1. A necessidade de uma teoria quântica

A mecânica clássica tem sido continuamente desenvolvida desde a época de Newton e aplicada a uma gama cada vez maior de sistemas dinâmicos, incluindo o campo eletromagnético em interação com a matéria. As ideias subjacentes e as leis que regem sua aplicação formam um esquema simples e elegante, que se poderia pensar que não poderia ser seriamente modificado sem que todas as suas características atraentes fossem comprometidas. No entanto, descobriu-se ser possível estabelecer um novo esquema, chamado mecânica quântica, que é mais adequado para a descrição de fenômenos em escala atômica e que, em alguns aspectos, é mais elegante e satisfatório do que o esquema clássico. Essa possibilidade se deve ao fato de as mudanças que o novo esquema envolve serem de caráter muito profundo e não entrarem em conflito com as características da teoria clássica que a tornam tão atraente, permitindo que todas essas características sejam incorporadas ao novo esquema.

A necessidade de abandonar a mecânica clássica é claramente demonstrada pelos resultados experimentais. Em primeiro lugar, as forças conhecidas na eletrodinâmica clássica são inadequadas para explicar a notável estabilidade de átomos e moléculas, necessária para que os materiais possuam propriedades físicas e químicas definidas. A introdução de novas forças hipotéticas não resolverá o problema, visto que existem princípios gerais da mecânica clássica, válidos para todos os tipos de forças, que levam a resultados em direta discordância com as observações. Por exemplo, se um sistema atômico tiver seu equilíbrio perturbado de alguma forma e for deixado em repouso, ele entrará em oscilação, e essas oscilações serão impressas no campo eletromagnético circundante, de modo que suas frequências poderão ser observadas com um espectroscópio. Ora, quaisquer que sejam as leis da força que governam o equilíbrio, seria de se esperar que as diversas frequências pudessem ser incluídas em um esquema composto por certas frequências fundamentais e seus harmônicos. Isso não se verifica. Em vez disso, observa-se uma nova e inesperada conexão entre as frequências, chamada Lei de Combinação de Ritz da Espectroscopia, segundo a qual todas as frequências podem ser expressas como diferenças entre certos termos, sendo o número de termos muito menor que o número de frequências. Essa lei é bastante ininteligível do ponto de vista clássico.

Uma possível solução para a dificuldade, sem se afastar da mecânica clássica, seria assumir que cada uma das frequências observadas espectroscopicamente corresponde a uma frequência fundamental com seu próprio grau de liberdade, sendo as leis da força tais que as vibrações harmônicas não ocorrem. Tal teoria, contudo, não seria suficiente, mesmo desconsiderando o fato de que não explicaria a Lei da Combinação, pois entraria imediatamente em conflito com as evidências experimentais sobre calores específicos. A mecânica estatística clássica permite estabelecer uma conexão geral entre o número total de graus de liberdade de um conjunto de sistemas vibrantes e seu calor específico. Se assumirmos que todas as frequências espectroscópicas de um átomo correspondem a diferentes graus de liberdade, obteríamos um calor específico para qualquer tipo de matéria muito maior do que o valor observado. De fato, os calores específicos observados em temperaturas comuns são razoavelmente bem descritos por uma teoria que considera apenas o movimento de cada átomo como um todo, sem atribuir-lhe qualquer movimento interno.

Isso nos leva a um novo conflito entre a mecânica clássica e os resultados experimentais. Certamente deve haver algum movimento interno em um átomo para explicar seu espectro, mas os graus de liberdade internos, por alguma razão classicamente inexplicável, não contribuem para o calor específico. Um conflito semelhante é encontrado em relação à energia de oscilação do campo eletromagnético no vácuo. A mecânica clássica exige que o calor específico correspondente a essa energia seja infinito, mas observa-se que ele é bastante finito. Uma conclusão geral dos resultados experimentais é que as oscilações de alta frequência não contribuem com sua parcela clássica para o calor específico.

