Publicado originalmente em um suplemento da revista Nature , em 14 de abril de 1928, página 580. Este foi o artigo de Bohr proferido em Como, em setembro de 1927, famoso por ser a primeira publicação de seu conceito de " complementaridade ". Também foi publicado em versões holandesa, francesa e alemã. A versão francesa foi publicada como a contribuição de Bohr para a Conferência Solvay de 1927, embora sua palestra em Bruxelas tenha sido bastante diferente deste artigo.

[Nota: O texto abaixo é uma versão HTML anotada da versão em PDF do artigo da Nature . É facilmente pesquisável e permite referências cruzadas (hiperlinks) a outros trabalhos de Bohr que definem a " complementaridade " que levou à versão "padrão" e "ortodoxa" da física quântica, chamada Interpretação de Copenhague, a partir de um artigo de Werner Heisenberg na década de 1950. O "Postulado Quântico" refere-se em parte à "antiga teoria quântica" de Bohr. Bohr postulou um "salto quântico" descontínuo de um elétron entre "estados estacionários" com a emissão ou absorção de radiação de frequência ν , de acordo com o postulado de Planck E = hν e seu "quantum de ação" h . Mas observe que, para Bohr, a radiação emitida ou absorvida é contínua. Ele nunca endossou a hipótese do quantum de luz de Einstein, embora o átomo de Bohr seja ensinado hoje como emissor de um fóton quando o elétron salta entre níveis de energia.]

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Em relação à discussão sobre a interpretação física dos métodos teóricos quânticos desenvolvidos nos últimos anos, gostaria de fazer as seguintes observações gerais sobre os princípios que fundamentam a descrição dos fenômenos atômicos, as quais espero que possam ajudar a harmonizar os diferentes pontos de vista, aparentemente tão divergentes, sobre este assunto.

¹ O conteúdo deste artigo é essencialmente o mesmo de uma palestra sobre o estado atual da teoria quântica, proferida em 16 de setembro de 1927, na celebração da Volta em Como. Para um resumo da teoria imediatamente anterior ao desenvolvimento dos novos métodos, o leitor é remetido a uma palestra do autor, "Teoria Atômica e Mecânica", publicada neste periódico (NATURE, 116, 809; 1925). O rápido desenvolvimento ocorrido desde então deu origem a um número considerável de publicações. O presente artigo se limita a algumas referências a artigos recentes que têm relação especial com o assunto em discussão.

1. POSTULADO QUÂNTICO E CAUSALIDADE.

A teoria quântica caracteriza-se pelo reconhecimento de uma limitação fundamental nas ideias físicas clássicas quando aplicadas a fenômenos atômicos. A situação assim criada é peculiar, uma vez que nossa interpretação do material experimental se baseia essencialmente em conceitos clássicos.

Apesar das dificuldades inerentes à formulação da teoria quântica, parece, como veremos, que sua essência pode ser expressa no chamado postulado quântico, que atribui a qualquer processo atômico uma descontinuidade essencial, ou melhor, uma individualidade, completamente estranha às teorias clássicas e simbolizada pelo quantum de ação de Planck.

Este postulado implica uma renúncia quanto à coordenação espaço-temporal causal dos processos atômicos. De fato, nossa descrição usual dos fenômenos físicos baseia-se inteiramente na ideia de que os fenômenos em questão podem ser observados sem que sejam perturbados de forma apreciável. Isso fica evidente, por exemplo, na teoria da relatividade, que tem sido tão frutífera para a elucidação das teorias clássicas. Como enfatizado por Einstein, toda observação ou medição se baseia, em última análise, na coincidência de dois eventos independentes no mesmo ponto espaço-temporal. Justamente essas coincidências não serão afetadas por quaisquer diferenças que a coordenação espaço-temporal de diferentes observadores possa apresentar.

O postulado quântico implica que qualquer observação de fenômenos atômicos envolverá uma interação com o agente da observação, a qual não deve ser negligenciada. Consequentemente, uma realidade independente no sentido físico ordinário não pode ser atribuída nem aos fenômenos nem aos agentes da observação. Afinal, o conceito de observação é, em certa medida, arbitrário, pois depende de quais objetos estão incluídos no sistema a ser observado. Em última análise, toda observação pode, naturalmente, ser reduzida às nossas percepções sensoriais. A circunstância, porém, de que na interpretação das observações sempre se faz uso de noções teóricas, implica que, para cada caso particular, é uma questão de conveniência decidir em que ponto o conceito de observação, envolvendo o postulado quântico com sua inerente "irracionalidade", é introduzido.

Essa situação tem consequências de longo alcance. Por um lado, a definição do estado de um sistema físico, como geralmente o entendemos, exige a eliminação de todas as perturbações externas. Mas, nesse caso, de acordo com o postulado quântico, qualquer observação seria impossível e, sobretudo, os conceitos de espaço e tempo perderiam seu sentido imediato. Por outro lado, se para tornar a observação possível permitirmos certas interações com agentes de medição adequados, que não pertencem ao sistema, uma definição inequívoca do estado do sistema naturalmente deixa de ser possível, e não se pode falar em causalidade no sentido comum da palavra.

A própria natureza da teoria quântica nos força, portanto, a considerar a coordenação espaço-temporal e a alegação de causalidade, cuja união caracteriza as teorias clássicas, como características complementares, porém exclusivas, da descrição, simbolizando a idealização da observação e da definição, respectivamente. Assim como a teoria da relatividade nos ensinou que a conveniência de distinguir nitidamente entre espaço e tempo reside unicamente na pequenez das velocidades normalmente encontradas em comparação com a velocidade da luz, aprendemos com a teoria quântica que a adequação de nossa descrição causal usual do espaço-tempo depende inteiramente do pequeno valor do quantum de ação em comparação com as ações envolvidas nas percepções sensoriais ordinárias. De fato, na descrição dos fenômenos atômicos, o postulado quântico nos apresenta a tarefa de desenvolver uma teoria da "complementaridade", cuja consistência só pode ser avaliada ponderando as possibilidades de definição e observação.

Essa perspectiva já está claramente demonstrada pela muito debatida questão da natureza da luz e dos constituintes fundamentais da matéria. No que diz respeito à luz, sua propagação no espaço e no tempo é adequadamente explicada pela teoria eletromagnética. Especialmente os fenômenos de interferência no vácuo e as propriedades ópticas dos meios materiais são completamente regidos pelo princípio da superposição da teoria ondulatória. Contudo, a conservação de energia e momento durante a
interação entre radiação e matéria, como evidenciado nos
efeitos fotoelétrico e Compton, encontra sua expressão adequada justamente na
ideia do quantum de luz proposta por Einstein. Como é sabido, as dúvidas quanto à validade do princípio da superposição, por um lado, e das leis de conservação, por outro, sugeridas por essa aparente contradição, foram definitivamente refutadas por meio de experimentos diretos. Essa situação parece indicar claramente a impossibilidade de uma descrição espaço-temporal causal dos fenômenos da luz. Por um lado, ao tentarmos traçar as leis da propagação espaço-temporal da luz segundo o postulado quântico, ficamos restritos a considerações estatísticas. Por outro lado, a comprovação da causalidade para os processos luminosos individuais, caracterizados pelo quantum de ação, implica uma renúncia à descrição espaço-temporal. É claro que não se pode falar em uma aplicação totalmente independente das ideias de espaço, tempo e causalidade. As duas visões sobre a natureza da luz devem ser consideradas, antes, como tentativas distintas de interpretação de evidências experimentais, nas quais as limitações dos conceitos clássicos se expressam de maneiras complementares.

