Quantum Physics, Thermodynamics, and Information

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Física Quântica, Termodinâmica e Informação

O processo criativo fundamental no universo envolve mecânica quântica e termodinâmica.

Para compreender a criação de informação, a física da informação oferece novas perspectivas sobre o intrigante " problema da medição " e o misterioso " colapso da função de onda " na mecânica quântica.

A física da informação também investiga profundamente a segunda lei da termodinâmica para estabelecer o aumento irreversível da entropia em uma base mecânica quântica.

A "física da informação" não é uma nova "interpretação" da mecânica quântica. Não se trata de uma tentativa de alterar a mecânica quântica padrão, estendendo-a a teorias como as de "variáveis ocultas", por exemplo. A física da informação simplesmente segue as implicações da mecânica quântica e da termodinâmica das estruturas de informação cósmicas, especialmente aquelas que foram criadas antes da existência de observadores humanos .

A física da informação explica a origem das estruturas de informação no universo .

Mecânica Quântica

Na mecânica clássica, acredita-se que o universo material seja composto de minúsculas partículas cujos movimentos são completamente determinados por forças que atuam entre as partículas, forças como a gravitação, atrações e repulsões elétricas, etc.

As equações que descrevem esses movimentos, as leis do movimento de Newton, foram consideradas perfeitas e suficientes para prever o futuro de qualquer sistema mecânico durante muitos séculos. Elas forneceram suporte para muitas ideias filosóficas sobre o determinismo .

Na eletrodinâmica clássica, sabia-se que a radiação eletromagnética (luz, ondas de rádio) possuía propriedades ondulatórias, como a interferência. Quando a crista de uma onda encontra o vale de outra, as duas ondas se cancelam mutuamente.

Na mecânica quântica, a radiação apresenta um comportamento semelhante ao de partículas. A energia se apresenta em pacotes discretos e fisicamente localizados. Max Planck, em 1900, formulou a famosa hipótese de que a energia era proporcional à frequência da radiação, ν .

E = h ν

Para Planck, essa suposição era apenas um artifício matemático heurístico que lhe permitia aplicar o trabalho de Ludwig Boltzmann sobre a mecânica estatística e a teoria cinética dos gases. Boltzmann havia demonstrado na década de 1870 que o aumento da entropia (a segunda lei da termodinâmica) poderia ser explicado se os gases fossem compostos por um número enorme de partículas. Enquanto a estatística de Boltzmann pressupunha que as partículas de gás fossem distinguíveis umas das outras, a contagem de Planck não assumia essa premissa.

Planck aplicou sua forma modificada da estatística de Boltzmann para muitas partículas à radiação e derivou a distribuição da radiação em diferentes frequências (ou comprimentos de onda), assim como James Clerk Maxwell e Boltzmann haviam derivado a distribuição das velocidades (ou energias) das partículas de gás. Mas Planck não pensava que estava descrevendo partículas de luz. Foi Einstein quem primeiro percebeu que era isso que sua matemática estava fazendo.

Observe a semelhança matemática entre a lei de distribuição da radiação de Planck (partículas de luz) e a distribuição de velocidades de Maxwell-Boltzmann (partículas materiais). Ambas as curvas apresentam um aumento em lei de potência em um dos lados até um máximo e um decréscimo exponencial no outro lado desse máximo. Quando energia é adicionada à matéria, ela acelera todas as partículas do gás, mas preserva seu número. As curvas de velocidade molecular para diferentes temperaturas se cruzam porque o número total de moléculas é o mesmo. Com o aumento da temperatura T , no entanto, o número de fótons aumenta em todos os comprimentos de onda.

Planck não acreditava de fato que a radiação se compunha em partículas discretas, pelo menos até cerca de doze anos depois, e mesmo assim tinha suas dúvidas. Enquanto isso, o artigo de Albert Einstein de 1905 sobre o efeito fotoelétrico mostrou que a luz se compunha em partículas discretas, posteriormente chamadas de "fótons", análogas aos elétrons.

Planck não estava satisfeito com a ideia de partículas de luz, pois seu uso da estatística de Boltzmann implicava que o acaso era real. O próprio Boltzmann tinha dúvidas sobre a realidade do acaso. Embora Einstein também não gostasse da ideia de estatísticas baseadas no acaso, ele acreditava que a energia vinha em pacotes de "quanta" discretos. Foi Einstein, e não Planck, quem quantizou a mecânica e a eletrodinâmica. No entanto, foi pela introdução do quantum de ação que Planck recebeu o Prêmio Nobel em 1918.

