Marcus analisa esse problema em 1961, ao qual ela se refere como o "exemplo familiar":

(27) 9 igual ao número de planetas

Diz-se que é uma identidade verdadeira para a qual a substituição falha em

(28) ◻(9 > 7)

pois isso leva à falsidade.

(29) ◻(o número de planetas > 7).

Como o argumento sustenta que (27) é contingente (~ ◻(9 eq o número de planetas)), 'eq' de (27) é o análogo apropriado da equivalência material e, consequentemente, o passo de (28) para (29) não é válido, pois a substituição teria que ser feita no escopo do quadrado.

("Modalidades e Linguagens Intensionais", em Synthése , Vol. 13, nº 4 (dez., 1961), p. 313)

A falha da substitutividade pode ser compreendida ao analisarmos o uso de "o número de planetas" como uma referência puramente designativa, como Quine a denomina.

Em (27), “o número de planetas” é a resposta empírica à pergunta “quantos planetas existem no sistema solar?” Não é o que Kripke chamaria de “designador rígido” do número 9. A intenção desta expressão, a sua referência, é o facto “extralinguístico” sobre a quantidade atual de planetas (que Quine apreciava).

A expressão '9' é uma referência matemática (lógica) inequívoca ao número 9. Refere-se ao número 9, que é o seu significado (intensão).

Podemos concluir que (27) não é uma verdadeira identidade, a menos que antes de "o número de planetas" ser quantificado, ele seja qualificado como "o número de planetas enquanto numerosidade, como um número puro". Caso contrário, a referência é "opaca", como Quine a descreve. Mas este é um problema criado por ele mesmo.

Como diz Marcus, quando reconhecemos (27') como contingente, ~◻(9 igual ao número de planetas), não é necessário que 9 seja igual ao número de planetas, sua referência ao número 9 torna-se opaca.

A substituição de um fato empírico possível ou contingente que não é "verdadeiro em todos os mundos possíveis" por um conceito lógico-matemático que é necessariamente verdadeiro é o que causa a falha na substituição.

Quando todas as três afirmações estão "no âmbito do quadrado" (◻), quando todas têm a mesma modalidade, podemos "quantificar em contextos modais", como Quine agora aceita. Ambas as expressões,
'9' e 'o número de planetas, enquanto numerosidade', serão referências à mesma coisa.
Serão idênticas em um aspecto, enquanto número. Serão "referencialmente transparentes".

Em seu artigo de 1943 no Journal of Philosophy, "Notas sobre Existência e Necessidade", Quine escreveu:

Um dos princípios fundamentais que regem a identidade é o da substituitividade – ou, como também poderia ser chamado, o da indiscernibilidade dos idênticos . Ele estabelece que, dada uma afirmação verdadeira de identidade, um de seus dois termos pode ser substituído pelo outro em qualquer afirmação verdadeira e o resultado será verdadeiro . É fácil encontrar casos contrários a esse princípio...

O princípio da substituitividade não deve ser estendido a contextos em que o nome a ser substituído ocorre sem se referir simplesmente ao objeto.

A relação do nome com o objeto cujo nome ele representa é chamada de designação ; o nome 'Cícero' designa o homem Cícero. Uma ocorrência do nome na qual o nome se refere simplesmente ao objeto designado, chamarei de "puramente designativa". A falha da substitutividade revela apenas que a ocorrência a ser substituída não é puramente designativa e que a afirmação depende não apenas do objeto, mas também da forma do nome. Pois é evidente que tudo o que pode ser afirmado sobre o objeto permanece verdadeiro quando nos referimos ao objeto por qualquer outro nome.

Dizer que dois nomes designam o mesmo objeto não significa que sejam sinônimos , ou seja, que tenham o mesmo significado. Para determinar a sinonímia de dois nomes ou outras expressões, bastaria compreender as expressões; mas para determinar que dois nomes designam o mesmo objeto, geralmente é necessário investigar o mundo. Os nomes "Estrela da Tarde" e "Estrela da Manhã", por exemplo, não são sinônimos, tendo sido aplicados cada um a uma determinada esfera de matéria segundo um critério diferente. Mas, a partir de investigações astronômicas, verifica-se que se trata da mesma esfera, do mesmo planeta, em ambos os casos; ou seja, os nomes designam a mesma coisa. A identidade: Estrela da Tarde = Estrela da Manhã é uma verdade da astronomia, que não decorre meramente do significado das palavras.

