Em uma obra recentemente publicada¹ ^, apresentei a aplicação de uma nova e peculiar forma de Matemática à expressão das operações da mente no raciocínio. No presente ensaio, pretendo oferecer uma descrição de uma parte desse tratado que possa fornecer uma visão correta da natureza do sistema desenvolvido. Procurarei enunciar claramente as posições em que consistem suas distinções características e oferecerei uma ilustração mais detalhada de algumas características menos proeminentes na obra original. A parte do sistema à qual restringirei minhas observações é aquela que trata de proposições categóricas, e as posições que, sob essa limitação, pretendo ilustrar são as seguintes:

(1) Que a tarefa da Lógica é lidar com as relações de classes e com os modos pelos quais a mente contempla essas relações.

(2) Que, antes do nosso reconhecimento da existência de proposições, existem leis às quais a concepção de uma classe está sujeita, - leis que dependem da constituição do intelecto e que determinam o caráter e a forma do processo de raciocínio.

(3) Que essas leis são passíveis de expressão matemática e que, portanto, constituem a base de um cálculo interpretável.

(4) Que essas leis são, além disso, tais que todas as equações que são formadas em sujeição a elas, mesmo que expressas sob sinais funcionais, admitem solução perfeita, de modo que todo problema em lógica pode ser resolvido por referência a um teorema geral.

(5) Que as formas sob as quais as proposições são efetivamente exibidas, de acordo com os princípios deste cálculo, são análogas às de uma linguagem filosófica.

(6) Que embora os símbolos do cálculo não dependam para a sua interpretação da ideia de quantidade, eles, no entanto, na sua aplicação particular ao silogismo, conduzem-nos às condições quantitativas da inferência.

É especialmente sobre as duas últimas dessas posições que desejo aqui oferecer exemplos, visto que elas foram apenas parcialmente exemplificadas na obra mencionada. Outros pontos, no entanto, serão abordados incidentalmente. Será necessário, portanto, contextualizar a seguinte notação.

O universo de objetos concebíveis é representado por 1 ou unidade. Assumo isso como a concepção primária e subjetiva. Todas as concepções subordinadas de classe são entendidas como formadas a partir dela por limitação, de acordo com o seguinte esquema.

Suponhamos que tenhamos a concepção de qualquer grupo de objetos consistindo de Xs, Ys e outros, e que x , que chamaremos de símbolo eletivo, represente a operação mental de selecionar desse grupo todos os Xs que ele contém, ou de fixar a atenção nos Xs, excluindo todos os que não são Xs; y , a operação mental de selecionar os Ys; e assim por diante; então, sendo 1 ou o universo a concepção do sujeito, teremos

x 1 ou x = a classe X,
y 1 ou y = a classe Y,
xy 1 ou xy = a classe em que cada membro é tanto X quanto Y,

e assim por diante.

Da mesma forma, nós teremos

1 - x = a classe não-X,
1 - y = a classe não-Y,
x (1 - y ) = a classe cujos membros são Xs mas não-Ys,
(1 - x )(1 - y ) = a classe cujos membros não são nem Xs nem Ys,
etc.

Além disso, considerando a natureza da operação mental envolvida, verifica-se que as seguintes leis são satisfeitas.

Representando por x , y , z quaisquer símbolos opcionais,

x ( y + z ) = xy + xz	. . . . . . . .(1),
xy = yx , &c.	. . . . . . . .(2),
x n = x , &c.	. . . . . . .(3).

A partir da primeira dessas afirmações, percebe-se que os símbolos eletivos operam de forma distributiva ; a partir da segunda, que operam de forma comutativa . A terceira, que denominei lei do índice, é peculiar aos símbolos eletivos.

A veracidade dessas leis não depende de modo algum da natureza, do número ou das relações mútuas dos indivíduos incluídos nas diferentes classes. Pode haver apenas um indivíduo em uma classe, ou pode haver mil. Pode haver indivíduos comuns a diferentes classes, ou as classes podem ser mutuamente exclusivas. Todos os símbolos eletivos são distributivos e comutativos, e todos os símbolos eletivos satisfazem a lei expressa por (3).

