Em uma teoria completa, existe um elemento correspondente a cada elemento da realidade. Uma condição suficiente para a realidade de uma grandeza física é a possibilidade de prevê-la com certeza, sem perturbar o sistema. Na mecânica quântica, no caso de duas grandezas físicas descritas por operadores não comutativos, o conhecimento de uma impede o conhecimento da outra. Então, ou (1) a descrição da realidade dada pela função de onda na mecânica quântica não é completa ou (2) essas duas grandezas não podem ter realidade simultânea. A consideração do problema de fazer previsões sobre um sistema com base em medições feitas em outro sistema que interagiu previamente com ele leva ao resultado de que, se (1) for falso, então (2) também será falso. Conclui-se, portanto, que a descrição da realidade dada por uma função de onda não é completa.

Qualquer análise séria de uma teoria física deve levar em conta a distinção entre a realidade objetiva, que é independente de qualquer teoria, e os conceitos físicos com os quais a teoria opera. Esses conceitos visam corresponder à realidade objetiva, e é por meio deles que representamos essa realidade para nós mesmos.

Ao tentar avaliar o sucesso de uma teoria física, podemos nos fazer duas perguntas: (1) "A teoria está correta" e (2) "A descrição fornecida pela teoria é completa" Somente se ambas as perguntas forem respondidas afirmativamente, os conceitos da teoria podem ser considerados satisfatórios. A correção da teoria é avaliada pelo grau de concordância entre suas conclusões e a experiência humana. Essa experiência, que por si só nos permite inferir sobre a realidade, na física se manifesta por meio de experimentos e medições. É a segunda questão que desejamos analisar aqui, aplicada à mecânica quântica.

Independentemente do significado atribuído ao termo "completo" , o seguinte requisito para uma teoria completa parece ser necessário: cada elemento da realidade física deve ter uma contraparte na teoria física . Chamaremos a isso de condição de completude. A segunda questão, portanto, é facilmente respondida assim que formos capazes de definir quais são os elementos da realidade física.

Os elementos da realidade física não podem ser determinados por considerações filosóficas a priori , mas devem ser encontrados por meio de resultados de experimentos e medições. Uma definição abrangente de realidade, no entanto, é desnecessária para o nosso propósito.

Estaremos satisfeitos com o seguinte critério, que consideramos razoável. Se, sem perturbar de forma alguma um sistema, pudermos prever com certeza (isto é, com probabilidade igual a um) o valor de uma grandeza física, então existe um elemento da realidade física correspondente a essa grandeza física . Parece-nos que este critério, embora longe de esgotar todas as formas possíveis de reconhecer uma realidade física, ao menos nos fornece uma delas, sempre que as condições nele estabelecidas ocorrerem. Considerado não como uma condição necessária, mas meramente suficiente, da realidade, este critério está em consonância tanto com as ideias clássicas quanto com as da mecânica quântica sobre a realidade.

Para ilustrar as ideias envolvidas, consideremos a descrição mecânica quântica do comportamento de uma partícula com um único grau de liberdade. O conceito fundamental da teoria é o conceito de estado , que se supõe ser completamente caracterizado pela função de onda ψ , a qual é uma função das variáveis escolhidas para descrever o comportamento da partícula. Correspondendo a cada quantidade fisicamente observável A, existe um operador, que pode ser designado pela mesma letra. Se ψ é uma autofunção do operador A , isto é, se

onde a é um número, então a grandeza física A tem com certeza o valor α sempre que a partícula estiver no estado dado por ψ . De acordo com nosso critério de realidade, para uma partícula no estado dado por ψ para a qual a Eq. (1) é válida, existe um elemento de realidade física correspondente à grandeza física A. Seja, por exemplo,

onde h é a constante de Planck, p0 _é um número constante e x é a variável independente. Como o operador correspondente ao momento da partícula é

nós obtemos

Assim, no estado dado pela Eq. (2), o momento certamente tem o valor p ₀ . Portanto, faz sentido dizer que o momento da partícula no estado dado pela Eq. (2) é real.

Por outro lado, se a Eq. (1) não for válida, não podemos mais falar da grandeza física A tendo um valor específico. Este é o caso, por exemplo, da coordenada da partícula. O operador correspondente a ela, digamos q , é o operador de multiplicação pela variável independente. Assim,

De acordo com a mecânica quântica, podemos apenas afirmar que a probabilidade relativa de uma medição da coordenada resultar em um valor entre a e b é

Como essa probabilidade é independente de a , mas depende apenas da diferença b - a , vemos que todos os valores da coordenada são igualmente prováveis.

