David Bohm é talvez mais conhecido pelos novos métodos experimentais para testar a suposta sugestão de Einstein sobre "variáveis ocultas" que explicariam o paradoxo EPR, fornecendo as informações necessárias na partícula "emaranhada" distante, para que ela possa coordenar suas propriedades perfeitamente com a partícula "local".

Em seu livro didático de 1951, Mecânica Quântica, Bohm discutiu o EPR.

16. O Experimento Hipotético de Einstein, Rosen e Podolsky.
Descreveremos agora o experimento hipotético de Einstein, Rosen e Podolsky. Modificamos um pouco o experimento, mas a forma é completamente equivalente à sugerida por eles e consideravelmente mais fácil de tratar matematicamente.

Suponha que temos uma molécula contendo dois átomos em um estado no qual o spin total é zero e que o spin de cada átomo é ℏ/2. Grosso modo, isso significa que o spin de cada átomo aponta em uma direção exatamente oposta à do outro, na medida em que se possa dizer que o spin tenha alguma direção definida. Agora, suponha que a molécula seja desintegrada por algum processo que não altere o momento angular total. Os dois átomos começarão a se separar e logo deixarão de interagir de forma apreciável. Seu momento angular de spin combinado, no entanto, permanece igual a zero, porque nenhum torque atuou sobre o sistema.

Agora, se o spin fosse uma variável clássica de momento angular, a interpretação do processo seria a seguinte: enquanto os dois átomos estivessem juntos na forma de uma molécula, cada componente do momento angular de cada átomo teria um valor definido, sempre oposto ao do outro, tornando o momento angular total igual a zero. Quando os átomos se separassem, cada átomo continuaria a ter cada componente do seu momento angular de spin oposta à do outro. Os dois vetores de momento angular de spin estariam, portanto, correlacionados. Essas correlações foram originalmente produzidas quando os átomos interagiram de forma a formar uma molécula com spin total zero, mas, após a separação dos átomos, as correlações são mantidas pelas equações de movimento determinísticas de cada vetor de spin separadamente, o que leva à conservação de cada componente dos vetores de momento angular de spin individuais.

Suponha agora que se meça o momento angular de spin de qualquer uma das partículas, digamos, a partícula nº 1. Devido à existência de correlações, podemos concluir imediatamente que o vetor de momento angular da outra partícula (nº 2) é igual e oposto ao da partícula nº 1. Dessa forma, podemos medir indiretamente o momento angular da partícula nº 2 medindo o vetor correspondente da partícula nº 1.

Teoria Quântica , capítulo 22, seção 16, p. 614

Bohm escreveu em 1952,

A interpretação usual da teoria quântica baseia-se numa premissa com implicações de longo alcance, ou seja, que o estado físico de um sistema individual é completamente especificado por uma função de onda que determina apenas as probabilidades dos resultados reais que podem ser obtidos num conjunto estatístico de experimentos semelhantes. Essa premissa tem sido alvo de severas críticas, principalmente por parte de Einstein, que sempre acreditou que, mesmo no nível quântico, devem existir elementos ou variáveis dinâmicas precisamente definíveis que determinam (como na física clássica) o comportamento real de cada sistema individual, e não meramente o seu comportamento provável. Como esses elementos ou variáveis não estão atualmente incluídos na teoria quântica e ainda não foram detectados experimentalmente, Einstein sempre considerou a forma atual da teoria quântica incompleta, embora admita sua consistência interna.

"Uma interpretação sugerida da teoria quântica em termos de variáveis 'ocultas'. I", Physical Review , vol. 85, nº 2, p. 166, 1952.

É possível que Einstein tenha pressionado Bohm a desenvolver variáveis ocultas como a origem do comportamento não local. Einstein havia aprovado entusiasticamente o livro didático de Bohm, Teoria Quântica , e inicialmente apoiou a nova mecânica proposta por ele. Einstein acreditava que Bohm era jovem e inteligente o suficiente para produzir os argumentos matemáticos que a geração mais antiga de físicos "deterministas", como Erwin Schrödinger , Max Planck e outros, não havia conseguido realizar.