Louis de Broglie argumentou que se os fótons, com suas propriedades ondulatórias conhecidas, pudessem ser descritos como partículas, os elétrons como partículas poderiam mostrar propriedades ondulatórias com um comprimento de onda λ inversamente proporcional ao seu momento p = m _e v .

p = h/2π λ

Experimentos confirmaram a hipótese de De Broglie e levaram Erwin Schrödinger a derivar uma "equação de onda" para descrever o movimento das ondas de De Broglie. A equação de Schrödinger substitui as equações clássicas de movimento de Newton.

Note que a equação de Schrödinger descreve o movimento apenas da componente ondulatória, não da componente corpuscular, e, como tal, implica interferência. Note também que é uma equação de movimento tão determinística quanto as equações de Newton.

Schrödinger tentou interpretar sua "função de onda" para o elétron como uma densidade de probabilidade para a carga elétrica, mas a densidade de carga seria positiva em todos os pontos e incapaz de interferir consigo mesma.

Max Born chocou o mundo da física ao sugerir que os valores absolutos da função de onda ψ ao quadrado ( |ψ| ² ) poderiam ser interpretados como a probabilidade de encontrar o elétron em vários estados de posição e momento - caso uma medição seja feita. Isso permite que a amplitude de probabilidade ψ interfira consigo mesma, produzindo fenômenos altamente não intuitivos, como o experimento da dupla fenda .

Apesar da amplitude de probabilidade passar por duas fendas e interferir consigo mesma, os experimentadores nunca encontram partes de elétrons. Eles são sempre encontrados inteiros.

Em 1932, John von Neumann explicou que dois processos fundamentalmente diferentes ocorrem na mecânica quântica.

Um processo não causal , no qual o elétron medido acaba aleatoriamente em um dos possíveis estados físicos (autoestados) do aparelho de medição mais o elétron.
A probabilidade de cada autoestado é dada pelo quadrado dos coeficientes c _n da expansão do estado original do sistema (função de onda ψ ) em um conjunto infinito de funções de onda φ que representam as autofunções do aparelho de medição mais o elétron.

c _n = < φ _n | ψ >

Esta é a descrição mais próxima que temos do movimento da partícula em um sistema quântico. Segundo von Neumann, a partícula simplesmente aparece em algum lugar como resultado de uma medição. A física da informação afirma que ela aparece sempre que uma nova estrutura de informação estável é criada.
Um processo causal , no qual a função de onda do elétron ψ evolui deterministicamente de acordo com a equação de movimento de Schrödinger para o aspecto ondulatório. Essa evolução descreve o movimento da onda de amplitude de probabilidade ψ entre as medições.

(ih/2π) ∂ ψ /∂t = Hψ

Von Neumann afirmou que existe outra diferença fundamental entre esses dois processos. O Processo 1 é termodinamicamente irreversível . O Processo 2 é reversível . Isso confirma a conexão fundamental entre a mecânica quântica e a termodinâmica, que pode ser explicada pela física da informação .

A física da informação estabelece que o processo 1 pode criar informação. O processo 2 preserva a informação .

Colapso da função de onda

Os físicos calculam a evolução determinística da função de onda de Schrödinger ao longo do tempo, à medida que os sistemas interagem ou colidem. Em determinado momento, eles fazem a suposição ad hoc de que a função de onda "colapsa". Isso produz um conjunto de probabilidades de encontrar o sistema combinado resultante em seus vários autoestados.

Embora o colapso pareça ser uma adição aleatória e ad hoc ao formalismo determinístico da equação de Schrödinger, é muito importante notar que a precisão experimental das previsões da mecânica quântica não tem paralelo na física, fornecendo a justificativa definitiva para essa gambiarra teórica.

Além disso, sem o colapso das funções de onda, nenhuma informação nova pode surgir no universo. Nada imprevisível jamais emergiria. O determinismo "preserva a informação". Toda a informação que temos hoje teria que ter existido na bola de fogo original.

O "Problema" da Medição

A medição quântica (o processo irremediavelmente aleatório de colapso da função de onda) não faz parte do formalismo matemático (um processo perfeitamente determinístico) da evolução temporal da função de onda. Trata-se de uma descrição heurística ad hoc e um método de cálculo que prevê as probabilidades do que acontecerá quando um observador realizar uma medição.