( Notas sobre Existência e Necessidade , pp. 113-114)

Em 1947, Marcus escreveu um artigo sobre "A Identidade dos Indivíduos", afirmando a "necessidade da identidade". Seu trabalho foi escrito em uma linguagem densa de lógica simbólica, com poucas explicações. Apresentamo-lo aqui para fins de completude histórica.

2,33* . ⊢ (β ₁ I (β ₂ ) ≡ (β ₁ I _m (β ₂ ).
               ((β _I 1 _m (β ₂ ) (β ₁ I (β ₁ ) ) ⥽ (β ₁ 1 (β ₂ ) 2,21, 2,3, subst, 14,26
               (β ₁ I _m (β ₂ ) ⥽ (β ₁ I (β ₂ ) 2,6, 2,32*, subst, adj, 18,61, mod pon
               (β ₁ I (β ₂ ) ≡ (β ₁ I _m (β ₂ ) 18,42, 2,23, subst, adj, def

Uma consequência direta de 2.33* é

2,34* . ⊢ (β ₁ Eu _estou (β ₂ ) ⥽ (B ₁ ≡ B ₂ )

("A IDENTIDADE DOS INDIVÍDUOS EM UM CÁLCULO FUNCIONAL RIGOROSO DE SEGUNDA ORDEM," Journal of Symbolic Logic ,12 (1) p.15)

Cinco anos depois, o orientador de tese de Marcus, Frederick B. Fitch, publicou seu livro, Lógica Simbólica , que continha a prova mais simples já apresentada da necessidade de identidade, por meio da simples substituição matemática de b por a na afirmação da necessidade de autoidentidade.

Claramente, isso é matematicamente e logicamente correto. Fitch substitui b de (1) por a no contexto modal de (2). Isso seria aceitável se fossem apenas equações. Mas, como Barcan Marcus bem sabia a partir do trabalho de Lewis sobre implicação estrita, a substitutividade em proposições também exige que a substituição seja intencionalmente significativa. No sentido de que b é, na verdade, apenas a, substituir b é equivalente a manter a ali, uma tautologia, algo sem nenhuma informação nova. Para ser informativo e provar a verdade necessária da nova proposição, precisamos saber mais sobre b, por exemplo, que sua informação intrínseca em b é idêntica à de a.

Quatorze anos após seu artigo original sobre identidade, Marcus apresentou seu trabalho em um colóquio na Universidade de Boston em 1961, que contou com a presença de Quine e Kripke.

Marcus defendeu a dissociação de nomes diretamente referenciais (incluindo descrições que funcionam como nomes não ambíguos) do tipo de descrição significativa que leva à "opacidade referencial" de Quine. Isso levou, anos mais tarde, aos "designadores rígidos" de Kripke.

Parece também ser uma condição prévia da linguagem que a identificação de uma entidade como uma coisa seja acompanhada por muitas — e talvez um número indefinido ou infinito — de descrições únicas, pois, caso contrário, como ela seria identificada Mas dar um nome próprio a uma coisa é diferente de dar uma descrição única. Suponhamos que fizéssemos um inventário de todas as entidades consideradas coisas por uma determinada cultura, por meio de sua própria linguagem, com seu próprio conjunto de nomes e descrições singulares equivalentes, e suponhamos que esse número fosse finito (essa suposição serve para simplificar a exposição). E suponhamos que randomizássemos tantos números inteiros quantos fossem necessários para uma correspondência um-para-um, e assim rotulássemos cada coisa. Essa etiqueta identificadora é um nome próprio da coisa...

Essa etiqueta, um nome próprio, não tem significado. Ela simplesmente etiqueta. Não é fortemente equivalente a nenhuma das descrições singulares da coisa...

O princípio da indiscernibilidade pode ser entendido como a equiparação do nome próprio de uma coisa com a totalidade de suas descrições.

( Modalidades e línguas intensionais , pp. 309-310)

Marcus também argumentou que nem toda descrição singular impede que ela seja substituída em um contexto lógico. Algumas descrições podem se tornar nomes próprios.