Mas quando Bohm terminou o trabalho, baseado na ideia de "onda piloto" de Louis de Broglie de 1924 (que Einstein havia apoiado), Einstein o rejeitou por considerá-lo inconsistente com sua teoria da relatividade.

Einstein escreveu para Max Born em 15 de maio de 1952.

Você reparou que Bohm acredita (assim como de Broglie, aliás, há 25 anos) que consegue interpretar a teoria quântica em termos determinísticos Essa abordagem me parece simplista demais. Mas você, é claro, pode avaliar isso melhor do que eu. 

Cartas de Born-Einstein , nº 99, p. 188.

Cinco anos depois, Bohm e seu aluno israelense Yakir Aharonov reformularam o argumento original da EPR em termos de spin do elétron. Eles afirmaram que testes experimentais com variáveis contínuas seriam muito mais difíceis do que testes com grandezas discretas, como o spin dos elétrons ou a polarização dos fótons. Bohm e Aharonov descreveram a preparação de duas partículas, de modo que uma medição de uma delas em um momento posterior determinasse uma medição na mesma direção da outra partícula a qualquer distância.

Consideramos uma molécula de spin total zero constituída por dois átomos, cada um com spin meio. A função de onda do sistema é, portanto,

ψ = (1/√2) [ ψ ₊ (1) ψ _- (2) - ψ _- (1) ψ ₊ (2) ] (1)

onde ψ ₊ (1) se refere à função de onda do estado atômico no qual uma partícula (A) tem spin +ℏ/2, etc. Os dois átomos são então separados por um método que não influencia o spin total. Depois de estarem suficientemente separados para que cessem de interagir, qualquer componente desejada do spin da primeira partícula (A) é medida. Então, como o spin total ainda é zero, pode-se concluir imediatamente que a mesma componente do spin da outra partícula (B) é oposta à de A.

"Discussão da prova experimental do paradoxo de Einstein, Rosen e Podolsky", Physical Review , vol. 108, nº 4, p. 1070, 1957

Bohm e Aharonov apresentaram uma rara discussão sobre o papel da conservação do momento angular como explicação para o fato (no estado de spin zero total) de que o spin da partícula (B) será oposto ao de A. Eles também reagiram a uma hipótese do professor de Harvard, Wendell Furry . Seis anos depois , Eugene Wigner também citou a conservação do momento angular como explicação para as correlações (ou anticorrelações) perfeitas nos experimentos de Bell-Bohm.

Evidentemente, a interpretação anterior não é satisfatória quando aplicada ao experimento de ERP. É claro que é aceitável apenas para a partícula A (a partícula cujo spin é medido diretamente). Mas não explica por que a partícula B (que não interage com A nem com o aparelho de medição) realiza sua potencialidade para um spin definido exatamente na mesma direção que a de A. Além disso, não explica as flutuações das outras duas componentes do spin da partícula B como resultado de perturbações causadas pelo aparelho de medição.

Poder-se-ia supor que existe alguma interação oculta entre B e A, ou entre B e o aparelho de medição, que explica o comportamento acima descrito. Tal interação estaria, no mínimo, fora do escopo da teoria quântica atual. Além disso, teria que ser instantânea, pois a orientação do aparelho de medição poderia ser alterada muito rapidamente, e o spin de B teria que responder imediatamente à mudança. Uma interação tão imediata entre sistemas distantes não seria, em geral, consistente com a teoria da relatividade. Esse resultado constitui a essência do paradoxo de Einstein, Rosen e Podolsky...

À primeira vista, parece que atualmente não existe nenhuma prova experimental de que o comportamento paradoxal descrito pelo ERP realmente ocorrerá...

Na verdade, Einstein chegou a propor (em uma comunicação privada) tal ideia; ou seja, que a formulação atual do problema de muitos corpos na mecânica quântica pode falhar quando as partículas estão suficientemente distantes umas das outras.

Como Erwin Schrödinger explicou a Einstein em 1935, reagindo à EPR, a função de onda de duas partículas só se separará (ou decoerirá ou se decomporá) em uma função produto quando qualquer uma das partículas for medida. No caso de Bohm, ela se separará aleatoriamente em ψ ₊ (1) ψ _- (2) ou ψ _- (1) ψ ₊ (2).
A direção "definida" é criada pela "escolha livre" de um experimentador ao medir A ou B.