Em muitas discussões padrão sobre mecânica quântica, e em quase todos os textos populares, afirma-se que precisamos da consciência de um físico para colapsar a função de onda. Eugene Wigner e John Wheeler às vezes descrevem o observador como constituindo a "mente do universo".

Von Neumann contribuiu muito para essa confusão ao localizar o corte ( Schnitt ) entre o sistema microscópico e a medição macroscópica em qualquer lugar, inclusive dentro do cérebro de um observador.

A medição requer a interação de algo macroscópico, presumivelmente grande e adequadamente determinado. Em experimentos de física, esse algo é o aparato de observação. Mas, em geral, a medição não requer um observador consciente. Ela requer, sim, a criação de informação, ou não haverá nada para observar.

Em nossa discussão sobre o Gato de Schrödinger , o gato pode ser seu próprio observador .

Termodinâmica

A segunda lei da termodinâmica afirma que a entropia (ou desordem) de um sistema físico fechado aumenta até atingir um máximo, o estado de equilíbrio termodinâmico. Isso pressupõe que a entropia do universo esteja aumentando e sempre tenha estado. (A primeira lei afirma que a energia é conservada.)

O fato comprovado do aumento da entropia levou muitos cientistas e filósofos a supor que o universo que conhecemos está em processo de deterioração. Eles acreditam que isso significa que o universo começou em um estado de informação muito elevado, já que a segunda lei da termodinâmica exige que qualquer organização ou ordem seja suscetível à deterioração. A informação que permanece hoje, em sua visão, sempre esteve aqui. Isso se encaixa perfeitamente com a ideia de um universo determinístico . Não há nada de novo sob o sol. O determinismo físico é "preservador da informação".

Mas o universo não é um sistema fechado . Ele está em um estado dinâmico de expansão, afastando-se do equilíbrio termodinâmico mais rapidamente do que os processos entrópicos conseguem acompanhar. A entropia máxima possível está aumentando muito mais rápido do que o aumento real da entropia. A diferença entre a entropia máxima possível e a entropia real é informação potencial .

A criação de estruturas de informação significa que, em algumas partes do universo, a entropia local está de fato diminuindo. A redução da entropia local é sempre acompanhada pela irradiação de entropia das estruturas locais para partes distantes do universo, como para o céu noturno, por exemplo. Como a entropia total do universo sempre aumenta, a quantidade de entropia irradiada sempre excede (frequentemente muitas vezes) a redução local da entropia, o que matematicamente equivale ao aumento da informação.

Processos "ergódicos"

Descreveremos os processos que criam estruturas de informação, reduzindo a entropia localmente, como " ergódicos ".

Este é um novo uso para um termo da mecânica estatística que descreve uma propriedade hipotética dos gases mecânicos clássicos. Veja Hipótese Ergódica .

Processos ergódicos (em nosso novo sentido do termo) são aqueles que parecem resistir à segunda lei da termodinâmica devido a um aumento local de informação ou "entropia negativa" ( termo cunhado por Erwin Schrödinger ). Mas qualquer diminuição local de entropia é mais do que compensada por aumentos em outros locais, satisfazendo a segunda lei. Processos normais que aumentam a entropia serão chamados de " entrópicos ".

Codificar novas informações requer o equivalente a uma medição quântica: cada novo bit de informação produz uma diminuição local na entropia, mas exige que pelo menos um bit (geralmente muito mais) de entropia seja irradiado ou conduzido para longe.

Sem violar a inviolável segunda lei da termodinâmica em geral, os processos ergódicos reduzem a entropia localmente, produzindo aqueles bolsões de cosmos e entropia negativa (estruturas ricas em ordem e informação) que são os principais objetos do universo e da vida na Terra.

Entropia e Mecânica Clássica

Na década de 1870, Ludwig Boltzmann tentou provar a segunda lei da termodinâmica de Rudolf Clausius, segundo a qual a entropia de um sistema fechado sempre aumenta até um máximo e depois permanece em equilíbrio térmico. Clausius previu que o universo terminaria com uma "morte térmica" devido à segunda lei.

Boltzmann formulou uma grandeza matemática H para um sistema de n partículas de gás ideal, mostrando que ela possuía a propriedade δH/δτ ≤ 0, ou seja, que H sempre diminuía com o tempo. Ele identificou seu H como o oposto da entropia S de Rudolf Clausius .