Se decidirmos que "a estrela da tarde" e "a estrela da manhã" são nomes para a mesma coisa, então devem ser intercambiáveis em todos os contextos. De fato, acontece frequentemente, em uma língua em crescimento e constante mudança, que uma expressão descritiva passa a ser usada como um nome próprio — uma etiqueta identificadora — e o significado descritivo se perde ou é ignorado. Às vezes, usamos certos recursos, como o uso de maiúsculas e a omissão do artigo definido, para indicar a mudança de uso. "A estrela da tarde" torna-se "Estrela da Tarde", "a estrela da manhã" torna-se "Estrela da Manhã", e podem passar a ser usadas como nomes para a mesma coisa.

( ibid. , p. 309)

Marcus reiterou a demonstração de sua afirmação sobre a necessidade da identidade. Ela acrescentou explicitamente à sua argumentação a Lei de Leibniz, que relaciona os idênticos aos indiscerníveis.

que se lê "para todo x e para todo y, se "x = y," então necessariamente "x = y".

Em uma linguagem formalizada, os símbolos que nomeiam coisas serão aqueles para os quais faz sentido afirmar que existe um "eu " entre eles, onde " eu " nomeia a relação de identidade... Se "x" e "y" são nomes individuais, então

(1) x I y

Quando a identidade é definida em vez de tomada como primitiva, é comum defini-la em termos de indiscernibilidade, uma das formas da qual é

(2) x Ind y = _df (φ)(φx eq φy)

(3) x eq y = x I y

( ibid. , p. 305)

A afirmação (2) é a Lei de Leibniz, a indiscernibilidade de x de y, por definição significa que para cada propriedade φ, tanto x quanto y têm essa mesma propriedade, φx eq φy.

O livro de Arthur N. Prior, Lógica Formal, foi publicado no ano seguinte com o argumento mais recente de Marcus, incorporando a Lei de Leibniz. Será que Prior discutiu a necessidade da identidade com Marcus?

Alguns anos após a apresentação de Marcus em 1962, David Wiggins desenvolveu uma prova em cinco etapas da necessidade de identidade, usando a Lei de Leibniz, assim como Marcus. Ele não a mencionou. Wiggins foi o primeiro a afirmar explicitamente que a afirmação de autoidentidade (x = x) é uma propriedade φx que deve, por (2), ser uma propriedade de φy.

Mas a propriedade "= x" é o que a filosofia da informação reconhece apenas como uma propriedade intrínseca (interna) de x. Ela nomeia a propriedade de ser autoidêntico. É um absurdo linguístico interpretar isso como (y = x). Uma propriedade idêntica para y é a autoidentidade de y (y = y).

Nos mundos físico e lógico, nenhuma entidade pode deixar de ser idêntica a si mesma. Portanto, podemos falar da necessidade de identidade. Mas isso é uma tautologia, vazia de significado, como A = A, se a única identidade estrita for a autoidentidade.

Marcus foi a primeira a provar a "necessidade de identidade" usando a Lei de Leibniz – a "Identidade dos Indiscerníveis". Assim como Frege, Wittgenstein e outros, ela a utilizou apenas para estabelecer a autoidentidade.

Dez anos depois de Marcus, Saul Kripke publicou um argumento semelhante em seu artigo de 1971, "Identidade e Necessidade". Infelizmente, são as palestras de Kripke de 1970 (embora publicadas somente em 1982), e não o trabalho de Marcus de 1961 nem a abordagem de Wiggins de 1965, que são mais conhecidas pela ideia da "Necessidade da Identidade", bem como pela necessidade de nomes diretamente referenciais ao quantificar em contextos modais.