As consequências de tal ideia já foram discutidas por Furry. ⁴ Para ilustrar as conclusões de Furry em termos do nosso problema, podemos considerar a possibilidade de que, após a decomposição da molécula de spin zero, a função de onda do sistema eventualmente não seja mais dada pela Eq. (1), o que implica as correlações intrigantes dos spins dos dois átomos. Em vez disso, supomos que, em qualquer caso individual, o spin de cada átomo se torna definido em alguma direção, enquanto o do outro átomo é oposto.

A molécula de spin zero ainda não está em um único produto. Ela está em uma superposição de produtos
ψ ₊ (1) ψ _- (2) e ψ _- (1) ψ ₊ (2) . Ela só se decompõe (ou " colapsa ") em um destes quando uma medição é feita.

A função de onda será o produto

ψ = ψ _+θ,φ (1) ψ _-θ,φ (2)                 (2)

onde ψ _+θ,φ (1) é uma função de onda da partícula A cujo spin é positivo na direção dada por θ e φ. Em outras palavras, cada partícula entra em um estado de spin definido, enquanto as flutuações das outras duas componentes do spin não são correlacionadas com as flutuações dessas componentes do spin da outra partícula. Para manter a simetria esférica no sentido estatístico, supomos ainda que, em um grande agregado de casos semelhantes, existe uma probabilidade uniforme para qualquer direção de θ e φ.

É verdade que, em qualquer caso específico, o momento angular total não será conservado (simplesmente porque as flutuações das duas partículas agora são não correlacionadas). No entanto, até o momento, não houve uma demonstração experimental da conservação detalhada de cada componente do momento angular para partículas que estão distantes uma da outra e não interagem.

A conservação do momento angular deve ser verdadeira em todos os momentos, e não apenas na média, como Bohr-Kramers-Slater argumentaram erroneamente em favor da conservação de energia em 1924.

Por outro lado, com o modelo que discutimos aqui, a probabilidade uniforme em todas as direções levará ao fato experimentalmente observado de conservação na média. Assim, todas as evidências citadas até este ponto são igualmente consistentes com ambas as teorias, mas o modelo descrito acima tem a vantagem de evitar o paradoxo do ERP.

Milhares de testes de Bell comprovam experimentalmente que a medição da partícula A em uma determinada direção mostrará correlações perfeitas com a partícula B se (e somente se) B for medida na mesma direção. Isso é verdade após a medição, quer a função de onda do produto se torne ψ _+θ,φ (1) ψ _-θ,φ (2) ou ψ _-θ,φ (1) ψ _+θ,φ (2)

Pois, se este modelo estiver correto, não haverá correlação precisa de um componente arbitrário do momento angular de cada partícula em cada caso individual, e nossa decisão de escolher uma determinada direção para medir o spin da partícula A não terá influência alguma no estado da partícula B [já que a função de onda é apenas o produto (2)].

4 WH Furry, Phys. Rev. 49, 393, 476 (1936).

ibid. p.1071

Eugene Wigner escreveu em 1963

Se uma medição do momento de uma das partículas for realizada — a possibilidade disso nunca é questionada — e o resultado for p , o vetor de estado da outra partícula torna-se repentinamente uma onda plana (ligeiramente amortecida) com momento -p . Essa afirmação é sinônima da afirmação de que uma medição do momento da segunda partícula resultaria em -p , como decorre da lei de conservação do momento linear. A mesma conclusão pode ser obtida também por meio de um cálculo formal dos possíveis resultados de uma medição conjunta dos momentos das duas partículas.

Escrevendo alguns anos depois de Bohm e um ano antes de Bell, Wigner descreve explicitamente o exemplo de Einstein sobre a conservação do momento linear, bem como a conservação do momento angular (spin), que explica as correlações perfeitas entre as componentes do momento angular (spin) medidas na mesma direção.

Pode-se ir ainda mais longe: em vez de medir o momento linear de uma partícula, pode-se medir seu momento angular em torno de um eixo fixo. Se essa medição resultar no valor mℏ , o vetor de estado da outra partícula torna-se repentinamente uma onda cilíndrica para a qual a mesma componente do momento angular é -mℏ . Essa afirmação é novamente sinônima da afirmação de que uma medição da referida componente do momento angular da segunda partícula certamente resultaria no valor -mℏ . Isso pode ser inferido novamente da lei da conservação do momento angular (que é zero para as duas partículas juntas) ou por meio de uma análise formal.