O problema da natureza dos constituintes da matéria apresenta-nos uma situação análoga. A individualidade dos corpúsculos elétricos elementares é-nos imposta pela evidência geral. Contudo, a experiência recente, sobretudo a descoberta da reflexão seletiva de elétrons em cristais metálicos, exige a utilização do princípio da superposição da teoria ondulatória, em conformidade com as ideias originais de L. de Broglie. Tal como no caso da luz, temos, consequentemente, na questão da natureza da matéria, na medida em que nos mantemos fiéis aos conceitos clássicos, de nos depararmos com um dilema inevitável, que deve ser encarado como a própria expressão da evidência experimental. Na verdade, aqui também não estamos lidando com visões contraditórias, mas complementares dos fenômenos, que somente juntas oferecem uma generalização natural do modo clássico de descrição. Na discussão dessas questões, deve-se ter em mente que, de acordo com a perspectiva adotada acima, a radiação no espaço livre, assim como as partículas materiais isoladas, são abstrações, cujas propriedades na teoria quântica são definíveis e observáveis apenas por meio de sua interação com outros sistemas. Não obstante, essas abstrações são, como veremos, indispensáveis para uma descrição da experiência em conexão com nossa visão ordinária do espaço-tempo.

As dificuldades que a descrição causal do espaço-tempo enfrenta na teoria quântica, e que têm sido objeto de repetidas discussões, são agora colocadas em primeiro plano pelo recente desenvolvimento dos métodos simbólicos.

Uma importante contribuição para o problema da aplicação consistente desses métodos foi feita recentemente por Heisenberg ( Zeitschr. f. Phys. , 43 , 172; 1927). Em particular, ele enfatizou a peculiar incerteza recíproca que afeta todas as medições de grandezas atômicas. Antes de abordarmos seus resultados, será vantajoso mostrar como a natureza complementar da descrição que surge nessa incerteza é inevitável já na análise dos conceitos mais elementares empregados na interpretação da experiência.

2. QUANTUM DE AÇÃO E CINEMÁTICA.

O contraste fundamental entre o quantum de ação e os conceitos clássicos torna-se imediatamente aparente a partir das fórmulas simples que formam a base comum da teoria dos quanta de luz e da teoria ondulatória das partículas materiais. Se a constante de Planck for denotada por h, como é bem conhecido,

onde E e I são energia e momento, respectivamente, τ e λ o período de vibração e o comprimento de onda correspondentes. Nessas fórmulas, as duas noções de luz e também de matéria entram em nítido contraste. Enquanto energia e momento estão associados ao conceito de partículas e, portanto, podem ser caracterizados, do ponto de vista clássico, por coordenadas espaço-temporais definidas, o período de vibração e o comprimento de onda referem-se a um trem de ondas harmônicas planas de extensão ilimitada no espaço e no tempo. Somente com o auxílio do princípio da superposição é possível estabelecer uma conexão com o modo de descrição ordinário. De fato, uma limitação da extensão dos campos de onda no espaço e no tempo pode sempre ser considerada como resultante da interferência de um grupo de ondas harmônicas elementares. Como demonstrado por de Broglie (Tese, Paris, 1924), a velocidade de translação dos indivíduos associados às ondas pode ser representada justamente pela chamada velocidade de grupo. Denotemos uma onda elementar plana por

onde A e δ são constantes que determinam, respectivamente _, a amplitude e a fase. A quantidade ν = 1/τ é a frequência, σx , σy _, σz _são os números de onda na direção dos eixos coordenados, que podem ser considerados como componentes vetoriais do número de onda σ = l/ λ na direção de propagação. Enquanto a velocidade de onda ou de fase é dada por ν / σ , a velocidade de grupo é definida por dν / dσ . Agora, de acordo com a teoria da relatividade, temos para uma partícula com velocidade v :

onde c representa a velocidade da luz. Portanto, pela equação (1), a velocidade de fase é c² ^/ v e a velocidade de grupo é v . O fato de a primeira ser, em geral, maior que a velocidade da luz enfatiza o caráter simbólico dessas considerações. Ao mesmo tempo, a possibilidade de identificar a velocidade da partícula com a velocidade de grupo indica o campo de aplicação das representações espaço-temporais na teoria quântica.

Aqui aparece o caráter complementar da descrição, uma vez que o uso de grupos de ondas é necessariamente acompanhado por uma falta de precisão na definição de período e comprimento de onda e, portanto, também na definição da energia e momento correspondentes, conforme dado pela relação (1).

Em termos rigorosos, um campo de ondas limitado só pode ser obtido pela superposição de uma variedade de ondas elementares correspondentes a todos os valores de ν e σ _x , σ _y , σ _z . Mas a ordem de grandeza da diferença média entre esses valores para duas ondas elementares no grupo é dada, no caso mais favorável, pela condição

onde Δt, Δx, Δy, Δz denotam a extensão do campo de ondas no tempo e nas direções do espaço correspondentes aos eixos coordenados. Essas relações — bem conhecidas da teoria de instrumentos ópticos, especialmente da investigação de Rayleigh sobre o poder de resolução de aparelhos espectrais — expressam a condição de que os trens de ondas se extinguem mutuamente por interferência na fronteira espaço-temporal do campo de ondas. Elas também podem ser consideradas como significando que o grupo como um todo não possui fase no mesmo sentido que as ondas elementares. Da equação (1), encontramos o seguinte:

como determinar a maior precisão possível na definição da energia e do momento dos indivíduos associados ao campo de ondas. Em geral, as condições para atribuir um valor de energia e um valor de momento a um campo de ondas por meio da fórmula (1) são muito menos favoráveis. Mesmo que a composição do grupo de ondas corresponda inicialmente às relações (2), com o tempo estará sujeita a mudanças que a tornarão cada vez menos adequada para representar um indivíduo. É essa circunstância que dá origem ao caráter paradoxal do problema da natureza da luz e das partículas materiais. A limitação dos conceitos clássicos expressos pela relação (2) está, além disso, intimamente ligada à validade limitada da mecânica clássica, que na teoria ondulatória da matéria corresponde à óptica geométrica, na qual a propagação de ondas é representada por 'raios'. Somente nesse limite a energia e o momento podem ser definidos sem ambiguidade com base em representações espaço-temporais. Para uma definição geral desses conceitos, estamos confinados às leis de conservação, cuja formulação racional tem sido um problema fundamental para os métodos simbólicos que serão mencionados adiante.

Na linguagem da teoria da relatividade, o conteúdo das relações (2) pode ser resumido na afirmação de que, de acordo com a teoria quântica, existe uma relação recíproca geral entre a máxima nitidez da definição dos vetores espaço-tempo e energia-momento associados aos indivíduos.

Essa circunstância pode ser considerada uma simples expressão simbólica da natureza complementar da descrição do espaço-tempo e das afirmações de causalidade. Ao mesmo tempo, porém, o caráter geral dessa relação permite, até certo ponto, conciliar as leis de conservação com a coordenação espaço-temporal das observações, sendo a ideia de uma coincidência de eventos bem definidos em um ponto do espaço-tempo substituída pela de indivíduos imprecisamente definidos dentro de regiões espaço-temporais finitas.

Essa circunstância nos permite evitar os paradoxos bem conhecidos que surgem ao tentar descrever a dispersão da radiação por partículas elétricas livres, bem como a colisão de duas dessas partículas.

De acordo com os conceitos clássicos, a descrição do espalhamento requer uma extensão finita da radiação no espaço e no tempo, enquanto na mudança do movimento do elétron exigida pelo postulado quântico, aparentemente lida-se com um efeito instantâneo que ocorre em um ponto definido no espaço. Assim como na dispersão da radiação, porém, é impossível definir o momento e a energia de um elétron sem considerar uma região espaço-temporal finita. Além disso, a aplicação das leis de conservação ao processo implica que a precisão da definição do vetor energia-momento é a mesma para a radiação e para o elétron. Consequentemente, de acordo com a relação (2), as regiões espaço-temporais associadas podem ter o mesmo tamanho para ambos os indivíduos em interação.