Essas leis estão, de fato, incorporadas em todas as línguas faladas ou escritas. A equivalência das expressões "bom homem sábio" e "homem bom sábio" não é uma mera obviedade, mas uma afirmação da lei da comutação exibida em (2). E existem ilustrações semelhantes das outras leis.

A essas leis está associado um axioma geral. Vimos que as operações algébricas realizadas com símbolos eletivos representam processos mentais. Assim, a conexão de dois símbolos pelo sinal + representa a agregação de duas classes em uma única classe; a conexão de dois símbolos xy , como na multiplicação, representa a operação mental de selecionar, de uma classe Y, os membros que também pertencem a outra classe X, e assim por diante. Por meio dessas operações, a concepção de uma classe é modificada. Mas, além disso, a mente tem o poder de perceber relações de igualdade entre classes. O axioma em questão, então, é que, se uma relação de igualdade é percebida entre duas classes, essa relação permanece inalterada quando ambos os sujeitos são igualmente modificados pelas operações descritas acima . (A) Este axioma, e não o "dito de Aristóteles", é o verdadeiro fundamento de todo o raciocínio, sendo a forma e o caráter do processo, contudo, determinados pelas três leis já enunciadas.

Não só é verdade que todo símbolo eletivo que representa uma classe satisfaz a lei do índice (3), mas pode ser rigorosamente demonstrado que qualquer combinação de símbolos eletivos φ( xyz ..), que satisfaz a lei φ( xyz ⁿ = φ( xyz ..), representa uma concepção inteligível, - um grupo ou classe definida por um número maior ou menor de propriedades e consistindo de um número maior ou menor de partes.

As quatro proposições categóricas sobre as quais se fundamenta a doutrina do silogismo ordinário são:

Todos os Ys são Xs.	UM,
Nenhum Y é X.	E,
Alguns Ys são Xs.	EU,
Alguns Ys não são Xs.	O.

Analisaremos esses aspectos com referência às classes entre as quais a relação se expressa.

A. A expressão "Todos os Ys" representa a classe Y e, portanto, será expressa por y ; a cópula será representada pelo sinal =; o termo indefinido, Xs, é equivalente a "Alguns Xs". É uma convenção da linguagem que a palavra "Alguns" seja expressa no sujeito, mas não no predicado de uma proposição. O termo "Alguns Xs" será expresso por vx , em que v é um símbolo eletivo apropriado a uma classe V, alguns membros da qual são Xs, mas que é, em outros aspectos, arbitrária. Assim, a proposição A será expressa pela equação

y = vx . . . . . . . .(4).

E. Na proposição "Nenhum Y é X", a partícula negativa parece estar ligada ao sujeito em vez do predicado ao qual manifestamente pertence. Não pretendemos dizer que as coisas que não são Y são X, mas sim que as coisas que são Y não são X. Ora, a classe "não-X" é expressa por 1 - x ; portanto, a proposição "Nenhum Y é X", ou melhor, "Todos os Ys não são X", será expressa por

y = v (1 - x ) . . . . . . . .(5).

I. Na proposição "Alguns Ys são Xs" ou "Alguns Ys são alguns Xs", podemos considerar o "Alguns" no sujeito e o "Alguns" no predicado como tendo referência à mesma classe arbitrária V, e assim escrever

vy = vx ,

mas é menos provável que se abstenha de fazer isso. Portanto, devemos escrever

vy = v 'x . . . . . . . .(6),

v' referindo-se a outra classe arbitrária 'V.

Da mesma forma, a proposição "Alguns Ys não são Xs" será expressa pela equação

vy = v' (1 - x ) . . . . . . . .(7).

Como se pode observar acima, as formas sob as quais as quatro proposições categóricas A, E, I, O são exibidas na notação de símbolos eletivos são análogas às da linguagem pura, ou seja, às formas que a fala humana assumiria se suas regras fossem inteiramente construídas sobre uma base científica. Na vasta maioria das proposições que podem ser concebidas pela mente, as leis da expressão não foram modificadas pelo uso, e a analogia torna-se mais evidente, por exemplo , na interpretação da equação.

z = x (1 - y ) + y (1 - x ),

Ou seja, a classe Z consiste em todos os Xs que não são Ys e em todos os Ys que não são Xs.

Teoremas gerais relacionados a funções eletivas.