( O Problema da Medição , Eugene Wigner, em Wheeler e Zurek, Medição Quântica , p. 340)

Bohr e Aharonov apresentaram uma rara discussão sobre o papel da conservação do momento angular como explicação para o fato (no estado de spin zero total) de que o spin da partícula (B) será oposto ao de A. Eles também reagiram a uma hipótese do professor de Harvard, Wendell Furry . Seis anos depois , Eugene Wigner também citou a conservação do momento angular como explicação para as correlações (ou anticorrelações) perfeitas nos experimentos de Bell-Bohm.

Evidentemente, a interpretação anterior não é satisfatória quando aplicada ao experimento de ERP. É claro que é aceitável apenas para a partícula A (a partícula cujo spin é medido diretamente). Mas não explica por que a partícula B (que não interage com A nem com o aparelho de medição) realiza sua potencialidade para um spin definido exatamente na mesma direção que a de A. Além disso, não explica as flutuações das outras duas componentes do spin da partícula B como resultado de perturbações causadas pelo aparelho de medição.

Poder-se-ia supor que existe alguma interação oculta entre B e A, ou entre B e o aparelho de medição, que explica o comportamento acima descrito. Tal interação estaria, no mínimo, fora do escopo da teoria quântica atual. Além disso, teria que ser instantânea, pois a orientação do aparelho de medição poderia ser alterada muito rapidamente, e o spin de B teria que responder imediatamente à mudança. Uma interação tão imediata entre sistemas distantes não seria, em geral, consistente com a teoria da relatividade. Esse resultado constitui a essência do paradoxo de Einstein, Rosen e Podolsky...

À primeira vista, parece que atualmente não existe nenhuma prova experimental de que o comportamento paradoxal descrito pelo ERP realmente ocorrerá...

Na verdade, Einstein chegou a propor (em uma comunicação privada) tal ideia; ou seja, que a formulação atual do problema de muitos corpos na mecânica quântica pode falhar quando as partículas estão suficientemente distantes umas das outras.

Como Erwin Schrödinger explicou a Einstein em 1935, reagindo à EPR, a função de onda de duas partículas só se separará (ou decoerirá ou se decomporá) em uma função produto quando qualquer uma das partículas for medida. No caso de Bohm, ela se separará aleatoriamente em ψ ₊ (1) ψ _- (2) ou ψ _- (1) ψ ₊ (2).
A direção "definida" é criada pela "escolha livre" de um experimentador ao medir A ou B.

As consequências de tal ideia já foram discutidas por Furry. ⁴ Para ilustrar as conclusões de Furry em termos do nosso problema, podemos considerar a possibilidade de que, após a decomposição da molécula de spin zero, a função de onda do sistema eventualmente não seja mais dada pela Eq. (1), o que implica as correlações intrigantes dos spins dos dois átomos. Em vez disso, supomos que, em qualquer caso individual, o spin de cada átomo se torna definido em alguma direção, enquanto o do outro átomo é oposto.

A molécula de spin zero ainda não está em um único produto. Ela está em uma superposição de produtos
ψ ₊ (1) ψ _- (2) e ψ _- (1) ψ ₊ (2) . Ela só se decompõe (ou " colapsa ") em um destes quando uma medição é feita.

A função de onda será o produto

ψ = ψ _+θ,φ (1) ψ _-θ,φ (2)                 (2)

onde ψ _+θ,φ (1) é uma função de onda da partícula A cujo spin é positivo na direção dada por θ e φ. Em outras palavras, cada partícula entra em um estado de spin definido, enquanto as flutuações das outras duas componentes do spin não são correlacionadas com as flutuações dessas componentes do spin da outra partícula. Para manter a simetria esférica no sentido estatístico, supomos ainda que, em um grande agregado de casos semelhantes, existe uma probabilidade uniforme para qualquer direção de θ e φ.