Uma observação semelhante aplica-se à colisão entre duas partículas materiais, embora a importância do postulado quântico para esse fenômeno tenha sido desconsiderada antes que a necessidade do conceito ondulatório fosse percebida. Aqui, esse postulado representa, de fato, a ideia da individualidade das partículas que, transcendendo a descrição espaço-temporal, atende à reivindicação de causalidade. Enquanto o conteúdo físico da ideia quântica de luz está totalmente ligado aos teoremas de conservação de energia e momento, no caso das partículas elétricas, a carga elétrica precisa ser levada em consideração nesse contexto. É quase desnecessário mencionar que, para uma descrição mais detalhada da interação entre indivíduos, não podemos nos restringir aos fatos expressos pelas fórmulas (1) e (2), mas devemos recorrer a um procedimento que nos permita levar em conta o acoplamento dos indivíduos, que caracteriza a interação em questão, onde a importância da carga elétrica se torna evidente. Como veremos, tal procedimento exige um afastamento ainda maior da visualização no sentido usual.

3. MEDIÇÕES NA TEORIA QUÂNTICA.

Em suas investigações já mencionadas sobre a consistência dos métodos teóricos quânticos, Heisenberg apresentou a relação (2) como uma expressão para a precisão máxima com que as coordenadas espaço-temporais e os componentes de momento-energia de uma partícula podem ser medidos simultaneamente. Sua visão baseava-se na seguinte consideração: por um lado, as coordenadas de uma partícula podem ser medidas com qualquer grau de precisão desejado usando, por exemplo, um instrumento óptico, desde que se utilize radiação de comprimento de onda suficientemente curto para a iluminação. De acordo com a teoria quântica, entretanto, o espalhamento da radiação pelo objeto está sempre associado a uma variação finita no momento, que é tanto maior quanto menor for o comprimento de onda da radiação utilizada. O momento de uma partícula, por outro lado, pode ser determinado com qualquer grau de precisão desejado medindo-se, por exemplo, o efeito Doppler da radiação espalhada, desde que o comprimento de onda da radiação seja tão grande que o efeito de recuo possa ser desprezado, mas, nesse caso, a determinação das coordenadas espaciais da partícula torna-se correspondentemente menos precisa.

A essência desta consideração reside na inevitabilidade do postulado quântico na estimativa das possibilidades de medição. Uma investigação mais aprofundada das possibilidades de definição ainda se mostra necessária para evidenciar o caráter complementar geral da descrição. De fato, uma mudança descontínua de energia e momento durante a observação não nos impediria de atribuir valores precisos às coordenadas espaço-temporais, bem como às componentes de energia e momento antes e depois do processo. A incerteza recíproca que sempre afeta os valores dessas grandezas é, como ficará claro pela análise precedente, essencialmente uma consequência da precisão limitada com que as mudanças de energia e momento podem ser definidas, quando os campos de onda utilizados para a determinação das coordenadas espaço-temporais da partícula são suficientemente pequenos.

Ao utilizar um instrumento óptico para determinar a posição, é necessário lembrar que a formação da imagem sempre requer um feixe de luz convergente. Denotando por λ o comprimento de onda da radiação utilizada e por ε a chamada abertura numérica, ou seja, o seno da metade do ângulo de convergência, o poder de resolução de um microscópio é dado pela conhecida expressão λ / 2ε . Mesmo que o objeto seja iluminado por luz paralela, de modo que o momento h / λ do quantum de luz incidente seja conhecido tanto em magnitude quanto em direção, o valor finito da abertura impedirá o conhecimento exato do recuo que acompanha o espalhamento. Além disso, mesmo que o momento da partícula fosse conhecido com precisão antes do processo de espalhamento, nosso conhecimento da componente do momento paralela ao plano focal após a observação seria afetado por uma incerteza equivalente a 2εh / λ . O produto das menores imprecisões com que a coordenada posicional e a componente do momento em uma direção definida podem ser determinadas é, portanto, dado pela fórmula (2). Poder-se-ia esperar que, ao estimar a precisão da determinação da posição, não apenas a convergência, mas também o comprimento do trem de ondas devesse ser levado em consideração, visto que a partícula poderia mudar de posição durante o tempo finito de iluminação. Contudo, devido ao fato de que o conhecimento exato do comprimento de onda é irrelevante para a estimativa acima, percebe-se que, para qualquer valor da abertura, o trem de ondas pode sempre ser considerado tão curto que uma mudança de posição da partícula durante o tempo de observação pode ser negligenciada em comparação com a falta de nitidez inerente à determinação da posição devido ao poder de resolução finito do microscópio.

Na medição do momento linear com o auxílio do efeito Doppler — levando-se em consideração o efeito Compton — utiliza-se um trem de ondas paralelo. Para a precisão com que se mede a variação do comprimento de onda da radiação espalhada, a extensão do trem de ondas na direção de propagação é essencial. Se assumirmos que as direções da radiação incidente e espalhada são paralelas e opostas, respectivamente, à direção da coordenada de posição e à componente do momento linear a ser medida, então c λ/ 2l pode ser considerado uma medida da precisão na determinação da velocidade, onde l denota o comprimento do trem de ondas. Por simplicidade, consideramos aqui a velocidade da luz como muito grande em comparação com a velocidade da partícula. Se m representa a massa da partícula, então a incerteza associada ao valor do momento linear após a observação é cmλ/ 2l . Nesse caso, a magnitude do recuo, 2h / λ , está suficientemente bem definida para não gerar uma incerteza apreciável no valor do momento linear da partícula após a observação. De fato, a teoria geral do efeito Compton nos permite calcular as componentes do momento na direção da radiação antes e depois do recuo, a partir dos comprimentos de onda da radiação incidente e espalhada. Mesmo que as coordenadas posicionais da partícula fossem conhecidas com precisão inicialmente, nosso conhecimento da posição após a observação ainda seria afetado por uma incerteza. De fato, devido à impossibilidade de atribuir um instante definido ao recuo, conhecemos a velocidade média na direção da observação durante o processo de espalhamento apenas com uma precisão de 2h/λ . A incerteza na posição após a observação é, portanto, 2hl/mcλ.Aqui também, o produto das imprecisões na medição da posição e do momento é dado pela fórmula geral (2). Assim como no caso da determinação da posição, o tempo do processo de observação para a determinação do momento pode ser tão curto quanto se desejar, desde que o comprimento de onda da radiação utilizada seja suficientemente pequeno. O fato de o recuo aumentar, então, não afeta, como vimos, a precisão da medição. Deve-se mencionar ainda que, ao nos referirmos à velocidade de uma partícula, como fizemos repetidamente aqui, o objetivo foi apenas obter uma conexão com a descrição espaço-temporal ordinária, conveniente neste contexto. Como já se depreende das considerações de de Broglie mencionadas acima, o conceito de velocidade deve sempre ser tratado com cautela na teoria quântica. Veremos também que uma definição inequívoca desse conceito é excluída pelo postulado quântico. Isso deve ser lembrado, em particular, ao comparar os resultados de observações sucessivas. De fato, a posição de um indivíduo em dois momentos dados pode ser medida com qualquer grau de precisão desejado; Mas se, a partir dessas medições, calculássemos a velocidade do indivíduo da maneira usual, seria preciso perceber claramente que estaríamos lidando com uma abstração, da qual não se pode obter nenhuma informação inequívoca sobre o comportamento anterior ou futuro do indivíduo.