Kripke simplifica Wiggins (1965). Podemos comparar as duas exposições:

Wiggins (1965)

Kripke (1971)

A conexão do que vou dizer com os cálculos modais pode ser indicada da seguinte maneira. Parece ser uma verdade necessária que, se a = b, então tudo o que é verdadeiramente atribuível a a é verdadeiramente atribuível a b e vice-versa ( Lei de Leibniz ). Isso equivale ao princípio (1) (x)(y)((x = y) ⊃ (φ)(φx ≡ φy)) Suponha que as declarações de identidade sejam atribuições ou predicações. Então, a variável predicativa em (1) aparentemente abrangerá propriedades como a expressa por '( = a) ' e obteremos como consequência de (1) (2) (x) (y) ((x = y) ⊃ (x = x. ⊃. y = x)) Não há nada de intrigante nisso. Mas se (como muitos lógicos modais acreditam), existem modalidades de re da forma ◻ (φa) ( ou seja , necessariamente (φa)), Então, algo menos inocente se segue. Se '( = a ) ' expressa uma propriedade, então '◻ (a=a)', se também se referir ao objeto a, também atribui algo a a, ou seja, a propriedade ◻ ( = a). Pois, numa visão ingênua e pré-teórica de propriedades, você chegará a uma expressão para uma propriedade sempre que subtrair uma expressão nominal com ocorrência material (algo como 'a ' neste caso) de uma frase declarativa simples. A propriedade ◻ ( = a) então se enquadra no alcance da variável predicativa na Lei de Leibniz (entendida desta forma intuitiva) e obtemos (3) (x) (y) (x = y ⊃ (◻ (x = x). ⊃. ◻(y = x))) Portanto, invertendo os antecedentes, (4) (x) (y) ( ◻ (x = x). ⊃. (x = y) ⊃ ◻(x = y)) Mas (x) ( ◻ (x=x)) ' é uma verdade necessária, então podemos descartar esse antecedente e chegar a (5) (x)(y)((x = y). ⊃. ◻(x = y))

Primeiro, a lei da substitutividade da identidade afirma que, para quaisquer objetos x e y, se x é idêntico a y, então se x possui uma certa propriedade F, y também a possui: (1) (x)(y) [(x = y) ⊃ (Fx ⊃ Fy)] [Note que Kripke omite o quantificador universal (F) de importância crítica, "para todo F".] Por outro lado, todo objeto é certamente necessariamente idêntico a si mesmo: (2) (x) ◻(x = x) Mas (3) (x)(y) (x = y) ⊃ [◻(x = x) ⊃ ◻ (x = y)] é um exemplo de substituição de (1), a lei da substitutividade. De (2) e (3), podemos concluir que, para todo x e y, se x é igual a y, então, é necessário que x seja igual a y: (4) (x)(y) ((x = y) ⊃ ◻ (x=y)) Isso ocorre porque a cláusula ◻(x = x) da condicional é eliminada, pois sabe-se que é verdadeira.

Kripke não cita Wiggins como a fonte do argumento, mas logo após sua exposição acima, Kripke cita David Wiggins dizendo em suas "Declarações de Identidade" de 1965:

Agora, sem dúvida, existem declarações de identidade contingentes. Seja a = b uma delas. De sua verdade simples e (5) [= (4) acima], podemos derivar '◻ ( a = b)'. Mas como então podem existir declarações de identidade contingentes?

( Identidade e Necessidade , p. 136)

Kripke prossegue descrevendo o argumento sobre b compartilhar a propriedade "= a" de ser idêntico a a, o que interpretamos como mera autoidentidade, e Kripke também pode interpretar dessa forma.

Se x e y são a mesma coisa e podemos falar de propriedades modais de um objeto, isto é, na linguagem usual, podemos falar de modalidade de re e de um objeto necessariamente possuir certas propriedades como tal, então a fórmula (1), creio eu, deve ser válida. Onde x é qualquer propriedade, incluindo uma propriedade que envolva operadores modais, e se x e y são o mesmo objeto e x possui uma certa propriedade F, então y deve possuir a mesma propriedade F. E isso é válido mesmo que a propriedade F seja necessariamente da forma de possuir alguma outra propriedade G, em particular a de ser necessariamente idêntica a um certo objeto. [isto é, = x]

Bem, não discutirei a fórmula (4) em si, porque por si só ela não afirma, de qualquer afirmação verdadeira de identidade em particular, que ela seja necessária. Ela não diz nada sobre afirmações. Ela diz que para todo objeto x e objeto y, se x e y são o mesmo objeto, então é necessário que x e y sejam o mesmo objeto. E isso, eu acho, se pensarmos bem (de qualquer forma, se alguém não pensa assim, não vou argumentar aqui), equivale a algo muito pouco diferente da afirmação (2). Já que x, por definição de identidade, é o único objeto idêntico a x, "(y)(y = x ⊃ Fy)" me parece pouco mais do que uma maneira prolixa de dizer 'Fx' e, portanto, (x) (y)(y = x ⊃ Fx) diz o mesmo que (x)Fx, não importa o que 'F' seja — em particular, mesmo que 'F' represente a propriedade de identidade necessária com x. Portanto, se x tem essa propriedade (de identidade necessária com x), trivialmente tudo o que é idêntico a x a possui, como afirma (4). Mas, a partir da afirmação (4), aparentemente pode-se deduzir várias afirmações particulares de que a identidade deve ser necessária e isso é então considerado uma consequência muito paradoxal.