É verdade que, em qualquer caso específico, o momento angular total não será conservado (simplesmente porque as flutuações das duas partículas agora são não correlacionadas). No entanto, até o momento, não houve uma demonstração experimental da conservação detalhada de cada componente do momento angular para partículas que estão distantes uma da outra e não interagem.

A conservação do momento angular deve ser verdadeira em todos os momentos, e não apenas na média, como Bohr-Kramers-Slater argumentaram erroneamente em favor da conservação de energia em 1924.

Por outro lado, com o modelo que discutimos aqui, a probabilidade uniforme em todas as direções levará ao fato experimentalmente observado de conservação na média. Assim, todas as evidências citadas até este ponto são igualmente consistentes com ambas as teorias, mas o modelo descrito acima tem a vantagem de evitar o paradoxo do ERP.

Milhares de testes de Bell comprovam experimentalmente que a medição da partícula A em uma determinada direção mostrará correlações perfeitas com a partícula B se (e somente se) B for medida na mesma direção. Isso é verdade após a medição, quer a função de onda do produto se torne ψ _+θ,φ (1) ψ _-θ,φ (2) ou ψ _-θ,φ (1) ψ _+θ,φ (2)

Pois, se este modelo estiver correto, não haverá correlação precisa de um componente arbitrário do momento angular de cada partícula em cada caso individual, e nossa decisão de escolher uma determinada direção para medir o spin da partícula A não terá influência alguma no estado da partícula B [já que a função de onda é apenas o produto (2)].

4 WH Furry, Phys. Rev. 49, 393, 476 (1936).

ibid. p.1071

N. David Mermin apresentou um argumento semelhante em seu artigo para The Great Ideas Today 1988 (Enciclopédia Britânica).

Bohm e Aharonov também deram uma explicação convincente para o experimento da dupla fenda . Eles escreveram:

A mecânica de Bohm oferece uma explicação física direta.

Primeiro, feche a fenda 1 e abra a fenda 2.
A partícula passa pela fenda 2.
Ela chega em x na placa com probabilidade |ψ₂ ₍ x)| ^² ,
onde ψ₂ _é a função de onda que passou pela fenda 2.

Segundo, feche a fenda 2 e abra a fenda 1.
A partícula passa pela fenda 1.
Ela chega em x na placa com probabilidade |ψ₁ ₍ x)| ^² ,
onde ψ₁ _é a função de onda que passou pela fenda 1.

Terceiro, abra ambas as fendas.
A partícula passa pela fenda 1 ou pela fenda 2.
Ela chega em x com probabilidade |ψ₁ ₍ x) + ψ₂ ₍ x)| ^² .

Agora observe que, em geral,
|ψ₁ ₍ x) + ψ₂ ₍ x)| ^² = |ψ₁ ₍ x) + ψ₂ ₍ x)| ^² = |ψ₁ ₍ x)|². ² +|ψ ₂ (x)| ² + 2ℜψ ^∗ ₁ (x) ψ ₂ (x).

O último termo resulta da interferência dos pacotes de ondas ψ ₁ e ψ ₂ que passaram pela fenda 1 e pela fenda 2.

As probabilidades de encontrar partículas quando ambas as fendas estão abertas são diferentes da soma das probabilidades com a fenda 1 aberta e a fenda 2 aberta separadamente.

A função de onda ψ(x) (ao quadrado), |ψ(x)| ² , determina a probabilidade de encontrar uma partícula em x, como Einstein sugeriu inicialmente e Max Born descreveu posteriormente como sua "interpretação estatística" (a chamada "Regra de Born").

Agora, a formulação de Richard Feynman sobre a integral de caminho na mecânica quântica descreve trajetórias supraluminais e até mesmo algumas coisas se movendo para trás no tempo, então devemos examinar cuidadosamente o trabalho de Bohm.

A busca de Bohm por "variáveis ocultas" inspirou John Bell a desenvolver um teorema sobre "desigualdades" que precisariam ser satisfeitas por variáveis ocultas. Até hoje, todos os testes do teorema de Bell violaram suas desigualdades e demonstraram que a teoria quântica não pode ser substituída por uma com variáveis ocultas "locais". Se elas existem, as "variáveis ocultas" também devem ser "não locais".