De acordo com as considerações acima sobre as possibilidades de definição das propriedades dos indivíduos, obviamente não fará diferença na discussão da precisão das medições de posição e momento de uma partícula se forem consideradas colisões com outras partículas materiais em vez da dispersão da radiação. Em ambos os casos, vemos que a incerteza em questão afeta igualmente a descrição do instrumento de medição e do objeto. De fato, essa incerteza não pode ser evitada na descrição do comportamento dos indivíduos em relação a um sistema de coordenadas fixado da maneira usual por meio de corpos sólidos e relógios imutáveis. Os dispositivos experimentais — abertura e fechamento de aberturas, etc. — permitem apenas conclusões sobre a extensão espaço-temporal dos campos de onda associados.

Ao rastrear as observações até nossas sensações, é preciso considerar novamente o postulado quântico em relação à percepção do agente da observação, seja por meio de sua ação direta sobre o olho ou por meio de auxiliares adequados, como placas fotográficas, nuvens de Wilson, etc. É fácil perceber, no entanto, que o elemento estatístico adicional resultante não influenciará a incerteza na descrição do objeto. Pode-se até conjecturar que a arbitrariedade no que é considerado objeto e no que é considerado agente da observação abriria a possibilidade de evitar completamente essa incerteza. Em relação à medição da posição de uma partícula, poderíamos, por exemplo, perguntar se o momento transmitido pela dispersão não poderia ser determinado pelo teorema da conservação a partir da medição da variação do momento do microscópio — incluindo a fonte de luz e a placa fotográfica — durante o processo de observação.

Uma investigação mais aprofundada mostra, no entanto, que tal medição é impossível, se ao mesmo tempo se quiser conhecer a posição do microscópio com precisão suficiente. De fato, decorre das experiências que encontraram expressão na teoria ondulatória da matéria, que a posição do centro de gravidade de um corpo e seu momento total só podem ser definidos dentro dos limites de precisão recíproca dados pela relação (2).

Estritamente falando, a ideia de observação pertence à descrição causal do espaço-tempo. Devido ao caráter geral da relação (2), contudo, essa ideia pode ser consistentemente utilizada também na teoria quântica, desde que se leve em conta a incerteza expressa por meio dessa relação. Como observou Heisenberg, pode-se obter uma ilustração instrutiva para a descrição teórica quântica de fenômenos atômicos (microscópicos) comparando essa incerteza com a incerteza, devida a medições imperfeitas, inerente a qualquer observação, conforme considerada na descrição ordinária de fenômenos naturais. Ele observa, nessa ocasião, que mesmo no caso de fenômenos macroscópicos podemos dizer, em certo sentido, que eles são criados por observações repetidas. Não se deve esquecer, porém, que nas teorias clássicas qualquer observação subsequente permite a previsão de eventos futuros com precisão cada vez maior, pois aprimora nosso conhecimento do estado inicial do sistema. De acordo com a teoria quântica, justamente a impossibilidade de negligenciar a interação com o agente de medição significa que cada observação introduz um novo elemento incontrolável.

De fato, das considerações acima decorre que a medição das coordenadas posicionais de uma partícula não apenas acarreta uma mudança finita nas variáveis dinâmicas, mas também que a fixação de sua posição implica uma ruptura completa na descrição causal de seu comportamento dinâmico, enquanto a determinação de seu momento sempre implica uma lacuna no conhecimento de sua propagação espacial. Justamente essa situação evidencia de forma marcante o caráter complementar da descrição dos fenômenos atômicos, que surge como consequência inevitável do contraste entre o postulado quântico e a distinção entre objeto e agente da medição, inerente à nossa própria concepção de observação.

4. PRINCÍPIO DA CORRESPONDÊNCIA E TEORIA DAS MATRIZES.

Até agora, consideramos apenas certas características gerais do problema quântico. A situação implica, contudo, que a ênfase principal deve ser colocada na formulação das leis que regem a interação entre os objetos que simbolizamos pelas abstrações de partículas isoladas e radiação. Pontos de partida para essa formulação são apresentados, em primeiro lugar, pelo problema da constituição atômica. Como é bem sabido, foi possível, por meio de um uso elementar de conceitos clássicos e em consonância com o postulado quântico, elucidar aspectos essenciais da experiência. Por exemplo, os experimentos relativos à excitação de espectros por impactos eletrônicos e por radiação são adequadamente explicados sob a suposição de estados estacionários discretos e processos de transição individuais. Isso se deve principalmente à circunstância de que, nessas questões, não é necessária uma descrição mais detalhada do comportamento espaço-temporal dos processos.

Aqui, o contraste com a descrição usual se torna notável na circunstância de que linhas espectrais, que na visão clássica seriam atribuídas ao mesmo estado do átomo, corresponderão, segundo o postulado quântico, a processos de transição distintos, entre os quais o átomo excitado pode escolher. Apesar desse contraste, contudo, uma conexão formal com as ideias clássicas pôde ser obtida no limite em que a diferença relativa nas propriedades de estados estacionários vizinhos se anula assintoticamente e em que, em aplicações estatísticas, as descontinuidades podem ser desconsideradas. Por meio dessa conexão, foi possível, em grande medida, interpretar as regularidades dos espectros com base em nossas ideias sobre a estrutura do átomo.

O objetivo de considerar a teoria quântica como uma generalização racional das teorias clássicas levou à formulação do chamado princípio da correspondência. A utilização desse princípio para a interpretação de resultados espectroscópicos baseou-se em uma aplicação simbólica da eletrodinâmica clássica, na qual cada processo de transição individual foi associado a uma harmônica no movimento das partículas atômicas, esperada segundo a mecânica ordinária. Exceto no limite mencionado, em que a diferença relativa entre estados estacionários adjacentes pode ser negligenciada, tal aplicação fragmentária das teorias clássicas só poderia, em certos casos, levar a uma descrição estritamente quantitativa dos fenômenos. Em especial, deve-se mencionar aqui a conexão desenvolvida por Ladenburg e Kramers entre o tratamento clássico da dispersão e as leis estatísticas que regem os processos de transição radiativa formuladas por Einstein. Embora tenha sido justamente o tratamento da dispersão por Kramers que forneceu importantes indícios para o desenvolvimento racional das considerações de correspondência, foi somente por meio dos métodos teóricos quânticos criados nos últimos anos que os objetivos gerais estabelecidos no princípio mencionado obtiveram uma formulação adequada.

Como se sabe, o novo desenvolvimento teve início em um artigo fundamental de Heisenberg, onde ele conseguiu se emancipar completamente do conceito clássico de movimento, substituindo desde o princípio as grandezas cinemáticas e mecânicas comuns por símbolos que se referem diretamente aos processos individuais exigidos pelo postulado quântico.

Isso foi conseguido substituindo o desenvolvimento de Fourier de uma grandeza mecânica clássica por um esquema matricial, cujos elementos simbolizam vibrações puramente harmônicas e estão associados às possíveis transições entre estados estacionários. Ao exigir que as frequências atribuídas aos elementos sempre obedeçam ao princípio de combinação para linhas espectrais, Heisenberg pôde introduzir regras simples de cálculo para os símbolos, que permitem uma transcrição teórica quântica direta das equações fundamentais da mecânica clássica. Esse ataque engenhoso ao problema dinâmico da teoria atômica provou ser, desde o início, um método extremamente poderoso e fértil para interpretar quantitativamente os resultados experimentais. Através do trabalho de Born e Jordan, bem como de Dirac, a teoria recebeu uma formulação que pode competir com a mecânica clássica em termos de generalidade e consistência. Em especial, o elemento característico da teoria quântica, a constante de Planck, aparece explicitamente apenas nos algoritmos aos quais os símbolos, as chamadas matrizes, são submetidos. Na verdade, as matrizes, que representam variáveis canonicamente conjugadas no sentido das equações hamiltonianas, não obedecem à lei comutativa da multiplicação, mas duas dessas quantidades, q e p , devem satisfazer a regra de troca.