( Identidade e Necessidade , p. 137-138)

O princípio da indiscernibilidade dos idênticos afirma que, se x = y, então x e y devem compartilhar todas as suas propriedades; caso contrário, haveria uma diferença discernível. Ora, Kripke argumenta que uma das propriedades de x é que x = x, portanto, se y compartilha a propriedade de '= x', podemos dizer que y = x. Então, necessariamente, x = y.

No entanto, duas coisas distintas , x e y, não podem ser idênticas, porque existe alguma diferença de informação entre elas. Em vez de afirmar que y possui a propriedade de x de ser idêntico a x, podemos dizer apenas que y possui a propriedade de x de ser autoidêntico, portanto y = y. Assim, x e y permanecem distintos pelo menos nessa propriedade intrínseca , bem como em propriedades extrínsecas , como suas posições distintas no espaço.

Em seu livro de 1980, Sameness and Substance (Semelhança e Substância) , David Wiggins elabora seu argumento de 1965, mas desta vez ele dá o devido crédito a Marcus.

Esta demonstração adapta uma famosa demonstração da necessidade da identidade, apresentada por Ruth Barcan Marcus em 1947. Sua vantagem, quando apresentada desta forma, reside em tornar evidente que todas as substituições na demonstração de Barcan podem ser feitas em posições manifestamente extensionais, que estão fora do escopo de "necessariamente".

A demonstração da Srta. Barcan foi recebida com incredulidade por aqueles comprometidos com a assimilação mútua (muito criticada em tempos mais recentes por Kripke e outros) das categorias de necessidade e prioridade , e rejeitada sob o argumento de que a identidade entre a estrela da manhã e a estrela da tarde era uma descoberta a posteriori . Mas mesmo que a afirmação verificável a priori como verdadeira e a afirmação necessariamente verdadeira coincidissem perfeitamente em suas extensões, o teorema da Srta. Barcan ainda poderia ser válido em nossa versão. Pois a conclusão não é apresentada aqui como uma afirmação necessariamente verdadeira. (Sobre isso, permanecemos em silêncio.)

( Semelhança e Substância , pp. 110-111)

Barcan, RC (1946). " Um cálculo funcional de primeira ordem baseado na implicação estrita ." The Journal of Symbolic Logic , 11(01), 1-16.
Barcan, RC (1946). " O teorema da dedução em um cálculo funcional de primeira ordem baseado na implicação estrita ." The Journal of Symbolic Logic , 11(04), 115-118.
Barcan, RC (1947). " A identidade de indivíduos em um cálculo funcional estrito de segunda ordem ." The Journal of Symbolic Logic , 12(01), 12-15.
Kripke, Saul. 1971. "Identidade e Necessidade." Em Munitz 1971, 135-164.
Kripke, Saul. 1981. " Nomeação e Necessidade ." Blackwell Publishing.
Marcus, RB (1961). Modalidades e linguagens intensionais. Synthése , 13(4), 303-322.
Munitz, Milton, ed. 1971. Identidade e Individuação . Nova York: New York University Press.
Quine, WV 1943. "Notas sobre Existência e Necessidade." The Journal of Philosophy , 40 (5) p.113
Quine, WV 1947. "O Problema da Interpretação da Lógica Modal." The Journal of Symbolic Logic 12 (2) p.43
Quine, WV 1953. De um Ponto de Vista Lógico , Cambridge, MA: Harvard University Press.
Wiggins, David. 1965. "Declarações de Identidade", em Filosofia Analítica , Segunda Série, Oxford: Blackwell.
Wiggins, David. 1980. Semelhança e Substância . Cambridge University Press.
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