O Grande Ano não deve ser confundido com o tempo que a precessão dos equinócios leva para retornar os equinócios à mesma posição ao longo do Zodíaco - embora esse tempo (cerca de 26.000 anos) seja da mesma ordem de grandeza que um famoso número dado pelos astrônomos babilônicos para o Grande Ano (36.000 anos).

Muitas sociedades tinham o conceito do Grande Ano, mas nenhuma fazia cálculos tão meticulosos quanto os babilônios. Como os períodos orbitais dos planetas não eram exatamente compatíveis, eles continuavam aumentando o período do Grande Ano na busca por uma época de recorrência mais adequada.

Os estoicos gregos e romanos acreditavam que o Grande Ano era um sinal da lei que reina na natureza e do Deus da razão que ali residia.

Na filosofia moderna, Friedrich Nietzsche descreveu um eterno retorno em seu Also Sprach Zarathustra .

O paradoxo de Zermelo foi uma crítica ao Teorema H de Ludwig Boltzmann , sua tentativa fracassada de derivar o aumento da entropia exigido pela segunda lei da termodinâmica a partir da dinâmica clássica básica.

Foi o segundo ataque "paradoxal" a Boltzmann. O primeiro foi a afirmação de Josef Loschmidt de que a entropia seria reduzida se o tempo fosse revertido. Este é o problema da reversibilidade microscópica .

Os dois problemas da reversibilidade (paradoxo de Loschmidt ou Umwiederkehreinwand ) e da recorrência (paradoxo de Zermelo ou Wiederkehreinwand ) foram ambos levantados por críticos do século XIX contra a tentativa fracassada de Boltzmann, através do teorema H, de explicar o aumento da entropia termodinâmica.

Ernst Zermelo foi um matemático extraordinário. Ele foi (em 1908) o fundador da teoria axiomática dos conjuntos , que, com a adição do axioma da escolha (também de Zermelo, em 1904), é o fundamento mais comum da matemática. O axioma da escolha afirma que, dada qualquer coleção de conjuntos, é possível encontrar uma maneira de selecionar, sem ambiguidade, um objeto de cada conjunto, mesmo que o número de conjuntos seja infinito.

Antes dessa obra extraordinária, Zermelo era um jovem colaborador de Max Planck em Berlim, um dos muitos físicos alemães que se opuseram ao trabalho de Boltzmann para estabelecer a existência dos átomos.

A crítica de Zermelo baseava-se na obra de Henri Poincaré , especialista no problema dos três corpos, que, ao contrário do problema de duas partículas, não possui uma solução analítica exata. Enquanto dois corpos podem se mover em trajetórias que podem se repetir exatamente após um certo tempo, três corpos só podem se aproximar arbitrariamente de uma configuração inicial, dado tempo suficiente.

Poincaré conseguiu estabelecer limites ou restrições para as possíveis configurações dos três corpos a partir das leis de conservação. Planck e Zermelo aplicaram parte do raciocínio de Poincaré às n partículas em um gás. Eles argumentaram que, dado um tempo suficientemente longo, as partículas retornariam a uma distribuição no "espaço de fase" (um espaço de 6n dimensões com velocidades e posições possíveis) que seria indistinguível da distribuição original. Isso é chamado de "tempo de recorrência" de Poincaré.

Assim, argumentaram eles, a fórmula de Boltzmann para a entropia, em algum momento futuro, voltaria a diminuir, invalidando a afirmação de Boltzmann de que sua medida de entropia sempre aumenta — como exige a segunda lei da termodinâmica. Poincaré descreveu seu ponto de vista em 1890.

Um teorema, fácil de provar, afirma que um mundo limitado, governado apenas pelas leis da mecânica, sempre passará por um estado muito próximo do seu estado inicial. Por outro lado, segundo as leis experimentais aceitas (se lhes atribuirmos validade absoluta e estivermos dispostos a levar suas consequências ao extremo), o universo tende a um certo estado final, do qual jamais se afastará. Nesse estado final, que será uma espécie de morte, todos os corpos estarão em repouso à mesma temperatura.

Não sei se já foi observado que as teorias cinéticas inglesas conseguem se desvencilhar dessa contradição. O mundo, segundo elas, tende inicialmente a um estado em que permanece por um longo tempo sem mudanças aparentes; e isso é consistente com a experiência; mas não permanece assim para sempre, se o teorema citado acima não for violado; ele simplesmente permanece ali por um tempo enormemente longo, um tempo que é maior quanto mais numerosas forem as moléculas. Esse estado não será a morte final do universo, mas uma espécie de sono, do qual ele despertará após milhões e milhões de séculos.

A "pouca paciência" de Poincaré seria severamente testada pelo cálculo de Boltzmann de que mesmo um pequeno número de partículas não se repetiria em seus "milhões e milhões de séculos".

Segundo essa teoria, para ver o calor passar de um corpo frio para um corpo quente, não será necessário ter a visão aguçada, a inteligência e a destreza do demônio de Maxwell; bastará ter um pouco de paciência.

Seria ótimo poder parar por aqui e esperar que um dia o telescópio nos mostre um mundo em processo de despertar, onde as leis da termodinâmica sejam invertidas.

("Sobre o Problema dos Três Corpos", Acta Mathematica 1890)

Boltzmann respondeu que seu argumento era estatístico. Ele apenas afirmou que o aumento da entropia era esmagadoramente mais provável do que a diminuição prevista por Zermelo. Boltzmann calculou a probabilidade de uma diminuição em um gás muito pequeno, com apenas algumas centenas de partículas, e descobriu que o tempo necessário para que tal diminuição ocorresse era muitas ordens de magnitude maior do que a idade presumida do universo.

A ideia de que um sistema macroscópico pode retornar exatamente às mesmas condições físicas está intimamente relacionada à ideia de que um agente pode enfrentar " exatamente as mesmas circunstâncias " ao tomar uma decisão. Os deterministas sustentam que, dado o "passado fixo" e as "leis da natureza", o agente teria que tomar exatamente a mesma decisão novamente.

Em um universo determinístico clássico , como o de Laplace , onde a informação é constante, a recorrência de Zermelo é matematicamente possível. Dado tempo suficiente, o universo pode retornar às circunstâncias exatas de qualquer instante anterior, pois contém a mesma quantidade de matéria, energia e informação.

Mas, no universo real, David Layzer argumentou que a informação (e o conteúdo material do universo) se expande a partir de um mínimo na origem, para quantidades cada vez maiores de informação. Consequentemente, é estatisticamente e realisticamente improvável (senão impossível) que o universo como um todo retorne exatamente às mesmas circunstâncias de qualquer momento anterior.