Um valor definido para a coordenada, para uma partícula no estado dado pela Eq. (2), não é, portanto, previsível, mas pode ser obtido apenas por uma medição direta. Tal medição, no entanto, perturba a partícula e, portanto, altera seu estado. Após a determinação da coordenada, a partícula não estará mais no estado dado pela Eq. (2). A conclusão usual disso na mecânica quântica é que, quando o momento de uma partícula é conhecido, sua coordenada não tem realidade física .

De maneira mais geral, a mecânica quântica demonstra que, se os operadores correspondentes a duas grandezas físicas, digamos A e B , não comutam, isto é, se AB ≠ BA , então o conhecimento preciso de uma delas impede o conhecimento da outra. Além disso, qualquer tentativa de determinar experimentalmente esta última alterará o estado do sistema de tal forma que destruirá o conhecimento da primeira.

Disso decorre que ou (1) a descrição quântica da realidade dada pela função de onda não é completa ou (2) quando os operadores correspondentes a duas grandezas físicas não comutam, as duas grandezas não podem ter realidade simultânea . Pois, se ambas tivessem realidade simultânea — e, portanto, valores definidos — esses valores entrariam na descrição completa, de acordo com a condição de completude. Se a função de onda fornecesse tal descrição completa da realidade, ela conteria esses valores; estes seriam então previsíveis. Não sendo esse o caso, restam-nos as alternativas apresentadas.

Em mecânica quântica, geralmente se assume que a função de onda contém uma descrição completa da realidade física do sistema no estado ao qual ela corresponde. À primeira vista, essa suposição é inteiramente razoável, pois a informação obtida a partir de uma função de onda parece corresponder exatamente ao que pode ser medido sem alterar o estado do sistema. Mostraremos, no entanto, que essa suposição, juntamente com o critério de realidade apresentado acima, leva a uma contradição.

Para isso, suponhamos que temos dois sistemas, I e II, que permitimos interagir do instante t = 0 até t = T , após o qual supomos que não há mais interação entre as duas partes. Suponhamos ainda que os estados dos dois sistemas antes de t = 0 eram conhecidos. Podemos então calcular, com o auxílio da equação de Schrödinger, o estado do sistema combinado I + II em qualquer instante subsequente; em particular, para qualquer t > T. Denominemos a função de onda correspondente por Ψ. Não podemos, contudo, calcular o estado em que qualquer um dos dois sistemas permanece após a interação. Isso, de acordo com a mecânica quântica, só pode ser feito com o auxílio de medições adicionais, por um processo conhecido como redução do pacote de ondas . Consideremos os aspectos essenciais desse processo.

Sejam a₁ _, a₂ , a₃ _, ... os autovalores de alguma grandeza física A pertencente ao sistema I e _u₁
( x₁ _{) ,} u₂ ₍ x₁ ₎ , u₃ ₍ x₁ ₎ , ... as autofunções correspondentes, onde _x₁ representa as variáveis usadas para descrever o primeiro sistema. Então Ψ, considerada como uma função de x₁ _, pode ser expressa como

onde x ₂ representa as variáveis usadas para descrever o segundo sistema. Aqui, ψ _n (x ₂ ) devem ser considerados meramente como os coeficientes da expansão de Ψ em uma série de funções ortogonais u _n (x ₁ ) . Suponha agora que a quantidade A seja medida e que se verifique que ela tem o valor a _k . Conclui-se então que, após a medição, o primeiro sistema permanece no estado dado pela função de onda u _k (x ₁ ) , e que o segundo sistema permanece no estado dado pela função de onda ψ _k (x ₂ ) . Este é o processo de redução do pacote de ondas; o pacote de ondas dado pela série infinita (7) é reduzido a um único termo ψ _k (x ₂ ) u _k (x ₁ )

O conjunto de funções u _n (x ₁ ) é determinado pela escolha da grandeza física A . Se, em vez disso, tivéssemos escolhido outra grandeza, digamos B , com os autovalores b ₁ , b ₂ , b ₃ ,...e autofunções v ₁ (x ₁ ), v ₂ (x ₁ ), v ₃ (x ₁ ) , ... deveríamos ter obtido, em vez da Eq. (7), a expansão

onde φ _s 's são os novos coeficientes. Se agora a quantidade B for medida e for encontrado o valor b _r , concluímos que após a medição o primeiro sistema fica no estado dado por v _r (x ₁ ) e o segundo sistema fica no estado dado por φ _s (x ₂ ) .