De fato, essa relação de troca expressa de forma notável o caráter simbólico da formulação matricial da teoria quântica. A teoria matricial tem sido frequentemente chamada de cálculo com quantidades diretamente observáveis. Deve-se lembrar, no entanto, que o procedimento descrito se limita apenas aos problemas em que, ao aplicar o postulado quântico, a descrição espaço-temporal pode ser amplamente desconsiderada, e a questão da observação em seu sentido próprio, portanto, relegada a um segundo plano.

Ao aprofundar a correspondência entre as leis quânticas e a mecânica clássica, a ênfase dada ao caráter estatístico da descrição teórica quântica, introduzida pelo postulado quântico, tem sido fundamental. Nesse sentido, a generalização do método simbólico feita por Dirac e Jordan representou um grande avanço, possibilitando a operação com matrizes que não são organizadas de acordo com os estados estacionários, mas nas quais os valores possíveis de qualquer conjunto de variáveis podem aparecer como índices dos elementos da matriz. Em analogia à interpretação considerada na forma original da teoria dos 'elementos diagonais' associados apenas a um único estado estacionário, como médias temporais da grandeza a ser representada, a teoria geral de transformações de matrizes permite a representação de tais médias de uma grandeza mecânica, em cujo cálculo qualquer conjunto de variáveis que caracterizam o 'estado' do sistema possui valores definidos, enquanto as variáveis canonicamente conjugadas podem assumir todos os valores possíveis. Com base no procedimento desenvolvido por esses autores e em estreita conexão com as ideias de Born e Pauli, Heisenberg, no artigo já citado, tentou uma análise mais detalhada do conteúdo físico da teoria quântica, especialmente em vista do caráter aparentemente paradoxal da relação de troca (3). Nesse contexto, ele formulou a relação

como a expressão geral para a máxima precisão com que duas variáveis canonicamente conjugadas podem ser observadas simultaneamente. Dessa forma, Heisenberg conseguiu elucidar muitos paradoxos que surgem na aplicação do postulado quântico e, em grande medida, demonstrar a consistência do método simbólico. Em relação à natureza complementar da descrição teórica quântica, devemos, como já mencionado, manter sempre em mente as possibilidades de definição, bem como de observação. Para a discussão dessa questão, o método da mecânica ondulatória desenvolvido por Schrödinger, como veremos, mostrou-se de grande auxílio. Ele permite uma aplicação geral do princípio da superposição também no problema da interação, oferecendo, assim, uma conexão imediata com as considerações acima referentes à radiação e às partículas livres. A seguir, retornaremos à relação da mecânica ondulatória com a formulação geral das leis quânticas por meio da teoria da transformação de matrizes.

5. MECÂNICA ONDULATÓRIA E POSTULADOS QUÂNTICOS.

Já em suas primeiras considerações sobre a teoria ondulatória das partículas materiais, de Broglie apontou que os estados estacionários de um átomo podem ser visualizados como um efeito de interferência da onda de fase associada a um elétron ligado. É verdade que esse ponto de vista, a princípio, não levou, em termos de resultados quantitativos, além dos métodos anteriores da teoria quântica, para cujo desenvolvimento Sommerfeld contribuiu tão essencialmente. Schrödinger, no entanto, conseguiu desenvolver um método ondulatório que abriu novos horizontes e se mostrou decisivo para o grande progresso da física atômica nos últimos anos.

De fato, descobriu-se que as vibrações próprias da equação de onda de Schrödinger fornecem uma representação dos estados estacionários de um átomo que atende a todos os requisitos. A energia de cada estado está relacionada com o período de vibração correspondente, de acordo com a relação quântica geral (1). Além disso, o número de nós nas várias vibrações características fornece uma interpretação simples para o conceito de número quântico, que já era conhecido por métodos mais antigos, mas que a princípio não parecia aparecer na formulação matricial. Ademais, Schrödinger pôde associar às soluções da equação de onda uma distribuição contínua de carga e corrente que, se aplicada a uma vibração característica, representa as propriedades eletrostáticas e magnéticas de um átomo no estado estacionário correspondente. Similarmente, a superposição de duas soluções características corresponde a uma distribuição vibratória contínua de carga elétrica que, na eletrodinâmica clássica, daria origem à emissão de radiação, ilustrando de forma instrutiva as consequências do postulado quântico e o requisito de correspondência em relação ao processo de transição entre dois estados estacionários formulado na mecânica matricial.
Outra aplicação do método de Schrödinger, importante para o desenvolvimento posterior, foi feita por Born em sua investigação do problema das colisões entre átomos e partículas elétricas livres. Nesse contexto, ele conseguiu obter uma interpretação estatística das funções de onda, permitindo o cálculo da probabilidade dos processos de transição individuais exigidos pelo postulado quântico. Isso inclui uma formulação ondulatória do princípio adiabático de Ehrenfest, cuja utilidade se mostra notavelmente nas promissoras investigações de Hund sobre o problema da formação de moléculas.

À luz desses resultados, Schrödinger expressou a esperança de que o desenvolvimento da teoria ondulatória eventualmente removeria o elemento irracional expresso pelo postulado quântico e abriria caminho para uma descrição completa dos fenômenos atômicos, nos moldes das teorias clássicas. Em apoio a essa visão, Schrödinger, em um artigo recente ( Ann. d. Phys. , 83, p. 956; 1927), enfatiza o fato de que a troca descontínua de energia entre átomos, exigida pelo postulado quântico, do ponto de vista da teoria ondulatória, é substituída por um simples fenômeno de ressonância. Em particular, a ideia de estados estacionários individuais seria uma ilusão e sua aplicabilidade apenas uma ilustração da ressonância mencionada. Deve-se ter em mente, contudo, que justamente no problema da ressonância mencionado estamos lidando com um sistema fechado que, segundo a visão aqui apresentada, não é acessível à observação. De fato, a mecânica ondulatória, assim como a teoria matricial sob essa perspectiva, representa uma transcrição simbólica do problema do movimento da mecânica clássica, adaptada às exigências da teoria quântica e que só pode ser interpretada por meio do uso explícito do postulado quântico. Aliás, as duas formulações do problema da interação podem ser consideradas complementares, da mesma forma que a ideia de onda e partícula na descrição de indivíduos livres. O aparente contraste na utilização do conceito de energia nas duas teorias está justamente relacionado a essa diferença no ponto de partida.

As dificuldades fundamentais que se opõem a uma descrição espaço-temporal de um sistema de partículas em interação surgem imediatamente da inevitabilidade do princípio da superposição na descrição do comportamento de partículas individuais. Já para uma partícula livre, o conhecimento de energia e momento exclui, como vimos, o conhecimento exato de suas coordenadas espaço-temporais. Isso implica que uma utilização imediata do conceito de energia em conexão com a ideia clássica de energia potencial do sistema é excluída. Na equação de onda de Schrödinger, essas dificuldades são evitadas pela substituição da expressão clássica do Hamiltoniano por um operador diferencial por meio da relação

onde p denota uma componente generalizada do momento e q a variável canonicamente conjugada. Aqui, o valor negativo da energia é considerado conjugado ao tempo. Até agora, na equação de onda, o tempo e o espaço, assim como a energia e o momento, são utilizados de forma puramente formal.