Como mais uma ilustração da falha da mecânica clássica, podemos considerar o comportamento da luz. Temos, por um lado, os fenômenos de interferência e difração, que só podem ser explicados com base em uma teoria ondulatória; por outro, fenômenos como a emissão fotoelétrica e o espalhamento por elétrons livres, que mostram que a luz é composta de pequenas partículas. Essas partículas, chamadas fótons, possuem energia e momento definidos, dependendo da frequência da luz, e parecem ter uma existência tão real quanto a dos elétrons ou de qualquer outra partícula conhecida na física. Uma fração de um fóton jamais é observada.

Experimentos demonstraram que esse comportamento anômalo não é peculiar à luz, mas sim bastante geral. Todas as partículas materiais possuem propriedades ondulatórias, que podem ser exibidas sob condições adequadas. Temos aqui um exemplo muito marcante e geral da falha da mecânica clássica — não apenas uma imprecisão em suas leis de movimento, mas uma inadequação de seus conceitos para nos fornecer uma descrição dos eventos atômicos .

A necessidade de se afastar das ideias clássicas quando se deseja explicar a estrutura fundamental da matéria pode ser vista não apenas a partir de fatos comprovados experimentalmente, mas também de fundamentos filosóficos gerais. Em uma explicação clássica da constituição da matéria, assumiríamos que ela é composta por um grande número de pequenas partes constituintes e postularíamos leis para o comportamento dessas partes, das quais as leis da matéria em sua totalidade poderiam ser deduzidas. Isso, contudo, não completaria a explicação, uma vez que a questão da estrutura e da estabilidade das partes constituintes permanece sem resposta. Para abordar essa questão, torna-se necessário postular que cada parte constituinte é, ela própria, composta de partes menores, em termos das quais seu comportamento deve ser explicado. Claramente, não há fim para esse procedimento, de modo que jamais se pode chegar à estrutura fundamental da matéria dessa forma. Enquanto grande e pequeno forem meramente conceitos relativos, não adianta explicar o grande em termos do pequeno. Portanto, é necessário modificar as ideias clássicas de modo a atribuir um significado absoluto ao tamanho.

Nesta etapa, torna-se importante lembrar que a ciência se preocupa apenas com coisas observáveis e que só podemos observar um objeto permitindo que ele interaja com alguma influência externa. Um ato de observação é, portanto, necessariamente acompanhado por alguma perturbação do objeto observado. Podemos definir um objeto como grande quando a perturbação que acompanha nossa observação pode ser negligenciada, e pequeno quando a perturbação não pode ser negligenciada. Essa definição está em estreita consonância com os significados comuns de grande e pequeno.

Geralmente se assume que, com cuidado, podemos reduzir a perturbação que acompanha nossa observação a qualquer medida desejada. Os conceitos de grande e pequeno são, então, puramente relativos e referem-se à precisão de nossos meios de observação, bem como ao objeto descrito. Para atribuir um significado absoluto ao tamanho, como o necessário para qualquer teoria da estrutura fundamental da matéria, precisamos assumir que existe um limite para a precisão de nossa capacidade de observação e para a pequenez da perturbação que a acompanha — um limite inerente à natureza das coisas e que jamais poderá ser ultrapassado por técnicas aprimoradas ou maior habilidade por parte do observador. Se o objeto em observação for tal que a perturbação limite inevitável seja desprezível, então o objeto é grande em termos absolutos e podemos aplicar a mecânica clássica a ele. Se, por outro lado, a perturbação limite não for desprezível, então o objeto é pequeno em termos absolutos e precisamos de uma nova teoria para lidar com ele.

