O Princípio da Superposição
A equação de Schrödinger é
H ψ n = E n ψ n , (1)
onde H é o operador hamiltoniano, ψ n é a função de onda para o estado n , e os E n são os autovalores de energia para os estados.
As autofunções ψ n são ortogonais entre si.
onde a "função delta"
δ nm = 1, se n = m , e = 0, se n ≠ m . (3)
Uma vez normalizados, os
ψ n formam um conjunto ortonormal de funções (ou vetores) que podem servir como base para a expansão de uma função de onda
φ arbitrária.
| φ > = ∑ n = 0 n = ∞ c n | ψ n >. (4)
Os coeficientes de expansão são
No espaço de Hilbert abstrato, < ψ n | φ > é a "projeção" do vetor φ nos eixos ortogonais ψ n do conjunto de vetores "base" ψ n .
A equação de Schrödinger é uma equação linear . Ela não possui termos quadráticos ou de potência superior, e isso introduz o princípio da superposição de estados quânticos, uma característica profunda — e para muitos cientistas e filósofos, perturbadora — da mecânica quântica, algo impossível na física clássica .
Se ψ a e ψ b são ambas soluções da equação (1), então uma combinação linear arbitrária destas,
| ψ > = ca | ψ a > + c b | ψ b >, (6)
com coeficientes complexos c a e c b , também é uma solução.
A regra de Born, de que as ondas são probabilidades, foi na verdade sugerida pela primeira vez por Einstein.
Juntamente com a interpretação probabilística (estatística) da função de onda de Born, o princípio da superposição explica os principais mistérios da teoria quântica, alguns dos quais esperamos resolver, ou pelo menos reduzir, com uma explicação objetiva (independente do observador) da criação
irreversível de informação durante os processos quânticos.
A informação observável é fundamental para as medições, embora os observadores possam surgir a qualquer momento após a informação passar a existir como consequência da interação entre um sistema quântico e um aparelho de medição.
A natureza quântica (discreta) dos sistemas físicos resulta do fato de geralmente haver um grande número de soluções ψ n (chamadas autofunções) da equação (1) em sua forma independente do tempo, com autovalores de energia E n .
Um exemplo de superposição.
Dirac nos diz que um fóton polarizado diagonalmente pode ser representado como uma
superposição de estados verticais e horizontais, com coeficientes de números complexos que representam "
amplitudes de probabilidade ". Os autoestados de polarização horizontal e vertical são as únicas "
possibilidades ", se o aparelho de medição for projetado para medir polarização horizontal ou vertical.
Por isso,
|
d > = ( 1/√2) |
v > + ( 1/√2) |
h > (10)
Os vetores (funções de onda) v e h são a escolha apropriada de vetores de base, os comprimentos dos vetores são normalizados para a unidade e a soma dos quadrados das amplitudes de probabilidade também é igual a um. Esta é a condição de ortonormalidade necessária para interpretar os (quadrados das) funções de onda como probabilidades .
Quando esses coeficientes numéricos (em geral complexos) (1/√2) são elevados ao quadrado (na verdade, quando são multiplicados por seus conjugados complexos para produzir números reais positivos), os números (1/2) representam as probabilidades de encontrar o fóton em um ou outro estado, caso uma medição seja feita em um estado inicial que esteja diagonalmente polarizado.
Note que, se o estado inicial do fóton fosse vertical, sua projeção ao longo do vetor da base vertical seria igual a um, e sua projeção ao longo do vetor horizontal seria zero. Nossas previsões de probabilidade seriam então: vertical = 1 (certeza) e horizontal = 0 (também certeza). A física quântica nem sempre é incerta , apesar de sua reputação.
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