Richard tornou-se matemático aplicado e especialista em teoria da probabilidade e estatística. Foi professor na Universidade de Harvard.
Ele é conhecido pelo conceito de frequência na probabilidade, que tem sido controverso.
POSIÇÃO E VELOCIDADE DE UMA PARTÍCULA MATERIAL
O físico W. Heisenberg, um dos fundadores da mecânica quântica, foi o primeiro a investigar o que acontece quando tentamos determinar com cada vez mais precisão as variáveis físicas que caracterizam o estado de uma única partícula, ou seja, sua posição no espaço e sua velocidade, ou sua posição e seu momento.
Primeiramente, vamos tentar determinar a posição da partícula no espaço. Colocamo-la sob o microscópio, iluminamo-la e tentamos encontrar suas coordenadas. A precisão com que pequenos objetos podem ser localizados sob um microscópio depende do comprimento de onda da fonte de iluminação. A menor distância que pode ser observada sob o microscópio é proporcional ao comprimento de onda da luz utilizada. Se quisermos determinar a posição com a maior precisão possível, precisamos usar luz com um comprimento de onda muito curto e, consequentemente, com uma frequência muito alta.
De acordo com o conceito moderno de luz, uma partícula iluminada é continuamente atingida por um grande número de quanta de luz. Todo o processo é de natureza estatística, como o movimento browniano ou o movimento de moléculas em um gás. A energia de cada quantum de luz é inversamente proporcional ao seu comprimento de onda. O impacto dos quanta afeta o estado de movimento da partícula, e esse efeito aumenta com o aumento da energia do quantum, ou seja, com o aumento de sua frequência ou com a diminuição de seu comprimento de onda (este é o chamado efeito Compton). Encontramo-nos, portanto, em um dilema: o aumento da precisão na medição das coordenadas da partícula exige o uso de luz com um comprimento de onda muito curto. Quanto menor o comprimento de onda, porém, maior a influência perturbadora na medição da velocidade da partícula. Conclui-se, então, que é fundamentalmente impossível medir simultaneamente, com exatidão, tanto a posição quanto a velocidade da partícula.
A questão principal aqui não é, como frequentemente se afirma, que o processo de medição influencia o estado do objeto a ser medido e, portanto, limita o grau de precisão possível. Tal interação também existe em certos casos da macrofísica, por exemplo, a introdução de um aparelho para medir a pressão dinâmica de um fluido afeta a pressão. Contudo, neste e em outros casos semelhantes, sabemos como aplicar as correções apropriadas. As condições na micromecânica são fundamentalmente diferentes: o ponto essencial é o caráter aleatório presumido dos quanta de luz perturbadores, um fenômeno que não pode ser explicado por uma teoria determinística do tipo da mecânica newtoniana.
A consequência essencial das considerações de Heisenberg pode ser resumida dizendo que os resultados de todas as medições formam coletivos. No âmbito da macrofísica, os objetos de medição são, eles próprios, conglomerados estatísticos, como o comprimento de uma régua, que é uma massa de moléculas em movimento. A noção de uma medida de comprimento absolutamente exata, portanto, obviamente não tem significado em relação a objetos desse tipo. Na microfísica, onde nos preocupamos com medições em uma única partícula elementar, a inexatidão é introduzida pelo caráter estatístico dos quanta de luz que atingem a partícula durante e através do próprio ato de medição. Em ambos os casos, deparamo-nos com a natureza indeterminística do problema assim que investigamos mais de perto as condições concretas do ato de medição.
PRINCÍPIO DA INCERTEZA DE HEISENBERG
A mecânica quântica é considerada hoje uma teoria puramente estatística. Seus axiomas são expressos em termos de equações diferenciais que relacionam as probabilidades dos valores de coordenadas e velocidades em um dado instante com as probabilidades correspondentes em outro instante. Alguns físicos ainda tentam interpretar essas equações de forma determinística e 'derivá-las' de conceitos da mecânica clássica, com os quais estão indubitavelmente relacionadas por muitas analogias formais. Possivelmente, essas tentativas terão um destino semelhante ao das tentativas análogas no caso das equações de Maxwell da eletrodinâmica. Por muitos anos, tentou-se explicar essas equações mecanicamente, pela introdução de massas ocultas e pelo PRINCÍPIO DA INCERTEZA DE HEISENBERG. Alguns físicos ainda tentam interpretar essas equações de forma determinística e "derivá-las" de conceitos da mecânica clássica, com os quais estão indubitavelmente relacionadas por meio de muitas analogias formais. Possivelmente, essas tentativas terão um destino semelhante ao das tentativas análogas no caso das equações de Maxwell da eletrodinâmica. Durante muitos anos, tentou-se explicar essas equações mecanicamente, pela introdução de massas ocultas e mecanismos complexos. Eventualmente, porém, chegou-se a um consenso para aceitar essas equações como leis elementares que não necessitam de "derivação" mecânica. A situação é mais complexa no caso da mecânica quântica, pois aqui as diversas hipóteses estão relacionadas a determinados sistemas mecânicos.