Uma consequência da discussão anterior é que devemos revisar nossas ideias de causalidade. A causalidade se aplica apenas a um sistema que permanece inalterado. Se um sistema é pequeno, não podemos observá-lo sem causar uma perturbação significativa e, portanto, não podemos esperar encontrar qualquer conexão causal entre os resultados de nossas observações. Ainda assim, assumiremos que a causalidade se aplica a sistemas inalterados, e as equações que serão formuladas para descrever um sistema inalterado serão equações diferenciais que expressam uma conexão causal entre as condições em um dado momento e as condições em um momento posterior. Essas equações estarão em estreita correspondência com as equações da mecânica clássica, mas estarão conectadas apenas indiretamente aos resultados das observações. Há uma indeterminação inevitável no cálculo dos resultados observacionais; a teoria nos permite calcular, em geral, apenas a probabilidade de obtermos um resultado específico ao realizarmos uma observação.

2. A polarização dos fótons

A discussão na seção anterior sobre o limite da suavidade com que as observações podem ser feitas e a consequente indeterminação nos resultados dessas observações não fornece nenhuma base quantitativa para a construção da mecânica quântica. Para isso, é necessário um novo conjunto de leis da natureza precisas. Uma das mais fundamentais e drásticas é o Princípio da Superposição de Estados . Chegaremos a uma formulação geral desse princípio por meio da consideração de alguns casos especiais, tomando primeiro o exemplo fornecido pela polarização da luz.

Sabe-se experimentalmente que, quando se utiliza luz polarizada plana para ejetar fotoelétrons, existe uma direção preferencial para a emissão de elétrons. Assim, as propriedades de polarização da luz estão intimamente ligadas às suas propriedades corpusculares, sendo necessário atribuir uma polarização aos fótons. Devemos considerar, por exemplo, um feixe de luz polarizada plana em uma determinada direção como constituído por fótons, cada um deles polarizado plana nessa direção, e um feixe de luz polarizada circularmente como constituído por fótons, cada um polarizado circularmente. Cada fóton encontra-se em um determinado estado de polarização , como diremos. O problema que devemos agora considerar é como conciliar essas ideias com os fatos conhecidos sobre a decomposição da luz em componentes polarizadas e a recombinação desses componentes.

Consideremos um caso específico. Suponha que temos um feixe de luz passando por um cristal de turmalina, que possui a propriedade de deixar passar apenas luz polarizada perpendicularmente ao seu eixo óptico. A eletrodinâmica clássica nos diz o que acontecerá para qualquer polarização do feixe incidente. Se esse feixe estiver polarizado perpendicularmente ao eixo óptico, ele atravessará o cristal por completo; se estiver paralelo ao eixo, nada o atravessará; enquanto que, se estiver polarizado em um ângulo α em relação ao eixo, uma fração sen²α ^o atravessará. Como devemos interpretar esses resultados em nível de fóton?

Um feixe polarizado planarmente em uma determinada direção deve ser imaginado como composto por fótons, cada um polarizado planarmente nessa direção. Essa imagem não apresenta dificuldades nos casos em que o feixe incidente é polarizado perpendicularmente ou paralelamente ao eixo óptico. Basta supor que cada fóton polarizado perpendicularmente ao eixo passa sem impedimentos e sem sofrer alterações através do cristal, enquanto cada fóton polarizado paralelamente ao eixo é bloqueado e absorvido. Uma dificuldade surge, no entanto, no caso do feixe incidente polarizado obliquamente. Cada um dos fótons incidentes é então polarizado obliquamente e não está claro o que acontecerá com um fóton desse tipo quando ele atingir a turmalina.

Uma pergunta sobre o que acontecerá a um fóton específico sob certas condições não é realmente muito precisa. Para torná-la precisa, é preciso imaginar algum experimento realizado que tenha relação com a questão e indagar qual será o resultado do experimento. Somente perguntas sobre os resultados de experimentos têm significado real, e são apenas essas perguntas que a física teórica deve considerar.