Chegamos agora a este ponto: possuímos uma classe de símbolos x , y , z , etc., que satisfazem certas leis e são aplicáveis à expressão rigorosa de qualquer proposição categórica. Nosso próximo passo será apresentar alguns dos teoremas gerais do cálculo que se baseiam nessas leis, e esses teoremas serão aplicados posteriormente à discussão de exemplos particulares.

Dos teoremas gerais, apresentarei apenas dois conjuntos: aqueles que se relacionam ao desenvolvimento de funções e aqueles que se relacionam à solução de equações.

Teoremas do Desenvolvimento.

(1) Se x for qualquer símbolo eletivo, então

φ( x ) = φ(1) x + φ(0) (1 - x ) . . . . . . . .(8),

Os coeficientes φ(1), φ(0), que são funções quantitativas ou algébricas comuns, são chamados de módulos, e x e 1 - x de constituintes.

(2) Para uma função de dois símbolos eletivos, temos

φ( xy ) = φ(11) xy + φ(10) x (1 - y )
       + φ(01)(1 - x ) y + φ(00)(1 - x )(1 - y ) . . . . . . . .(9),

em que φ(11), φ(10), &c. são quantitativos e são chamados de módulos, e xy , x (1 - y ), &c. os constituintes.

(3) Funções de três símbolos:

φ( xyz ) = φ(111) xyz + φ(110) xy (1 - z )
       + φ(101) x (1 - y ) z + φ(100) x (1 - y )(1 - z )
       + φ(011)(1 - x ) yz + φ(010)(1 - x ) y (1 - z )
       + φ(001) xy (1 - z ) + φ(000)(1 - x )(1 - y )(1 - z ) . . . . . . . .(10),

em que φ(111), φ(110), &c. são os módulos, e xyz , xy (1 - z ), &c. os constituintes.

A partir desses exemplos, a lei geral do desenvolvimento é óbvia. E desejo que se note que esta lei é uma mera consequência das leis primárias que foram expressas em (1), (2), (3).

TEOREMA. Se tivermos qualquer equação φ( xyz ..) = 0, e expandirmos completamente o primeiro membro, então todo constituinte cujo módulo não se anula pode ser igualado a 0.

Isso nos permite interpretar qualquer equação por meio de uma regra geral.

REGRA. Traga todos os termos para o primeiro lado, expanda-o em termos de todos os símbolos eletivos envolvidos e iguale a 0 todo constituinte cujo módulo não se anule.

Para a demonstração destes e de muitos outros resultados, devo remeter ao trabalho original. Deve-se notar que na pág. 66, z foi, por engano, substituído por w , e que a referência na pág. 80 deveria ser à Proposição 2.

Como exemplo, vamos considerar a equação

x + 2 y - 3 xy = 0 . . . . . . . .(11).

Aqui φ( xy ) = x + 2y - 3xy , donde os valores dos módulos são

φ(11) = 0, φ(10) = 1, φ(01) = 2, φ(00) = 0,

de modo que a expansão (9) dá

x (1 - y ) + 2 y (1 - x ) = 0,

que é, na verdade, apenas outra forma de (11). Temos, então, pela Regra

x (1 - y ) = 0 . . . . . . . .(11),
y (1 - x ) = 0 . . . . . . . .(12);

A primeira implica que não existem Xs que não sejam Ys, a segunda que não existem Ys que não sejam Xs, e juntas expressam todo o significado da equação original.

Podemos, no entanto, muitas vezes recombinar os constituintes com um ganho de simplicidade. No presente caso, subtraindo (12) de (11), temos x - y = 0 , ou x = y , isto é, a classe X é idêntica à classe Y. Esta proposição é equivalente às duas anteriores.

Assim, todas as equações que, após expansão, resultam na mesma série de equações constituintes são igualmente significativas e todas são interpretáveis .

Solução geral de equações eletivas.

(1) A solução geral da equação φ( xy ) = 0, na qual estão envolvidos apenas dois símbolos eletivos, sendo y aquele cujo valor é procurado, é

y = φ(10) / (φ(10) - φ(11)) x + φ(00) / (φ(00) - φ(01)) (1-x) ........(13)

Os coeficientes

φ(10) / (φ(10) - φ(11)), φ(00) / (φ(00) - φ(01))

aqui estão os módulos.