Em 1850, Clausius formulou a segunda lei da termodinâmica. Em 1857, ele demonstrou que, para um gás típico como o ar, em condições normais de temperatura e pressão, as partículas gasosas passam a maior parte do tempo se deslocando em linha reta entre colisões com a parede de um recipiente ou com outras partículas gasosas. Ele definiu o "livre percurso médio" de uma partícula entre colisões. Clausius, e praticamente todos os físicos desde então, assumiram que as partículas gasosas podem ser tratadas como "bolas de bilhar" sem estrutura, submetidas a colisões "elásticas". Elástico significa que nenhuma energia cinética é perdida por atrito interno.

Pouco depois de Clausius ter definido matematicamente a entropia e lhe ter dado o nome em 1865, James Clerk Maxwell determinou a distribuição das velocidades das partículas de gás (Clausius , por simplicidade ^, assumiu que todas as partículas se moviam à velocidade _média de ^1/2_mv² = ^3/2 kT ) .

A dedução de Maxwell foi muito simples. Ele assumiu que as velocidades nas direções x, y e z eram independentes. [mais...]

Boltzmann aprimorou a derivação estatística de Maxwell ao igualar o número de partículas que entram em um determinado intervalo de velocidades e posições ao número de partículas que saem do mesmo volume em um espaço de fase de 6n dimensões. Este é um estado necessário para que o gás esteja em equilíbrio. Boltzmann então utilizou a física newtoniana para obter o mesmo resultado que Maxwell, que é então chamado de distribuição de Maxwell-Boltzmann.

objeção de reversibilidade

A primeira dedução do teorema H de Boltzmann (1872) baseou-se na mesma análise mecânica clássica que ele havia usado para derivar a função de distribuição de Maxwell. Tratava-se de uma consequência matemática analítica das leis de movimento de Newton aplicadas às partículas de um gás. Mas encontrou objeções imediatas. A objeção reside na ideia hipotética e contrafactual da reversibilidade temporal . Se o tempo fosse revertido, a entropia simplesmente diminuiria. Como as equações fundamentais do movimento newtoniano são reversíveis no tempo, isso parece ser um paradoxo. Como poderia o aumento irreversível da entropia macroscópica resultar de leis físicas microscópicas que são reversíveis no tempo?

Lord Kelvin (William Thomson) foi o primeiro a apontar a assimetria temporal em processos macroscópicos, mas a crítica ao teorema H de Boltzmann está associada a seu amigo de longa data, Joseph Loschmidt. Boltzmann concordou imediatamente com Loschmidt que a possibilidade de diminuição da entropia não poderia ser descartada se os caminhos do movimento clássico fossem invertidos.

Boltzmann então reformulou seu teorema H (1877). Ele analisou um gás em "microestados" das posições e velocidades das partículas individuais do gás. Para qualquer "macroestado" consistente com certas variáveis macroscópicas como volume, pressão e temperatura, poderia haver muitos microestados correspondentes a diferentes posições e velocidades para as partículas individuais.

Segundo ele, qualquer microestado individual do sistema era intrinsecamente tão provável quanto qualquer outro microestado específico. No entanto, o número de microestados consistentes com a distribuição desordenada ou uniforme no caso de equilíbrio de entropia máxima simplesmente supera em muito o número de microestados consistentes com uma distribuição inicial ordenada.

objeção de recorrência

Cerca de vinte anos depois, o argumento revisado de Boltzmann de que a entropia aumentava estatisticamente esbarrou em outra crítica, desta vez não tão contrafactual. Trata-se da objeção da recorrência . Dado tempo suficiente, qualquer sistema poderia retornar ao seu estado inicial, o que implica que a entropia deve, em algum momento, diminuir . Essas objeções de reversibilidade e recorrência ainda são proeminentes na literatura da física.

A ideia de recorrência tem uma longa história intelectual. Os astrônomos da Babilônia antiga acreditavam que os planetas conhecidos, com o tempo suficiente, retornariam a qualquer posição dada e, assim, recomeçariam o que chamavam de "grande ciclo", estimado por alguns em 36.000 anos. Sua crença em um determinismo astrológico sugeria que todos os eventos no mundo também se repetiriam. Friedrich Nietzsche popularizou essa ideia no século XIX, ao mesmo tempo em que a hipótese de Boltzmann era debatida, como o "eterno retorno" em sua obra Assim Falou Zaratustra .