Vemos, portanto, que, como consequência de duas medições diferentes realizadas no primeiro sistema, o segundo sistema pode ficar em estados com duas funções de onda diferentes.

Por outro lado, como no momento da medição os dois sistemas já não interagem, nenhuma mudança real pode ocorrer no segundo sistema em consequência de qualquer ação que possa ser tomada no primeiro sistema. Isso é, obviamente, apenas uma afirmação do que se entende por ausência de interação entre os dois sistemas. Assim, é possível atribuir duas funções de onda diferentes (em nosso exemplo _, ψk e φr ₎ à mesma realidade (o segundo sistema após a interação com o primeiro).

Agora, pode acontecer que as duas funções de onda, ψ _k e φ _r , sejam autofunções de dois operadores não comutativos correspondentes a algumas grandezas físicas P e Q , respectivamente. Que isso possa de fato ocorrer pode ser melhor demonstrado por um exemplo. Suponhamos que os dois sistemas sejam duas partículas, e que

onde x ₀ é alguma constante. Seja A o momento da primeira partícula; então, como vimos na Eq. (4), suas autofunções serão

correspondente ao autovalor p . Como temos aqui o caso de um espectro contínuo, a Eq. (7) será agora escrita

onde

(12) Este ψ _p, no entanto, é a autofunção do operador

correspondente ao autovalor — p do momento da segunda partícula. Por outro lado, se B for a coordenada da primeira partícula, ela terá para autofunções

correspondente ao autovalor x , onde δ( _x1 - x) é a conhecida função delta de Dirac. A equação (8) neste caso torna-se

onde

Este φ _x , no entanto, é a autofunção do operador

correspondente ao autovalor x + x ₀ da coordenada da segunda partícula. Visto que

Mostramos que, em geral, é possível que ψ _k e φ _r sejam autofunções de dois operadores não comutativos, correspondentes a grandezas físicas.

Retornando agora ao caso geral contemplado nas Eqs. (7) e (8), assumimos que ψ _k e φ _r são de fato autofunções de alguns operadores não comutativos P e Q , correspondentes aos autovalores p _k e q _r , respectivamente. Assim, medindo A ou B, podemos prever com certeza, e sem perturbar o segundo sistema, o valor da quantidade P (isto é , p _k ) ou o valor da quantidade Q (isto é, q _r ). De acordo com nosso critério de realidade, no primeiro caso devemos considerar a quantidade P como um elemento da realidade, e no segundo caso, a quantidade Q como um elemento da realidade. Mas, como vimos, ambas as funções de onda ψ _k e φ _r pertencem à mesma realidade.

Anteriormente, provamos que ou (1) a descrição quântica da realidade dada pela função de onda não é completa ou (2) quando os operadores correspondentes a duas grandezas físicas não comutam, as duas grandezas não podem ter realidade simultânea. Partindo então da suposição de que a função de onda fornece uma descrição completa da realidade física, chegamos à conclusão de que duas grandezas físicas, com operadores não comutativos, podem ter realidade simultânea. Assim, a negação de (1) leva à negação da única outra alternativa (2). Somos, portanto, forçados a concluir que a descrição quântica da realidade física dada pelas funções de onda não é completa.

Poder-se-ia objetar a esta conclusão com base no argumento de que nosso critério de realidade não é suficientemente restritivo. De fato, não se chegaria à nossa conclusão se insistíssemos que duas ou mais grandezas físicas só podem ser consideradas elementos simultâneos da realidade quando podem ser medidas ou previstas simultaneamente . Sob essa perspectiva, visto que apenas uma ou outra das grandezas P e Q pode ser prevista, mas não ambas simultaneamente, elas não são simultaneamente reais. Isso faz com que a realidade de P e Q dependa do processo de medição realizado no primeiro sistema, que não perturba o segundo sistema de forma alguma. Nenhuma definição razoável de realidade permitiria isso.

Embora tenhamos demonstrado que a função de onda não fornece uma descrição completa da realidade física, deixamos em aberto a questão de se tal descrição existe ou não. Acreditamos, no entanto, que tal teoria seja possível.

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Para uma análise do paradoxo EPR, veja EPR .

Artigo da Physical Review de 1935

Resposta de Schrödinger de 1935

Resposta de Bohr de 1936

Artigo da Wikipédia sobre EPR

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