O caráter simbólico do método de Schrödinger se manifesta não apenas na sua simplicidade, similar à da teoria das matrizes, que depende essencialmente do uso de quantidades aritméticas imaginárias. Mas, sobretudo, não há como questionar uma conexão imediata com nossas concepções ordinárias, pois o problema "geométrico" representado pela equação de onda está associado ao chamado espaço de coordenadas, cujo número de dimensões é igual ao número de graus de liberdade do sistema e, portanto, em geral, maior que o número de dimensões do espaço ordinário. Além disso, a formulação do problema de interação de Schrödinger, assim como a formulação oferecida pela teoria das matrizes, implica a negligência da velocidade finita de propagação das forças, conforme afirmado pela teoria da relatividade.

Em geral, seria pouco justificável, no caso do problema da interação, exigir uma visualização por meio de representações espaço-temporais comuns. De fato, todo o nosso conhecimento sobre as propriedades internas dos átomos deriva de experimentos sobre sua radiação ou reações de colisão, de modo que a interpretação dos fatos experimentais depende, em última instância, das abstrações da radiação no espaço livre e das partículas materiais livres. Portanto, toda a nossa visão espaço-temporal dos fenômenos físicos, bem como a definição de energia e momento, depende fundamentalmente dessas abstrações. Ao avaliar as aplicações dessas ideias auxiliares, devemos exigir apenas consistência interna, na qual deve-se atentar especialmente para as possibilidades de definição e observação.

Nas vibrações características da equação de onda de Schrödinger, temos, como mencionado, uma representação adequada dos estados estacionários de um átomo, permitindo uma definição inequívoca da energia do sistema por meio da relação quântica geral (1). Isso implica, no entanto, que na interpretação das observações, uma renúncia fundamental à descrição espaço-temporal é inevitável. De fato, a aplicação consistente do conceito de estados estacionários exclui, como veremos, qualquer especificação sobre o comportamento das partículas individuais no átomo. Em problemas onde uma descrição desse comportamento é essencial, somos obrigados a usar a solução geral da equação de onda, que é obtida pela superposição de soluções características. Encontramos aqui uma complementaridade das possibilidades de definição bastante análoga à que consideramos anteriormente em relação às propriedades da luz e das partículas materiais livres. Assim, enquanto a definição de energia e momento de indivíduos está ligada à ideia de uma onda elementar harmônica, toda característica espaço-temporal da descrição dos fenômenos é, como vimos, baseada na consideração das interferências que ocorrem dentro de um grupo dessas ondas elementares. Também no presente caso, a concordância entre as possibilidades de observação e as de definição pode ser demonstrada diretamente.

De acordo com o postulado quântico, qualquer observação sobre o comportamento do elétron no átomo será acompanhada por uma mudança no estado do átomo. Como salientado por Heisenberg, essa mudança, no caso de átomos em estados estacionários de baixo número quântico, consistirá, em geral, na ejeção do elétron do átomo. Uma descrição da 'órbita' do elétron no átomo com o auxílio de observações subsequentes é, portanto, impossível nesse caso. Isso se relaciona com a circunstância de que, a partir de vibrações características com apenas alguns nós, não se pode construir pacotes de ondas que representem, mesmo que aproximadamente, o 'movimento' de uma partícula. A natureza complementar da descrição, contudo, manifesta-se particularmente no fato de que o uso de observações sobre o comportamento das partículas no átomo se baseia na possibilidade de negligenciar, durante o processo de observação, a interação entre as partículas, considerando-as, assim, como livres. Isso exige, no entanto, que a duração do processo seja curta em comparação com os períodos naturais do átomo, o que significa que a incerteza no conhecimento da energia transferida no processo é grande em comparação com as diferenças de energia entre estados estacionários vizinhos.

Ao avaliar as possibilidades de observação, deve-se, em geral, ter em mente que as soluções da mecânica ondulatória só podem ser visualizadas na medida em que podem ser descritas com o auxílio do conceito de partículas livres. Aqui, a diferença entre a mecânica clássica e o tratamento teórico quântico do problema da interação torna-se mais evidente. Na primeira, tal restrição é desnecessária, porque as 'partículas' são dotadas de uma 'realidade' imediata, independentemente de serem livres ou ligadas. Essa situação é particularmente importante em relação à utilização consistente da densidade elétrica de Schrödinger como medida da probabilidade de elétrons estarem presentes em determinadas regiões espaciais do átomo.

Lembrando a restrição mencionada, essa interpretação se mostra uma consequência simples da suposição de que a probabilidade da presença de um elétron livre é expressa pela densidade elétrica associada ao campo de ondas, de forma semelhante à maneira como a probabilidade da presença de um quantum de luz é dada pela densidade de energia da radiação.

Como já mencionado, os meios para uma utilização geral e consistente dos conceitos clássicos na teoria quântica foram criados através da teoria de transformação de Dirac e Jordan, com o auxílio da qual Heisenberg formulou sua relação geral de incerteza (4). Nessa teoria, a equação de onda de Schrödinger também obteve uma aplicação instrutiva. De fato, as soluções características dessa equação aparecem como funções auxiliares que definem uma transformação de matrizes com índices representando os valores de energia do sistema para outras matrizes, cujos índices são os possíveis valores das coordenadas espaciais. É também interessante, a esse respeito, mencionar que Jordan e Klein ( Zeitsch. f. Phys. , 45, 751; 1927) chegaram recentemente à formulação do problema da interação expresso pela equação de onda de Schrödinger, tomando como ponto de partida a representação ondulatória de partículas individuais e aplicando um método simbólico intimamente relacionado ao tratamento profundo do problema da radiação desenvolvido por Dirac do ponto de vista da teoria matricial, ao qual retornaremos adiante.

6. A REALIDADE DOS ESTADOS ESTACIONÁRIOS.

Na concepção de estados estacionários, como mencionado, estamos lidando com uma aplicação característica do postulado quântico. Por sua própria natureza, essa concepção implica uma renúncia completa quanto à descrição temporal. Do ponto de vista aqui adotado, essa renúncia constitui a condição necessária para uma definição inequívoca da energia do átomo. Além disso, a concepção de um estado estacionário envolve, estritamente falando, a exclusão de todas as interações com indivíduos que não pertencem ao sistema. O fato de tal sistema fechado estar associado a um valor de energia específico pode ser considerado uma expressão imediata da afirmação de causalidade contida no teorema da conservação da energia. Essa circunstância justifica a suposição da estabilidade supramecânica dos estados estacionários, segundo a qual o átomo, antes e depois de uma influência externa, sempre se encontrará em um estado bem definido, e que constitui a base para o uso do postulado quântico em problemas relativos à estrutura atômica.

Ao avaliar os paradoxos bem conhecidos que essa suposição acarreta para a descrição de reações de colisão e radiação, é essencial considerar as limitações das possibilidades de definição dos indivíduos livres reagentes, expressas pela relação (2). De fato, para que a definição da energia dos indivíduos reagentes seja precisa a ponto de nos permitir falar em conservação de energia durante a reação, é necessário, segundo essa relação, associar à reação um intervalo de tempo longo em comparação com o período de vibração associado ao processo de transição, e relacionado com a diferença de energia entre os estados estacionários, conforme a relação (1). Isso deve ser lembrado particularmente ao se considerar a passagem de partículas em movimento rápido através de um átomo. De acordo com a cinemática ordinária, a duração efetiva de tal passagem seria muito pequena em comparação com os períodos naturais do átomo, e parecia impossível conciliar o princípio da conservação de energia com a suposição da estabilidade dos estados estacionários (cf. Zeits. f. Phys. , 34 , 142; 1925). Na representação ondulatória, porém, o tempo de reação está imediatamente ligado à precisão do conhecimento da energia da partícula colidente e, portanto, jamais poderá haver a possibilidade de contradição com a lei da conservação. Em relação à discussão de paradoxos do tipo mencionado, Campbell ( Phil. Mag. , i. 1106; 1926) sugeriu a visão de que a própria concepção de tempo pode ser essencialmente estatística em sua natureza. Da perspectiva aqui apresentada, segundo a qual o fundamento da descrição do espaço-tempo é oferecido pela abstração de indivíduos livres, uma distinção fundamental entre tempo e espaço, contudo, pareceria ser excluída pela exigência da relatividade. A posição singular do tempo em problemas relacionados a estados estacionários deve-se, como vimos, à natureza especial de tais problemas.