A objeção da recorrência foi observada pela primeira vez no início da década de 1890 pelo matemático e físico francês Henri Poincaré . Ele havia encontrado uma solução analítica para o problema dos três corpos e notou que a configuração dos três corpos retorna arbitrariamente próxima às condições iniciais após tempos calculáveis. Mesmo para um pequeno número de planetas, o tempo de recorrência é maior que a idade do universo, se as posições forem especificadas com precisão suficiente. Poincaré então propôs que a presumida "morte térmica" do universo, prevista pela segunda lei da termodinâmica, poderia ser evitada com "um pouco de paciência". Outro matemático, Ernst Zermelo, um jovem colega de Max Planck em Berlim, é mais famoso por esse paradoxo da recorrência.

Boltzmann aceitou a crítica à recorrência. Ele calculou a probabilidade extremamente pequena de que a entropia diminuísse de forma perceptível, mesmo para um gás com um número muito pequeno de partículas (1000). Ele mostrou que o tempo associado a tal evento era de 10¹⁰ ^{^anos}^. Mas as objeções de princípio ao seu trabalho continuaram, especialmente por parte daqueles que consideravam a hipótese atômica errônea.

É muito importante compreender que tanto a derivação original da distribuição de velocidades por Maxwell quanto o teorema H de Boltzmann, que demonstra um aumento de entropia, são apenas argumentos estatísticos ou probabilísticos. O trabalho de Boltzmann foi realizado vinte anos antes de os átomos serem estabelecidos como partículas reais e cinquenta anos antes de a teoria da mecânica quântica estabelecer que, em nível microscópico, todas as interações entre matéria e energia são fundamental e irremediavelmente estatísticas e probabilísticas.

Entropia e Mecânica Quântica

Uma análise mecânica quântica das colisões microscópicas de partículas de gás (geralmente moléculas ou átomos em um gás nobre) pode fornecer análises revisadas para os dois problemas de reversibilidade e recorrência. Observe que isso requer mais do que mecânica estatística quântica. Requer a teoria cinética quântica de colisões em gases.

Existem grandes diferenças entre gases ideais, clássicos e quânticos .

Boltzmann assumiu que as colisões resultariam em distribuições aleatórias de velocidades e posições, de modo que todas as configurações possíveis seriam realizadas em proporção ao seu número. Ele chamou isso de "caos molecular". Mas se a trajetória de um sistema de n partículas em um espaço de fase de 6n dimensões fosse fechada e se repetisse após um curto e finito período de tempo durante o qual o sistema ocupa apenas uma pequena fração dos estados possíveis, as suposições de Boltzmann estariam erradas.

O que se precisa é que as colisões randomizem completamente as direções das partículas após as colisões, e é exatamente isso que a teoria quântica das colisões pode proporcionar. A randomização das direções é a norma em alguns fenômenos quânticos, por exemplo, a absorção e reemissão de fótons por átomos, bem como o espalhamento Raman de fótons.

Na evolução determinística da equação de Schrödinger, assim como na evolução clássica da trajetória das equações de movimento hamiltonianas, o tempo pode ser revertido e toda a informação coerente na função de onda descreverá uma partícula que retorna exatamente pelo mesmo caminho que percorreu antes da colisão.

Mas se, quando duas partículas colidem, a estrutura interna de uma ou ambas as partículas for alterada, e particularmente se as duas partículas formarem uma molécula temporariamente maior (mesmo uma quase-molécula em um estado não ligado), então os átomos ou moléculas que se separam perdem as funções de onda coerentes que seriam necessárias para permitir a reversão temporal ao longo do caminho original.

Durante a colisão, uma partícula pode transferir energia de um de seus estados quânticos internos para a outra partícula. À temperatura ambiente, isso normalmente ocorre como uma transição entre estados rotacionais populados. Outra possibilidade é a troca de energia com a radiação térmica de fundo, que, à temperatura ambiente, atinge o pico nas frequências correspondentes às diferenças entre os níveis de energia rotacional molecular.

Um evento quântico desse tipo pode ser analisado assumindo-se a formação de uma quase-molécula de curta duração (os níveis de energia para tal sistema não ligado são um contínuo, de modo que quase qualquer fóton pode causar uma mudança no estado rotacional da quase-molécula).