Uma consequência dos axiomas da mecânica quântica despertou particular interesse. Trata-se da relação já mencionada que existe entre as distribuições das coordenadas de uma partícula, por um lado, e as de seus impulsos (ou velocidades), por outro, sendo a mais importante delas o fato de que o produto das variâncias das duas variáveis possui um certo valor fixo, independente de quaisquer outros dados do problema. A ordem de grandeza desse produto é a do quadrado da constante universal de Planck ( h = 6 x 10⁻²⁷ nas unidades métricas usuais). Essa relação é conhecida como Princípio da Incerteza de Heisenberg. O exemplo discutido anteriormente da observação de uma partícula ao microscópio, que levou à descoberta de que quanto mais precisamente medimos as coordenadas, menos precisas se tornam as medições das velocidades, surge agora como uma consequência do princípio de Heisenberg.
O princípio de Heisenberg sobre a constância do produto das variâncias é uma proposição puramente teórica e, nesse sentido, matematicamente precisa. Em outras palavras, pressupõe que cada medição individual no conjunto consiste em uma leitura absolutamente exata do instrumento de medição. Se fôssemos capazes de construir um dispositivo experimental para medir comprimentos com precisão de 10⁻¹³ cm e impulsos com precisão de 10⁻¹³ g /s, a teoria prevê que os resultados de medições repetidas de posição serão sempre os mesmos (assim como os de velocidade), de modo que praticamente não haveria variância em nenhum dos casos. Essa situação diferiria apenas em ordens de grandeza daquela discutida anteriormente, onde o comprimento de uma mesa foi medido sem variância utilizando-se uma fita métrica dividida em unidades de centímetros inteiros.
Alguns físicos sentem que o chão lhes foi tirado debaixo dos pés desde que o Princípio da Incerteza foi anunciado. Se não são possíveis medições exatas, nem mesmo em princípio, qual o sentido de teorias físicas exatas Na minha opinião, esses receios não se justificam. Os resultados da mecânica quântica ou da mecânica ondulatória podem ser usados exatamente da mesma forma que os resultados da macrofísica clássica. Que nos importa a impossibilidade de prever o início de um eclipse solar com uma precisão de 10⁻¹² segundos , se podemos prevê-lo com uma precisão de um segundo No fim das contas, nosso desconforto nada mais é do que mais um aspecto da antiga disparidade entre conceitos puramente matemáticos, com sua "precisão ilimitada", e as realidades do mundo físico.
Qual é, então, o significado último da relação de incerteza de Heisenberg Devemos ver nela um grande passo rumo à unificação de nossa concepção física do mundo. Até recentemente, pensávamos que existiam dois tipos diferentes de observações de fenômenos naturais: observações de caráter estatístico, cuja exatidão não podia ser melhorada além de um certo limite, e observações em escala molecular, cujos resultados eram de caráter matematicamente exato e determinístico. Agora reconhecemos que tal distinção não existe na natureza. Não quero transmitir a impressão de que toda distinção entre regiões extremas da física desapareceu e que a mecânica dos sistemas solares e a teoria da desintegração radioativa são apenas dois parágrafos do mesmo capítulo. A descrição da natureza não é tão simples assim e não pode ser forçada a um único esquema. No entanto, um certo contraste aparente entre dois domínios da física desapareceu com o advento dos novos conceitos da mecânica ondulatória.