(2) A solução geral da equação φ( xyz ) = 0, sendo z o símbolo cujo valor deve ser determinado, é

z =φ(110) / (φ(110) + φ(111)) xy + φ(100) / (φ(100) - φ(101) x(1-y) + φ(010) / (φ(010) - φ(011) (1-x)y + φ(000) / (φ(000) - φ(001)(1-x)(1-y) ........(14)

cujos coeficientes ainda chamaremos de módulos. A lei de sua formação será facilmente compreendida, de modo que os teoremas gerais apresentados para a solução de equações eletivas de dois e três símbolos podem ser considerados exemplos de um teorema mais geral aplicável a todas as equações eletivas. Ao aplicar esses resultados, deve-se observar que, se um módulo assumir a forma 0/0, ele deve ser substituído por um símbolo eletivo arbitrário w , e que, se um módulo assumir qualquer valor numérico que não seja 0 ou 1, o constituinte do qual ele é um fator deve ser igualado a 0 separadamente. Embora essas condições sejam deduzidas unicamente das leis às quais os símbolos obedecem, e sem qualquer referência à interpretação, elas tornam a solução de toda equação interpretável logicamente. A tais fórmulas também pode ser referida toda questão sobre as relações de classes . Uma ou duas ilustrações muito simples podem ser suficientes.

(1) Dado yx = yz + x (1 - z ) . . . . . . . . ( a ).
Os Ys que são Xs consistem nos Ys que são Zs e nos Xs que não são Zs. Requerida a classe Z.

Aqui φ( xyz ) = yx - yz - x (1 - z ),

φ(111) = 0, φ(110) = 0, φ(101) = 0,
φ(100) = -1, φ(011) = -1, φ(010) = 0,
φ(001) = 0, φ(000) = 0;

e substituindo em (14), temos

z = 0/0 xy + x (1 - y ) + 0/0 (1 - x )(1 - y )
  = x (1 - y ) + wxy + w' (1 - x )(1 - y ) . . . . . . . .(15).

Portanto, a classe Z inclui todos os Xs que não são Ys, um número indefinido de Xs que são Ys e um número indefinido de indivíduos que não são nem Xs nem Ys. Como as classes w e w' são bastante arbitrárias, o restante indefinido também o é; pode desaparecer ou não.

Como 1 - z representa uma classe, não-Z, e satisfaz a lei do índice

(1 - z) ⁿ = 1 - z ,

Como se evidencia no julgamento, podemos, se assim o desejarmos, determinar o valor deste elemento da mesma forma que devemos determinar o de z .

Tomemos, para ilustrar este princípio, a equação y = vx , (Todos os Ys são Xs), e procuremos o valor de 1 - x , a classe não-X.

Fazendo 1 - x = z, então y = v (1 - z ), e se escrevermos isso na forma y - v (1 - z ) = 0 e representarmos o primeiro membro por φ(vyz), com v substituindo x , em (14), teremos

φ(111) = 1, φ(110) = 0, φ(101) = 0, φ(100) = -1,
φ(011) = 1, φ(010) = 1, φ(001) = 0, φ(000) = 0;

a solução assumirá, portanto, a forma

z = 0/(0 - 1) vy + (-1)/(-1 - 0) v(1 - y) + 1/(1 - 1) (1 - v)y + 0/(0 - 0) (1 - v)(1 - y),

ou

1 - x = v (1 - y ) + 1/0 (1 - v ) y + 0/0 (1 - v )(1 - y ) . . . . . . . .(16).

O coeficiente infinito do segundo termo no segundo membro permite-nos escrever

y (1 - v ) = 0 . . . . . . . .(17),

O coeficiente 0/0 sendo então substituído por w , um símbolo eletivo arbitrário, temos:

1 - x = v (1 - y ) + w (1 - v )(1 - y ),

ou

1 - x = { v + w (1 - v )} (1 - y ) . . . . . . . .(18).

Podemos observar, com base nesse resultado, que o coeficiente v + w (1 - v ) no segundo membro satisfaz a condição.

{ v + w (1 - v )} ⁿ = v + w (1 - v ),

como se torna evidente ao elevá-lo ao quadrado. Portanto, representa uma classe . Podemos substituí-lo por um símbolo eletivo u , obtendo então:

1 - x = u (1 - y ) . . . . . . . .(19),

cuja interpretação é

Todos os que não são X também não são Y.