Pouco tempo depois, a quase-molécula se dissocia nas duas partículas originais, mas em estados de energia diferentes. Podemos descrever o processo geral como uma quase-medição, pois há informações temporárias presentes sobre a nova estrutura. Essas informações se perdem à medida que as partículas se separam em direções aleatórias (de acordo com a conservação de energia, momento linear e momento angular).

A decoerência associada a essa quase-medição significa que, se as funções de onda pós-colisão fossem invertidas no tempo, seria muito improvável que a colisão reversa enviasse as partículas de volta ao longo de suas trajetórias de entrada.

A suposição de Boltzmann de ocupação aleatória das configurações possíveis não é mais necessária. A aleatoriedade na forma de "caos molecular" é garantida pela mecânica quântica.

O resultado é um quadro estatístico que mostra que a entropia normalmente aumentaria mesmo se o tempo pudesse ser revertido.

Isso não exclui o tipo de desvios do equilíbrio que ocorrem em pequenos grupos de partículas, como no movimento browniano, que Boltzmann antecipou muito antes dos experimentos de Brown e da explicação de Einstein . Essas flutuações podem ser descritas como a formação de estruturas de informação de curta duração, regiões breves e localizadas de entropia negativa, que são destruídas em interações subsequentes.

Isso também não altera a remota possibilidade de recorrência de qualquer microestado inicial específico do sistema. Mas prova que Poincaré estava errado ao afirmar que tal recorrência seria periódica. A periodicidade depende de as trajetórias dinâmicas das partículas serem clássicas, determinísticas e, portanto, reversíveis no tempo. Como as trajetórias da mecânica quântica são fundamentalmente indeterminísticas, as recorrências são simplesmente desvios estatisticamente improváveis do equilíbrio, como as flutuações que causam o movimento browniano.

Entropia é a perda de informação.

O aumento da entropia pode ser facilmente compreendido como a perda de informação à medida que um sistema passa de um estado inicialmente ordenado para um estado final desordenado. Embora as dimensões físicas da entropia termodinâmica (joules/ºK) não sejam as mesmas da informação matemática (adimensional), além das unidades, elas compartilham a mesma fórmula consagrada.

S = ∑ p _i ln p _i

Para entender isso de forma simples, vamos considerar o exemplo clássico de um frasco de perfume no canto de um quarto. Podemos representar o quarto como uma grade de 64 quadrados. Suponha que o ar esteja cheio de moléculas se movendo aleatoriamente à temperatura ambiente (círculos azuis). No canto inferior esquerdo, as moléculas de perfume serão liberadas quando abrirmos o frasco (quando iniciarmos a demonstração).

Qual a quantidade de informação que temos sobre as moléculas do perfume Sabemos sua localização no quadrado inferior esquerdo, um pouco menos de 1/64 do recipiente. A quantidade de informação é determinada pelo número mínimo de perguntas de sim/não necessárias para localizá-las. As melhores perguntas são aquelas que distribuem as localizações uniformemente (uma árvore binária).

Por exemplo:

Estão na metade superior do recipiente Não.
Estão na metade esquerda do recipiente Sim.
Estão na metade superior do quadrante inferior esquerdo Não.
Estão na metade esquerda do quadrante inferior esquerdo Sim.
Estão na metade superior do octante inferior esquerdo Não.
Estão na metade esquerda do octante inferior esquerdo Sim.

As respostas a essas seis perguntas otimizadas nos fornecem seis bits de informação para cada molécula, localizando-a com precisão de 1/64 do recipiente. Essa é a quantidade de informação que será perdida para cada molécula se ela puder escapar e se difundir completamente no ambiente. O aumento da entropia termodinâmica é a constante de Boltzmann k multiplicada pelo número de bits.

Se a sala estivesse vazia, o perfume atingiria rapidamente um estado de equilíbrio, já que a velocidade molecular à temperatura ambiente é de cerca de 400 metros por segundo. As colisões com as moléculas de ar impedem que o perfume se dissipe rapidamente. Isso nos permite observar a aproximação ao equilíbrio. Quando o perfume se difundir por um décimo sexto da sala, a entropia terá aumentado 2 bits por molécula; a um quarto da sala, quatro bits, e assim por diante.

Vamos observar uma visualização computacional do processo de equilíbrio em uma nova janela .

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Parte Seis - Chance

Parte Oito - Posfácio

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