O problema ergódico, ou o problema da ergodicidade , tem uma longa história que remonta ao desenvolvimento da mecânica estatística por Ludwig Boltzmann .

Atualmente, a teoria ergódica consiste em um conjunto de problemas formais em matemática que surgem da dinâmica da mecânica clássica determinística e contínua . Ela se ocupa da trajetória de uma partícula infinitesimal hipotética em um espaço de fase de 6 dimensões, ou na trajetória de N partículas em um espaço de 6N dimensões.

A "hipótese ergódica" teve origem com Boltzmann e foi utilizada por J. Willard Gibbs e Albert Einstein para substituir as médias temporais dos movimentos de um único sistema dinâmico pelas propriedades médias de um "conjunto" de sistemas idênticos, por vezes descrita de forma imprecisa como a substituição das médias temporais por médias "espaciais".

O problema ergódico está intimamente ligado aos problemas da reversibilidade (paradoxo de Loschmidt ou Umkehreinwand ) e da recorrência (paradoxo de Zermelo ou Umwiederkehreinwand ) levantados pelos críticos do século XIX contra o teorema de Boltzmann sobre o aumento da entropia termodinâmica.

A filosofia da informação sugere que a solução para esse problema difícil é usar a física quântica indeterminística e discreta para considerar o que acontece quando partículas materiais se aproximam umas das outras.

A termodinâmica fenomenológica de Carnot e Clausius utiliza apenas variáveis contínuas macroscópicas, como pressão, volume, temperatura e potenciais químicos, para descobrir a entropia.

A mecânica estatística de Boltzmann e James Clerk Maxwell estuda as possíveis distribuições de N partículas nas 6N dimensões do seu espaço de fase. Geralmente, estuda gases em estado de equilíbrio para derivar todos os resultados da termodinâmica clássica.

Maxwell foi o primeiro a calcular a distribuição de velocidades (e, portanto, de energias) das partículas de um "gás ideal". Em um "gás ideal", assumimos que as colisões entre as partículas são "elásticas". Toda a energia está na forma de energia cinética das partículas em movimento.

A teoria cinética dos gases de Boltzmann analisa a estatística das colisões entre partículas de gás para tirar conclusões sobre sistemas que podem estar longe do equilíbrio. Boltzmann negligenciou quaisquer colisões de três partículas, partindo do pressuposto de que mesmo colisões de duas partículas são raras.

A equação de transporte de Boltzmann analisa o fluxo de partículas para dentro e para fora de um determinado volume. Ele estudou colisões de duas partículas e assumiu que, após a colisão, não havia correlação com as trajetórias e velocidades anteriores às colisões. Ele chamou essa suposição de "caos molecular" ou "desordem molecular" ( molekular geordnet ).

Utiliza-se o teorema de Liouville, que afirma que a função de distribuição no espaço de fase é constante ao longo das trajetórias do sistema. A distribuição no espaço de fase ρ(p,q) determina a probabilidade ρ(p,q)dqdp de que o sistema seja encontrado no volume infinitesimal dqdp do espaço de fase . A densidade de pontos do sistema na vizinhança de um ponto dado do sistema que se desloca pelo espaço de fase é constante no tempo.

A mecânica estatística assume que probabilidades a priori nos fornecem a densidade. O princípio mecânico subjacente é a mecânica clássica de Newton.

Em 1874, Josef Loschmidt criticou a tentativa de seu colega mais jovem, Ludwig Boltzmann , em 1866, de derivar da dinâmica clássica básica o aumento da entropia exigido pela segunda lei da termodinâmica.

O aumento da entropia é a íntima ligação entre o tempo e a segunda lei da termodinâmica, que Arthur Stanley Eddington mais tarde chamou de Flecha do Tempo . (A flecha fundamental do tempo é a expansão do universo, que abre espaço para todas as outras flechas.) Apesar de nunca se ter observado uma diminuição da entropia em um sistema isolado, as tentativas de "provar" que ela sempre aumenta fracassaram.

A crítica de Loschmidt baseava-se na ideia simples de que as leis da dinâmica clássica são reversíveis no tempo. Consequentemente, se simplesmente revertêssemos o tempo, a evolução temporal do sistema deveria levar a uma diminuição da entropia. É claro que não podemos reverter o tempo, mas um sistema dinâmico clássico evoluiria em sentido inverso se todas as partículas pudessem ter suas velocidades exatamente invertidas. Além da impossibilidade prática de fazer isso, Loschmidt demonstrou que poderiam existir sistemas nos quais a entropia deveria diminuir em vez de aumentar. Isso é chamado de "Objeção da Reversibilidade" ( Umwiederkehreinwand ) de Loschmidt ou "Paradoxo de Loschmidt". Nós o chamamos de problema da reversibilidade microscópica .

O paradoxo de Zermelo foi uma crítica ao Teorema H de Ludwig Boltzmann , a tentativa de derivar o aumento da entropia exigido pela segunda lei da termodinâmica a partir da dinâmica clássica básica.

Foi o segundo ataque "paradoxal" a Boltzmann. O primeiro foi a afirmação de Josef Loschmidt de que a entropia seria reduzida se o tempo fosse revertido. Este é o problema da reversibilidade microscópica .

Ernst Zermelo foi um matemático extraordinário. Ele foi (em 1908) o fundador da teoria axiomática dos conjuntos , que, com a adição do axioma da escolha (também de Zermelo, em 1904), é o fundamento mais comum da matemática. O axioma da escolha afirma que, dada qualquer coleção de conjuntos, é possível encontrar uma maneira de selecionar, sem ambiguidade, um objeto de cada conjunto, mesmo que o número de conjuntos seja infinito.

Antes dessa obra extraordinária, Zermelo era um jovem colaborador de Max Planck em Berlim, um dos muitos físicos alemães que se opuseram ao trabalho de Boltzmann para estabelecer a existência dos átomos.

A crítica de Zermelo baseava-se na obra de Henri Poincaré , especialista no problema dos três corpos, que, ao contrário do problema de duas partículas, não possui uma solução analítica exata. Enquanto dois corpos podem se mover em trajetórias que podem se repetir exatamente após um certo tempo, três corpos só podem se aproximar arbitrariamente de uma configuração inicial, dado tempo suficiente.

Poincaré conseguiu estabelecer limites ou restrições para as possíveis configurações dos três corpos a partir das leis de conservação. Planck e Zermelo aplicaram parte do raciocínio de Poincaré às n partículas em um gás. Eles argumentaram que, dado um tempo suficientemente longo, as partículas retornariam a uma distribuição no "espaço de fase" (um espaço de 6n dimensões com velocidades e posições possíveis) que seria indistinguível da distribuição original. Isso é chamado de "tempo de recorrência" de Poincaré.

Assim, argumentaram eles, a fórmula de Boltzmann para a entropia, em algum momento futuro, voltaria a diminuir, invalidando a afirmação de Boltzmann de que sua medida de entropia sempre aumenta — como exige a segunda lei da termodinâmica. Poincaré descreveu seu ponto de vista em 1890.

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