atmosfera, comparando-se a altura média do barômetro em diferentes horas do dia. Ao realizar essa comparação, constatou-se uma pequena diferença, que em média era constante, embora os valores absolutos pudessem variar, e que, portanto, devia ser o efeito de uma causa constante. Posteriormente, deduziu-se que essa causa era a rarefação do ar, ocasionada pelo aumento da temperatura com o avançar do dia.

§ 5. A doutrina das probabilidades

Após essas observações gerais sobre a natureza do acaso, estamos preparados para considerar de que maneira se pode obter a certeza de que uma conjunção entre dois fenômenos, observada um certo número de vezes, não é casual, mas sim resultado de causalidade, e, portanto, deve ser recebida como uma das uniformidades da natureza, embora (até que seja explicada a priori ) apenas como uma lei empírica.

Vamos supor o caso mais forte, ou seja, que o fenômeno B nunca tenha sido observado, exceto em conjunto com A. Mesmo assim, a probabilidade de que estejam conectados não é medida pelo número total de ocorrências em que foram encontrados juntos, mas pelo excesso desse número em relação ao número devido à frequência absoluta de A. Se, por exemplo, A existe sempre e, portanto, coexiste com tudo, nenhum número de ocorrências de sua coexistência com B provaria uma conexão; como em nosso exemplo das estrelas fixas. Se A for um fato de ocorrência tão comum que se possa presumir que esteja presente em metade de todos os casos que ocorrem e, portanto, em metade dos casos em que B ocorre, somente o excesso proporcional acima da metade deve ser considerado como evidência para provar uma conexão entre A e B.

Além da questão "Qual o número de coincidências que, em média, numa grande quantidade de tentativas, podem ser esperadas como resultado do acaso", há também outra questão: "Qual o grau de desvio dessa média que torna a ocorrência plausível, considerando apenas o acaso, num número de casos menor do que o necessário para se obter uma média justa". Não se trata apenas de considerar o resultado geral das probabilidades a longo prazo, mas também os limites extremos de variação em relação ao resultado geral, que podem ocasionalmente ser esperados como resultado de um número menor de casos.

A análise da última questão, e qualquer análise da primeira além da já abordada, pertence ao que os matemáticos chamam de doutrina das probabilidades, ou, numa expressão de maior pretensão, Teoria das Probabilidades.