Bohm foi particularmente claro sobre o processo de medição . Ele afirmou que este envolve irreversibilidade macroscópica , o que era um sinal e uma consequência de tratar o aparelho de medição como um sistema macroscópico que não poderia ser tratado mecanicamente quântico. O sistema macroscópico poderia, em princípio, ser tratado mecanicamente quântico, mas Bohm disse que seus muitos graus de liberdade internos destruiriam quaisquer efeitos de interferência. Esta é a teoria moderna da decoerência quântica .

A visão de Bohm é consistente com a solução da filosofia da informação para o problema da medição. Uma medição só é realizada quando novas informações chegam ao mundo e entropia suficiente é dissipada para garantir a estabilidade dessas novas informações, tempo suficiente para que sejam observadas pelo observador "consciente".

Em seu livro didático de 1951, Teoria Quântica , Bohm discute a medição no capítulo 22, seção 12.

12. Irreversibilidade do processo de medição e seu papel fundamental na teoria quântica.

Com base em trabalhos anteriores, conclui-se que um processo de medição é irreversível , no sentido de que, após sua ocorrência, o restabelecimento de relações de fase definidas entre as autofunções da variável medida é extremamente improvável. Essa irreversibilidade assemelha-se muito àquela observada em processos termodinâmicos, nos quais a diminuição da entropia também é uma possibilidade extremamente improvável.*

* Existe, de fato, uma estreita ligação entre entropia e o processo de medição. Veja L. Szilard,, 53, 840, 1929. A necessidade de tal conexão pode ser vista considerando-se uma caixa dividida por uma divisória em duas partes iguais, contendo um número igual de moléculas de gás em cada parte. Suponha que, nessa caixa, esteja colocado um dispositivo que possa fornecer uma medição aproximada da posição de cada átomo à medida que se aproxima da divisória. Esse dispositivo está acoplado automaticamente a um portão na divisória de tal forma que o portão se abra se uma molécula se aproximar do portão pela direita, mas se feche se se aproximar pela esquerda. Assim, com o tempo, todas as moléculas podem ser acumuladas no lado esquerdo. Dessa forma, a entropia do gás diminui. Se não houvesse um aumento compensatório de entropia do mecanismo, a segunda lei da termodinâmica seria violada. Vimos, no entanto, que, na prática, todo processo que possa fornecer uma medição precisa, revelando em qual lado da caixa a molécula realmente se encontra, também deve ser acompanhado por mudanças irreversíveis no aparelho de medição. De fato, pode-se demonstrar que essas mudanças devem ser, no mínimo, suficientemente grandes para compensar a diminuição da entropia do gás. Assim, a segunda lei da termodinâmica não pode ser violada dessa maneira. Isso significa, é claro, que o famoso "demônio classificador" de Maxwell não pode operar, se for feito de matéria que obedece a todas as leis da física. (Ver L. Brillouin, American Scientist , 38, 594, 1950.)

Como o comportamento irreversível do aparelho de medição é essencial para a destruição de relações de fase definidas e, por sua vez, a destruição de relações de fase definidas é essencial para a consistência da teoria quântica como um todo, conclui-se que a irreversibilidade termodinâmica entra na teoria quântica de forma integral. Isso contrasta notavelmente com a teoria clássica, onde o conceito de irreversibilidade termodinâmica não desempenha nenhum papel fundamental nas ciências básicas da mecânica e da eletrodinâmica. Assim, enquanto na teoria clássica as variáveis fundamentais (como a posição ou o momento de uma partícula elementar) são consideradas como tendo valores definidos independentemente de o aparelho de medição ser reversível ou não, na teoria quântica descobrimos que tal grandeza só pode assumir um valor bem definido quando o sistema está acoplado indivisivelmente a um sistema classicamente descritível que sofre processos irreversíveis. A própria definição do estado de qualquer sistema em nível microscópico, portanto, exige que a matéria em grande escala sofra processos irreversíveis. Existe aqui uma forte analogia com o comportamento dos sistemas biológicos, onde, da mesma forma, a própria existência dos elementos fundamentais (por exemplo, as células) depende da manutenção de processos irreversíveis que envolvem a oxidação dos alimentos em todo o organismo. (A interrupção desses processos resultaria na dissolução da célula.)