CONSEQUÊNCIAS PARA NOSSA CONCEPÇÃO FÍSICA DO MUNDO
Podemos apenas esboçar aqui, de forma geral, as consequências desses novos conceitos para nossa visão científica. Em primeiro lugar, não temos motivos para duvidar da utilidade das teorias determinísticas em grandes áreas da física. Essas teorias, construídas sobre uma sólida base de experiência, levam a resultados que são bem confirmados pela observação. Ao nos permitir prever eventos físicos futuros, essas teorias físicas mudaram fundamentalmente as condições da vida humana. A maior parte da tecnologia moderna, usando esse termo em seu sentido mais amplo, ainda se baseia nas previsões da mecânica e da física clássicas.
Há muito tempo se sabe, pelo menos para aqueles que buscam uma compreensão clara dessas questões, que as consequências extraídas das proposições matemáticas das teorias clássicas não podem ser verificadas com precisão ilimitada, no sentido matemático. As teorias atomísticas dos filósofos antigos já apontavam nessa direção. A teoria ondulatória da luz sugere fortemente a existência de limitações desse tipo. A primeira tentativa de uma interpretação abrangente sobre a natureza dos limites da precisão das medições foi a formulação, por Boltzmann, na segunda metade do século XIX, da teoria cinética dos gases como uma estatística de moléculas. Ele destacou que as previsões da física clássica devem ser entendidas no sentido de afirmações de probabilidade do tipo das Leis dos Grandes Números, ou seja: "Se n é um número grande, é quase certo que...". A consideração dos valores de n envolvidos (o número de moléculas, etc.) mostra que, em condições normais, essas probabilidades são tão próximas da unidade que as previsões prováveis se tornam, de fato, certas. Como explicado acima, nesta fase de desenvolvimento, a suposição usual era que os próprios processos atômicos, ou seja, os movimentos de moléculas individuais, eram regidos pelas leis exatas da mecânica determinística. Este ponto de vista, incompatível com o nosso conceito de probabilidade, foi mantido por alguns físicos até recentemente.
O surgimento da mecânica quântica nos libertou desse dualismo que impedia uma formulação logicamente satisfatória dos fundamentos da física. Sabemos agora que, além da física clássica, aplicável a processos em grande escala, existe uma microfísica, a saber, a teoria dos quanta ou mecânica ondulatória; as equações diferenciais da microfísica, contudo, apenas conectam distribuições de probabilidade. Portanto, as afirmações feitas por essa teoria com respeito às partículas elementares têm o caráter de proposições de probabilidade. No mundo das moléculas, 'medições exatas' sem variância são possíveis apenas sob as mesmas restrições que se aplicam aos corpos comuns: somente se decidirmos registrar apenas os dígitos que não mudam de uma medição para outra. A ordem de grandeza da unidade, que na física atômica é de cerca de 10⁻¹² mm , é de importância prática, mas não fundamental.
Limitei-me a questões relativas à matéria inorgânica e evitei qualquer tentativa de levar as investigações ao campo da biologia. Com essa restrição voluntária, não pretendo indicar que considero impossível ou inadmissível uma extensão da nossa teoria nessa direção. Penso, contudo, que os chamados processos biológicos são ainda muito mais complexos do que aqueles que constituem o objeto de estudo da física e da química, e que acréscimos consideráveis precisam ser feitos às teorias físicas antes que se possam tentar fazer afirmações biológicas de natureza fundamental.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Vamos fazer uma breve revisão final do percurso que seguimos nestes capítulos. Começamos investigando o significado da palavra "probabilidade" na linguagem cotidiana e tentando restringir esse significado de forma apropriada. Encontramos uma base adequada para as definições e axiomas de uma teoria científica exata da probabilidade em uma classe bem conhecida de fenômenos: jogos de dados e processos similares. As noções de coletivo, de valor limite da frequência relativa e de aleatoriedade tornaram-se o ponto de partida da nova teoria da probabilidade. As quatro operações fundamentais — seleção, mistura, partição e combinação — foram as ferramentas por meio das quais a teoria foi desenvolvida.
Afirmamos de uma vez por todas que o propósito da teoria é apenas derivar novas distribuições de probabilidades a partir de distribuições iniciais. Mostramos que, nesse sentido, a teoria da probabilidade não difere de outras ciências naturais, e assim obtivemos uma posição estável a partir da qual podemos julgar os fundamentos epistemologicamente insuficientes de teorias de probabilidade mais antigas, como aquela baseada na noção de eventos igualmente prováveis. Analisamos as diversas sugestões para o aprimoramento das minhas afirmações originais. Nenhuma necessidade de alterações essenciais emergiu dessa discussão. As Leis dos Grandes Números clássicas e as adições recentes a essas leis foram incorporadas à nova teoria. A definição de probabilidade em termos de frequência nos permitiu interpretar essas leis como proposições definidas referentes a sequências de fenômenos observáveis.