Esta é uma transformação conhecida em lógica, chamada conversão por contraposição ou conversão negativa. Mas está longe de esgotar a solução que obtivemos. Os lógicos negligenciaram o fato de que, quando convertemos a proposição "Todos os Ys são (alguns) Xs" em "Todos os não-Xs são (alguns) não-Ys", existe uma relação entre os dois ( alguns ), implícita nos predicados. A equação (18) mostra que, qualquer que seja a condição que limita os Xs na proposição original, os não-Ys na proposição convertida consistem em todos os que estão sujeitos à mesma condição e em um restante arbitrário que não está sujeito a essa condição. A equação (17) mostra ainda que não há Ys que não estejam sujeitos a essa condição.

Podemos reduzir de forma semelhante a equação y = v (1 - x ), Nenhum Y é X, à forma x = v' (1 - y ), Nenhum X é Y, com uma relação similar entre v e v' . Se resolvermos a equação y = vx , Todos os Ys são Xs, com referência a v , obtemos a relação subsidiária y (1 - x ) = 0 , Nenhum Y não é X, e similarmente, da equação y = v (1 - x ) (Nenhum Y é X) obtemos xy = 0. Essas equações, que também podem ser obtidas de outras maneiras, foram empregadas por mim no tratado original. Todas as equações cujas interpretações estão conectadas estão conectadas entre si, por solução ou desenvolvimento.

Sobre o silogismo.

As formas das proposições categóricas já deduzidas são

y = vx ,	Todos os Ys são Xs,
y = v (1 - x ),	Nenhum Y é X,
vy = v 'x ,	Alguns Ys são Xs,
vy = v' (1 - x ),	Alguns Ys não são Xs,

As duas primeiras fornecem, por solução, 1 - x = v' (1 - y ). Todos os não-Xs não são Ys, x = v' (1 - y ), nenhum X é Y. Ao esquema acima, que é o de Aristóteles, poderíamos anexar as quatro proposições categóricas.

1 - y = vx ,	Todos os que não são Ys são Xs.
1 - y = v (1 - x ),	Todos os que não são Ys não são Xs.
v (1 - y ) = v 'x ,	Algumas coisas que não são Y são X,
v (1 - y ) = v' (1 - x ),	Algumas coisas que não são Y também não são X.

os dois primeiros dos quais são igualmente conversíveis em

1 - x = v 'y ,		Todos os que não são X são Y.
x = v 'y ,		Todos os X são Ys,
	ou	Não, os que não são X são Y.

Se as duas premissas de qualquer silogismo forem expressas por equações das formas acima, a eliminação do símbolo comum y nos levará a uma equação que expressa a conclusão.

Ex. 1.	Todos os Ys são Xs,	y = vx ,
	Todos os Zs são Ys,	z = v 'y ,

a eliminação de y resulta em

z = vv 'x ,

cuja interpretação é

Todos os Zs são Xs,

A forma do coeficiente vv' indica que o predicado da conclusão é limitado por ambas as condições que, separadamente, limitam os predicados das premissas.

Ex. 2.	Todos os Ys são Xs,	y = vx ,
	Todos os Ys são Zs,	y = v 'z .

A eliminação de y resulta em

v 'z = vx ,

que pode ser interpretado como "Alguns Zs são Xs". É sempre necessário que um termo da conclusão seja interpretável por meio das equações das premissas. No caso acima, ambos o são.

Ex. 3.	Todos os X são Ys,	x = vy ,
	Não existem Zs que sejam Ys.	z = v' (1 - y ).

Em vez de eliminar y diretamente , vamos transformar qualquer uma das equações por solução como em (19). A primeira fornece

1 - y = u (1 - x ),

sendo u equivalente a v + w (1 - v ), em que w é arbitrário. Eliminando 1 - y entre esta e a segunda equação do sistema, obtemos

z = v 'u (1 - x ),

cuja interpretação é

Nenhum Z é X.

Se tivéssemos eliminado y diretamente , deveríamos ter tido

vz = v' ( v - x ),

cuja solução reduzida é

z = v' { v + (1 - v )}(1 - x ),

em que w é um símbolo eletivo arbitrário. Isso concorda exatamente com o resultado anterior.