A aplicação do conceito de estados estacionários exige que, em qualquer observação, seja por meio de reações de colisão ou radiação, que permita distinguir entre diferentes estados estacionários, possamos desconsiderar o histórico prévio do átomo. O fato de os métodos da teoria quântica simbólica atribuírem uma fase particular a cada estado estacionário, cujo valor depende do histórico prévio do átomo, pareceria, à primeira vista, contradizer a própria ideia de estados estacionários. Contudo, assim que nos deparamos com um problema temporal, a consideração de um sistema estritamente fechado é excluída. O uso de vibrações harmônicas próprias na interpretação das observações significa, portanto, apenas uma idealização adequada que, em uma discussão mais rigorosa, deve sempre ser substituída por um grupo de vibrações harmônicas, distribuídas em um intervalo de frequência finito. Ora, como já mencionado, é uma consequência geral do princípio da superposição que não faz sentido atribuir um valor de fase ao grupo como um todo, da mesma forma que se pode fazer para cada onda elementar que o constitui.

Essa inobservabilidade da fase, bem conhecida da teoria dos instrumentos ópticos, é apresentada de maneira particularmente simples em uma discussão do experimento de Stern-Gerlach, tão importante para a investigação das propriedades de átomos individuais. Como apontado por Heisenberg, átomos com diferentes orientações no campo só podem ser separados se o desvio do feixe for maior que a difração na fenda das ondas de de Broglie que representam o movimento translacional dos átomos. Essa condição significa, como um cálculo simples demonstra, que o produto do tempo de passagem do átomo pelo campo e a incerteza, devido à largura finita do feixe, de sua energia no campo é pelo menos igual ao quantum de ação. Esse resultado foi considerado por Heisenberg como um suporte para a relação (2) no que diz respeito às incertezas recíprocas dos valores de energia e tempo. Parece, no entanto, que aqui não estamos lidando simplesmente com uma medição da energia do átomo em um dado instante. Mas, como o período das vibrações próprias do átomo no campo está relacionado com a energia total pela relação (1), percebemos que a condição de separabilidade mencionada significa apenas a perda de fase. Essa circunstância também elimina as aparentes contradições que surgem em certos problemas relativos à coerência da radiação de ressonância, que têm sido frequentemente discutidos e também foram considerados por Heisenberg.

Considerar um átomo como um sistema fechado, como fizemos acima, significa negligenciar a emissão espontânea de radiação que, mesmo na ausência de influências externas, impõe um limite superior à vida útil dos estados estacionários. O fato de essa negligência ser justificada em muitas aplicações está relacionado à circunstância de que o acoplamento entre o átomo e o campo de radiação, que se espera na eletrodinâmica clássica, é em geral muito pequeno em comparação com o acoplamento entre as partículas no átomo. É, de fato, possível, na descrição do estado de um átomo, negligenciar consideravelmente a reação da radiação, desconsiderando assim a imprecisão nos valores de energia relacionados à vida útil dos estados estacionários de acordo com a relação (2) (cf. Proc. Camb. Phil. Soc. , 1924 (Suplemento), ou Zeits. f. Phys., 13, 117; 1923). Essa é a razão pela qual é possível tirar conclusões sobre as propriedades da radiação usando a eletrodinâmica clássica.

O tratamento do problema da radiação pelos novos métodos da teoria quântica visava começar com uma formulação quantitativa dessa consideração de correspondência. Esse foi o ponto de partida das considerações originais de Heisenberg. Cabe mencionar também que uma análise instrutiva do tratamento dos fenômenos de radiação por Schrödinger, do ponto de vista do princípio da correspondência, foi recentemente apresentada por Klein ( Zeits. f. Phys. , 41,707; 1927). Na forma mais rigorosa da teoria desenvolvida por Dirac ( Proc. Roy. Soc., A , vol. 114, p. 243; 1927), o próprio campo de radiação é incluído no sistema fechado em consideração. Assim, tornou-se possível, de forma racional, levar em conta o caráter individual da radiação exigido pela teoria quântica e construir uma teoria da dispersão, na qual a largura final das linhas espectrais é considerada. A renúncia às representações espaço-temporais que caracteriza esse tratamento parece oferecer uma indicação marcante do caráter complementar da teoria quântica. Isso deve ser levado em consideração, em particular, ao avaliar o afastamento radical da descrição causal da Natureza encontrado nos fenômenos de radiação, aos quais nos referimos acima em relação à excitação de espectros.

Tendo em vista a conexão assintótica das propriedades atômicas com a eletrodinâmica clássica, exigida pelo princípio da correspondência, a exclusão recíproca da concepção de estados estacionários e da descrição do comportamento de partículas individuais no átomo poderia ser considerada uma dificuldade. De fato, a conexão em questão significa que, no limite de grandes números quânticos, onde a diferença relativa entre estados estacionários adjacentes se anula assintoticamente, representações mecânicas do movimento eletrônico podem ser racionalmente utilizadas. Deve-se enfatizar, contudo, que essa conexão não pode ser considerada uma transição gradual para a teoria clássica, no sentido de que o postulado quântico perderia sua significância para números quânticos elevados. Ao contrário, as conclusões obtidas a partir do princípio da correspondência com o auxílio de representações clássicas dependem justamente da premissa de que a concepção de estados estacionários e de processos de transição individuais se mantém mesmo nesse limite.

Esta questão oferece um exemplo particularmente instrutivo para a aplicação dos novos métodos. Como demonstrado por Schrödinger ( Naturwiss. , 14, 664; 1926), é possível, no limite mencionado, por superposição de vibrações próprias, construir grupos de ondas pequenos em comparação com o 'tamanho' do átomo, cuja propagação se aproxima indefinidamente da descrição clássica de partículas materiais em movimento, se os números quânticos forem escolhidos suficientemente grandes. Na simplicidade peculiar de um vibrador harmônico simples, ele foi capaz de mostrar que tais grupos de ondas se manterão unidos mesmo por qualquer período de tempo e oscilarão para frente e para trás de maneira correspondente à descrição clássica do movimento. Essa circunstância foi considerada por Schrödinger como um apoio à sua esperança de construir uma teoria ondulatória pura sem recorrer ao postulado quântico. Como enfatizado por Heisenberg, a simplicidade do caso do oscilador, no entanto, é excepcional e intimamente ligada à natureza harmônica do movimento clássico correspondente. Neste exemplo, também não existe possibilidade de uma abordagem assintótica para o problema das partículas livres. Em geral, o grupo de ondas se espalhará gradualmente por toda a região do átomo, e o 'movimento' de um elétron ligado só pode ser acompanhado durante um número de períodos que é da ordem de grandeza dos números quânticos associados às vibrações próprias. Essa questão foi investigada mais detalhadamente em um artigo recente de Darwin ( Proc. Roy. Soc. A , vol. 117, 258; 1927), que contém vários exemplos instrutivos do comportamento dos grupos de ondas. Do ponto de vista da teoria matricial, um tratamento de problemas análogos foi realizado por Kennard ( Zeits. f. Phys. , 47 , 326; 1927).