O primeiro amplo campo de aplicações da teoria da probabilidade que discutimos foi o geralmente conhecido como estatística. Trata-se, antes de tudo, do estudo de sequências numéricas derivadas da observação de certos eventos repetitivos na vida humana. Vimos, por exemplo, que a estatística exaustiva de Marbe sobre a distribuição por sexo de bebês está em excelente concordância com as previsões da teoria da probabilidade. Em outros casos, como estatísticas de mortalidade e de suicídio, os dados estatísticos não puderam ser considerados diretamente como coletivos; encontramos, no entanto, maneiras de reduzi-los a coletivos. Vimos que métodos baseados na teoria da probabilidade, como, por exemplo, a teoria da dispersão de Lexis, foram ferramentas úteis para uma descrição racional, abrangente e sistemática de eventos repetitivos; nesse sentido, os métodos nos fornecem o que geralmente se chama de "explicação" dos fenômenos. A teoria dos erros, que é a estatística das medições físicas, serviu como elo com um segundo campo fundamental de aplicação do cálculo de probabilidades: a física estatística. Os problemas da física estatística são de grande interesse em nossa época, pois conduzem a uma mudança revolucionária em toda a nossa concepção do universo. Vimos como Boltzmann deu o primeiro passo ousado ao formular uma lei da natureza na forma de uma proposição estatística. O estágio inicial foi incerto e, de certa forma, autocontraditório, pois tentou derivar o comportamento estatístico dos sistemas a partir das leis determinísticas da mecânica clássica, uma tentativa fadada ao fracasso, como E. Mach afirmou veementemente. Em seguida, acompanhamos o sucesso de argumentos puramente estatísticos na explicação de certos fenômenos físicos, como o movimento browniano ou as cintilações causadas pela radioatividade. Essas investigações nos conduziram naturalmente ao problema do significado da chamada lei da causalidade e da relação geral entre determinismo e indeterminismo na física. Reconhecemos como o progresso da física provocou um abandono gradual de ideias preconcebidas que haviam sido até mesmo dogmaticamente formuladas em alguns sistemas filosóficos. A nova mecânica quântica e o Princípio da Incerteza de Heisenberg completam, finalmente, o edifício de uma concepção estatística da natureza, mostrando que observações estritamente exatas não são mais possíveis no mundo da micromecânica do que no da macromecânica. Nenhuma medição pode ser realizada sem a intervenção de fenômenos de caráter estatístico.
Creio ter conseguido demonstrar a tese indicada no título e na introdução deste livro: partindo de um conceito de probabilidade logicamente claro , baseado na experiência, e utilizando argumentos geralmente denominados estatísticos , podemos descobrir a verdade em amplos domínios de interesse humano.
RESUMO DAS SEIS AULAS EM DEZESSEIS PROPOSIÇÕES
1. As afirmações da teoria da probabilidade não podem ser compreendidas corretamente se a palavra "probabilidade" for usada no sentido da linguagem cotidiana; elas são válidas apenas para um conceito racional de probabilidade definido e artificialmente limitado.
2. Esse conceito racional de probabilidade adquire um significado preciso somente se o coletivo ao qual se aplica for definido exatamente em cada caso. Um coletivo é um fenômeno de massa ou evento repetitivo que satisfaz certas condições; em termos gerais, consiste em uma sequência de observações que pode ser continuada indefinidamente.
3. A probabilidade de um atributo (resultado de observação) em um coletivo é o valor limite da frequência relativa com que esse atributo ocorre em uma sequência indefinidamente prolongada de observações. Esse valor limite não é afetado por qualquer seleção de posição aplicada à sequência (princípio da aleatoriedade ou princípio da impossibilidade de um sistema de jogo). Ocasionalmente, lidamos com sequências em que a condição de aleatoriedade não é satisfeita; nesse caso, chamamos o valor limite da frequência relativa de "chance" do atributo em questão.
4. O objetivo do cálculo de probabilidades, em sentido estrito, consiste exclusivamente no cálculo de distribuições de probabilidade em novos coletivos derivados de distribuições dadas em certos coletivos iniciais. A derivação de novos coletivos pode sempre ser reduzida à aplicação (repetida) de uma ou mais das quatro operações fundamentais simples.