Esses exemplos podem ser suficientes para ilustrar o emprego do método em casos particulares. Mas sua aplicabilidade à demonstração de teoremas gerais é, aqui como em outros casos, uma característica mais importante. Apresento a seguir os resultados de uma investigação recente das Leis do Silogismo. Embora esses resultados sejam caracterizados por grande simplicidade e, de fato, apresentem poucos traços de sua origem matemática, acredito que teria sido muito difícil chegar a eles por meio do exame e da comparação de casos particulares.

Leis do silogismo deduzidas do cálculo eletivo.

Consideraremos todas as proposições que podem ser feitas a partir das classes X, Y, Z, e referidas a qualquer uma das formas abrangidas pelo seguinte sistema:

UM,	Todos os Xs são Zs.	A ',	Todos os números que não são X são Zs.
E,	Nenhum X é Z.	E'	Não, os que não são X são Zs, ou
			(Todos os que não são X também não são Z.)
EU,	Alguns Xs são Zs.	EU ',	Alguns não-Xs são Zs.
Ó,	Alguns Xs não são Zs.	O ',	Algumas coisas que não são X também não são Z.

É necessário recapitular que quantidade (universal e particular) e qualidade (afirmativa e negativa) são entendidas como pertencentes aos termos das proposições, o que de fato é a visão correta.

Assim, na proposição Todos os Xs são Ys, o sujeito Todos os Xs é universal-afirmativo, o predicado (alguns) Ys é particular-afirmativo.

Na proposição "Alguns Xs são Zs", ambos os termos são particularmente afirmativos.

A proposição "Nenhum X é Z" seria escrita, em linguagem filosófica, na forma "Todos os X não são Zs". O sujeito é universal-afirmativo e o predicado, particular-negativo.

Na proposição "Alguns Xs não são Zs", o sujeito é particular-afirmativo e o predicado é particular-negativo. Na proposição "Todos os não-Xs são Ys", o sujeito é universal-negativo e o predicado é particular-afirmativo, e assim por diante.

Em um par de premissas, existem quatro termos, a saber, dois sujeitos e dois predicados; dois desses termos, ou seja, aqueles que envolvem Y ou não-Y, podem ser chamados de termos médios, os outros dois de extremos, um deles envolvendo X ou não-X, o outro Z ou não-Z.

A seguir, apresentamos as condições e as regras de inferência.

Primeiro caso. Os termos médios de mesma qualidade.

Condição de inferência. Um universal de termo médio.

Regra. Igualar os extremos.

Caso 2. Os termos médios de qualidades opostas.

1ª Condição de Inferência. Um universal extremo.

Regra. Altere a quantidade e a qualidade desse extremo e iguale o resultado ao outro extremo.

2ª. Condição de inferência. Dois termos médios universais.

Regra: Altere a quantidade e a qualidade de um dos extremos e iguale o resultado ao outro extremo.

Acrescento alguns exemplos,

1º	Todos os Ys são Xs.
	Todos os Zs são Ys.

Isso pertence ao Caso 1. "Todos os Ys" é o termo médio universal. Os extremos igualados resultam em "Todos os Zs são Xs", sendo o termo mais forte o sujeito.

2º	Todos os Xs são Ys	=	Todos os Xs são Ys
	Não existem Zs que sejam Ys.		Não, Zs não são Ys.

Isso pertence ao Caso 2 e satisfaz a primeira condição. O termo médio é particular-afirmativo na primeira premissa e particular-negativo na segunda. Tomando "Todos-Zs" como o extremo universal, temos, ao alterar sua quantidade e qualidade, "Alguns não-Zs", e isso, igualado ao outro extremo, resulta em

Todos os Xs são (alguns) não-Zs = Nenhum X é Z.

Se considerarmos "Todos os Xs" como o extremo universal, obtemos:

Nenhum Z é X.

3º	Todos os Xs são Ys.
	Alguns Zs não são Ys.

Isso também pertence ao Caso 2 e satisfaz a primeira condição. O extremo universal "Todos os Xs" torna-se "alguns não-Xs", donde

Alguns Zs não são Xs.