Aqui, novamente, nos deparamos com o contraste entre o princípio da superposição da teoria ondulatória e a suposição da individualidade das partículas, com a qual já nos preocupamos no caso das partículas livres. Ao mesmo tempo, a conexão assintótica com a teoria clássica, que desconhece a distinção entre partículas livres e ligadas, oferece a possibilidade de uma ilustração particularmente simples das considerações acima referentes à utilização consistente do conceito de estados estacionários. Como vimos, a identificação de um estado estacionário por meio de reações de colisão ou radiação implica uma lacuna na descrição temporal, que é pelo menos da ordem de grandeza dos períodos associados às transições entre estados estacionários. Ora, no limite de altos números quânticos, esses períodos podem ser interpretados como períodos de revolução. Assim, vemos imediatamente que nenhuma conexão causal pode ser obtida entre as observações que levam à fixação de um estado estacionário e as observações anteriores sobre o comportamento das partículas individuais no átomo.

Em resumo, pode-se dizer que os conceitos de estados estacionários e processos de transição individuais, dentro de seus respectivos campos de aplicação, possuem tanta ou tão pouca "realidade" quanto a própria ideia de partículas individuais. Em ambos os casos, estamos lidando com uma exigência de causalidade complementar à descrição do espaço-tempo, cuja aplicação adequada é limitada apenas pelas possibilidades restritas de definição e observação.

7. O PROBLEMA DAS PARTÍCULAS ELEMENTARES.

Considerando-se devidamente a característica complementar exigida pelo postulado quântico, parece, de fato, possível, com o auxílio de métodos simbólicos, construir uma teoria consistente dos fenômenos atômicos, que pode ser considerada uma generalização racional da descrição causal do espaço-tempo da física clássica. Essa visão não significa, contudo, que a teoria clássica do elétron possa ser vista simplesmente como o caso limite de um quantum de ação nulo. De fato, a conexão desta última teoria com a experiência baseia-se em pressupostos que dificilmente podem ser separados do conjunto de problemas da teoria quântica. Uma indicação nessa direção já foi dada pelas conhecidas dificuldades encontradas nas tentativas de explicar a individualidade das partículas elétricas fundamentais com base em princípios mecânicos e eletrodinâmicos gerais. Nesse aspecto, a teoria da relatividade geral da gravitação também não correspondeu às expectativas. Uma solução satisfatória para os problemas abordados parece ser possível apenas por meio de uma transcrição racional, em termos quânticos, da teoria geral de campos, na qual o quantum fundamental de eletricidade encontrou sua posição natural como expressão da característica de individualidade que define a teoria quântica. Recentemente, Klein ( Zeits. f. Phys. , 46 , 188; 1927) chamou a atenção para a possibilidade de conectar esse problema com a representação unificada pentadimensional do eletromagnetismo e da gravitação proposta por Kaluza. De fato, a conservação da eletricidade aparece nessa teoria como um análogo aos teoremas de conservação da energia e do momento. Assim como esses conceitos são complementares à descrição do espaço-tempo, a adequação da descrição quadridimensional ordinária, bem como sua utilização simbólica na teoria quântica, como enfatiza Klein, parece depender essencialmente da circunstância de que, nessa descrição, a eletricidade sempre aparece em unidades bem definidas, sendo a quinta dimensão conjugada, consequentemente, inacessível à observação.

Independentemente desses problemas complexos ainda não resolvidos, a teoria clássica do elétron tem servido, até o presente momento, como guia para o desenvolvimento da descrição por correspondência, em conexão com a ideia inicialmente proposta por Compton de que as partículas elétricas fundamentais, além de sua massa e carga, possuem um momento magnético devido a um momento angular determinado pelo quantum de ação. Essa hipótese, introduzida com notável sucesso por Goudsmit e Uhlenbeck na discussão sobre a origem do efeito Zeeman anômalo, mostrou-se extremamente frutífera em relação aos novos métodos, como demonstrado especialmente por Heisenberg e Jordan. Pode-se afirmar, de fato, que a hipótese do elétron magnético, juntamente com o problema da ressonância elucidado por Heisenberg (Zeits. f. Phys., 41, 239; 1927), que surge na descrição quântico-teórica do comportamento de átomos com vários elétrons, levou a interpretação por correspondência das leis espectrais e do sistema periódico a um certo grau de completude. Os princípios subjacentes a este ataque permitiram inclusive tirar conclusões sobre as propriedades dos núcleos atômicos. Assim, Dennison ( Proc. Roy. Soc., A , vol. 115, 483; 1927), em conexão com as ideias de Heisenberg e Hund, conseguiu recentemente, de maneira muito interessante, demonstrar como a explicação do calor específico do hidrogênio, até então repleta de dificuldades, pode ser harmonizada com a suposição de que o próton possui um momento linear da mesma magnitude que o do elétron. Devido à sua massa maior, contudo, um momento magnético muito menor que o do elétron deve estar associado ao próton.

A insuficiência dos métodos desenvolvidos até o momento para o problema das partículas elementares se manifesta nas questões já mencionadas, pelo fato de não permitirem uma explicação inequívoca da diferença no comportamento das partículas elementares elétricas e dos 'indivíduos' simbolizados pela concepção de quanta de força, expressa no chamado princípio de exclusão formulado por Pauli. De fato, encontramos nesse princípio, tão importante para o problema da estrutura atômica quanto para o recente desenvolvimento das teorias estatísticas, uma entre várias possibilidades, cada uma das quais satisfaz o requisito de correspondência. Além disso, a dificuldade de satisfazer o requisito da relatividade na teoria quântica se manifesta de forma particularmente notável em relação ao problema do elétron magnético. De fato, pareceu impossível integrar as tentativas promissoras de Darwin e Pauli na generalização dos novos métodos para abranger esse problema de forma natural, em conexão com a consideração cinemática da relatividade de Thomas, tão fundamental para a interpretação dos resultados experimentais. Recentemente, porém, Dirac ( Proc. of the Roy. Soc., A , 117, 610; 1928) conseguiu abordar com sucesso o problema do elétron magnético por meio de uma nova e engenhosa extensão do método simbólico, satisfazendo assim a exigência da relatividade sem abandonar a concordância com as evidências espectrais. Nessa abordagem, não apenas as quantidades complexas imaginárias que aparecem nos procedimentos anteriores estão envolvidas, mas suas próprias equações fundamentais contêm quantidades de um grau de complexidade ainda maior, representadas por matrizes.

A própria formulação do argumento da relatividade implica essencialmente a união da coordenação espaço-temporal e a exigência de causalidade que caracteriza as teorias clássicas. Na adaptação da exigência da relatividade ao postulado quântico, devemos, portanto, estar preparados para uma renúncia à visualização no sentido ordinário, indo ainda mais longe do que na formulação das leis quânticas aqui consideradas.

De fato, encontramos-nos aqui no mesmo caminho trilhado por Einstein, adaptando nossos modos de percepção, emprestados das sensações, ao conhecimento gradualmente mais profundo das leis da Natureza. Os obstáculos encontrados nesse caminho originam-se, sobretudo, do fato de que, por assim dizer, cada palavra da linguagem se refere à nossa percepção ordinária. Na teoria quântica, deparamo-nos com essa dificuldade imediatamente na questão da inevitabilidade da característica da irracionalidade que define o postulado quântico. Espero, contudo, que a ideia de complementaridade seja adequada para caracterizar a situação, que guarda uma profunda analogia com a dificuldade geral na formação de ideias humanas, inerente à distinção entre sujeito e objeto.

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