5. Um valor de probabilidade, inicial ou derivado, só pode ser testado por um experimento estatístico, ou seja, por meio de uma sequência suficientemente longa de observações. Não existe conhecimento a priori de probabilidades; da mesma forma, é impossível derivar valores de probabilidade por meio de alguma outra ciência não estatística, como a mecânica.
6. A definição clássica de probabilidade é uma tentativa de reduzir o caso geral ao caso especial de eventos igualmente prováveis, onde todos os atributos dentro do coletivo têm probabilidades iguais. Essa redução é frequentemente impossível, como, por exemplo, no caso das estatísticas de mortalidade; em outros casos, pode levar a contradições (paradoxo de Bertrand). De qualquer forma, ainda é necessário fornecer uma definição de probabilidade para o caso de distribuições uniformes. Sem o complemento de uma definição de frequência, a teoria da probabilidade não pode produzir resultados aplicáveis a eventos reais.
7. As chamadas Leis dos Grandes Números contêm afirmações significativas sobre o curso de uma sequência de observações apenas se utilizarmos uma definição de probabilidade baseada na frequência. Interpretadas dessa forma, elas fazem afirmações definitivas, essencialmente baseadas na condição de aleatoriedade, a respeito da disposição dos resultados na sequência observada. Com base na definição clássica, essas leis são proposições puramente aritméticas referentes a certas propriedades combinatórias dos números inteiros e não têm relação com a evolução real dos fenômenos.
8. A tarefa do cálculo de probabilidades na estatística matemática consiste em investigar se um dado sistema de dados estatísticos forma um coletivo ou se pode ser reduzido a coletivos. Tal redução fornece uma descrição condensada e sistemática dos dados estatísticos que podemos considerar propriamente uma "explicação" desses dados.
9. Nenhuma das teorias que pareciam contradizer a teoria da probabilidade (como a teoria da estabilização estatística de Marbe, a teoria da acumulação, a lei das séries) foi confirmada por observações.
10. O conceito de probabilidade introduzido por R. A. Fisher, e os métodos de teste derivados dele, se aplicados e interpretados corretamente, não ficam fora do domínio da teoria da probabilidade baseada no conceito de frequência.
11. A teoria dos erros, que se situa na fronteira entre a estatística geral e a estatística física, baseia-se na premissa de que cada medição física é um elemento de um conjunto cujo valor médio é o chamado valor "verdadeiro" da grandeza medida. Suposições adicionais relativas a esse conjunto levam às diversas proposições da teoria dos erros.
12. As proposições estatísticas em física diferem fundamentalmente das leis determinísticas: elas predizem apenas o que se espera na esmagadora maioria dos casos para uma sequência suficientemente longa de observações do mesmo fenômeno (ou do mesmo grupo de fenômenos). Como regra, porém, a frequência relativa desse resultado mais provável é tão próxima da unidade que não existe diferença prática entre a proposição estatística e a correspondente proposição determinística.
13. Observações sucessivas sobre a evolução temporal de um sistema físico não formam diretamente um coletivo. Elas podem, no entanto, ser tratadas satisfatoriamente no âmbito da teoria racional da probabilidade (efeitos posteriores da probabilidade, cadeias de Markov).
14. A suposição de que uma teoria estatística em macrofísica é compatível com uma teoria determinística em microfísica é contrária à concepção de probabilidade expressa nestas aulas.
15. A mecânica quântica moderna, ou mecânica ondulatória, parece ser uma teoria puramente estatística; suas equações fundamentais estabelecem relações entre distribuições de probabilidade. O Princípio da Incerteza, derivado na mecânica quântica, implica que as medições em microfísica, assim como as em macrofísica, são elementos de um coletivo; em ambos os casos, uma variância nula de uma medição é meramente a consequência da escolha de uma unidade de medida suficientemente grande.
16. A ideia de que as teorias estatísticas são meramente explicações temporárias, em contraste com as explicações determinísticas definitivas que, sozinhas, satisfazem nosso desejo de causalidade, não passa de um preconceito. Tal opinião pode ser explicada historicamente, mas certamente desaparecerá com o aumento do conhecimento.
( Probabilidade, Estatística e Verdade , pp. 214-223)
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