4º	Todos os Ys são Xs.
	Todos os números que não são Ys são Zs.

Isso pertence ao Caso 2 e satisfaz a segunda condição. O extremo "Alguns Xs" torna-se "Todos os não-Xs".

Todos os que não são X são Zs.

O outro extremo, tratado da mesma forma, daria

Todos os números que não são Zs são Xs.

o que é um resultado equivalente.

Se nos restringirmos às premissas aristotélicas A, E, I, O, a segunda condição de inferência no Caso 2 não será necessária. A conclusão não estará necessariamente confinada ao sistema aristotélico.

Ex.	Alguns Ys não são Xs	=	Alguns Ys não são Xs
	Não existem Zs que sejam Ys.		Nem todos os Zs são Ys.

Este caso pertence ao Caso 2 e satisfaz a primeira condição. O resultado é

Alguns que não são Zs também não são Xs.

Estas me parecem ser as leis fundamentais da inferência silogística. Aplicam-se a todos os casos e abolem completamente a distinção de figura, a necessidade de conversão, as regras arbitrárias e parciais de distribuição, etc. Se toda a lógica fosse redutível ao silogismo, estas poderiam ser consideradas as regras da lógica. Mas a lógica, considerada como a ciência das relações de classes, demonstrou ter um alcance muito maior. A inferência silogística, no sistema eletivo, corresponde à eliminação. Mas esta não é a mais elevada na ordem dos seus processos. Todas as questões de eliminação podem, nesse sistema, ser consideradas subsidiárias ao problema mais geral da solução de equações eletivas. A este problema podem ser remetidas todas as questões de lógica e raciocínio, sem exceção. Para ilustrações mais completas deste princípio, devo, contudo, remeter à obra original. A teoria das proposições hipotéticas, a análise dos elementos positivos e negativos, nos quais todas as proposições são, em última análise, resolúveis, e outros tópicos semelhantes também são ali discutidos.

Sem dúvida, o objetivo final da lógica especulativa é estabelecer as condições que tornam o raciocínio possível e as leis que determinam seu caráter e expressão. O axioma geral (A) e as leis (1), (2), (3) parecem fornecer a solução mais definitiva que pode ser dada atualmente a essa questão. Quando passamos à consideração de proposições hipotéticas, as mesmas leis e o mesmo axioma geral, que talvez também deva ser considerado uma lei, continuam a prevalecer; a única diferença é que os sujeitos do pensamento não são mais classes de objetos, mas casos de coexistência de verdade ou falsidade de proposições. As relações que os lógicos designam pelos termos condicional, disjuntiva etc., são referidas por Kant como distintas condições do pensamento. Mas é um fato notável que as expressões de tais relações podem ser deduzidas umas das outras por mero processo analítico. Da equação y = vx , que expressa a proposição condicional "Se a proposição Y é verdadeira, a proposição X é verdadeira", podemos deduzir

yx + (1 - y ) x + (1 - y )(1 - x ) = 1,

que expressa a proposição disjuntiva : "Ou Y e X são verdadeiros juntos, ou X é verdadeiro e Y é falso, ou ambos são falsos", e novamente a equação y (1 - x ) = 0, que expressa uma relação de coexistência, a saber, que a verdade de Y e a falsidade de X não coexistem. A distinção no aspecto mental que melhor se qualifica para ser considerada fundamental é, a meu ver, a do afirmativo e do negativo. Disso deduzimos o direto e o inverso nas operações, o verdadeiro e o falso nas proposições e a oposição de qualidades em seus termos.

A visão que essas investigações apresentam sobre a natureza da linguagem é muito interessante. Elas a exibem não como uma mera coleção de signos, mas como um sistema de expressão, cujos elementos estão sujeitos às leis do pensamento que representam. Que essas leis sejam tão rigorosamente matemáticas quanto as leis que governam as concepções puramente quantitativas de espaço e tempo, de número e magnitude, é uma conclusão que não hesito em submeter ao escrutínio mais rigoroso.

1. Cambridge and Dublin Mathematical Journal , Vol. III (1848), pp. 183-98

Originalmente transcrito por DR Wilkins (dwilkins@maths.tcd.ie)
Escola de Matemática, Trinity College, Dublin

Normal | Professor | Pesquisador