Em nosso exemplo atual, o experimento óbvio é usar um feixe incidente composto por um único fóton e observar o que aparece na parte de trás do cristal. De acordo com a mecânica quântica, o resultado desse experimento será que, às vezes, encontraremos um fóton inteiro, com energia igual à energia do fóton incidente, na parte de trás, e outras vezes não encontraremos nada. Quando encontrarmos um fóton inteiro, ele estará polarizado perpendicularmente ao eixo óptico. Nunca encontraremos apenas uma parte de um fóton na parte de trás. Se repetirmos o experimento um grande número de vezes, encontraremos o fóton na parte de trás em uma fração sen²α ^do número total de vezes. Assim, podemos dizer que o fóton tem uma probabilidade sen²α ^de atravessar a turmalina e aparecer na parte de trás polarizado perpendicularmente ao eixo, e uma probabilidade cos²α ^de ser absorvido. Esses valores para as probabilidades levam aos resultados clássicos corretos para um feixe incidente contendo um grande número de fótons.

Dessa forma, preservamos a individualidade do fóton em todos os casos. Conseguimos isso, porém, apenas porque abandonamos o determinismo da teoria clássica. O resultado de um experimento não é determinado, como seria segundo as ideias clássicas, pelas condições controladas pelo experimentador. O máximo que se pode prever é um conjunto de resultados possíveis, com uma probabilidade de ocorrência para cada um.

A discussão anterior sobre o resultado de um experimento com um único fóton polarizado obliquamente incidente em um cristal de turmalina responde a todas as perguntas legítimas sobre o que acontece com um fóton polarizado obliquamente ao atingir a turmalina. Questões sobre o que determina se o fóton irá atravessar ou não o cristal e como ele altera sua direção de polarização ao atravessá-lo não podem ser investigadas experimentalmente e devem ser consideradas fora do domínio da ciência. Contudo, uma descrição mais detalhada é necessária para correlacionar os resultados deste experimento com os resultados de outros experimentos que possam ser realizados com fótons e para integrá-los em um esquema geral. Essa descrição adicional deve ser vista não como uma tentativa de responder a perguntas fora do domínio da ciência, mas como um auxílio na formulação de regras para expressar concisamente os resultados de um grande número de experimentos.

A descrição adicional fornecida pela mecânica quântica é a seguinte. Supõe-se que um fóton polarizado obliquamente ao eixo óptico possa ser considerado como estando parcialmente em um estado de polarização paralelo ao eixo e parcialmente em um estado de polarização perpendicular ao eixo. O estado de polarização oblíqua pode ser considerado como o resultado de algum tipo de processo de superposição aplicado aos dois estados de polarização paralela e perpendicular. Isso implica um certo tipo especial de relação entre os vários estados de polarização, uma relação semelhante àquela entre feixes polarizados na óptica clássica, mas que agora se aplica, não a feixes, mas aos estados de polarização de um fóton específico. Essa relação permite que qualquer estado de polarização seja resolvido em, ou expresso como uma superposição de, quaisquer dois estados de polarização mutuamente perpendiculares.

Quando fazemos um fóton incidir sobre um cristal de turmalina, estamos realizando uma observação. Observamos se ele está polarizado paralelamente ou perpendicularmente ao eixo óptico. O efeito dessa observação é forçar o fóton a assumir um estado de polarização totalmente paralelo ou totalmente perpendicular. Ele precisa realizar uma transição repentina, passando de estar parcialmente em cada um desses dois estados para estar totalmente em um ou outro deles. Não é possível prever qual dos dois estados ele assumirá, sendo regido apenas por leis de probabilidade. Se o fóton assumir o estado paralelo, ele será absorvido; se assumir o estado perpendicular, ele atravessará o cristal e reaparecerá do outro lado, preservando esse estado de polarização.

3. Interferência de fótons

Nesta seção, trataremos de outro exemplo de superposição. Novamente, consideraremos fótons, mas desta vez, em vez de sua polarização, nos concentraremos em sua posição no espaço e em seu momento. Se tivermos um feixe de luz aproximadamente monocromática, saberemos algo sobre a localização e o momento dos fótons associados. Sabemos que cada um deles está localizado em algum lugar na região do espaço por onde o feixe passa e possui um momento na direção do feixe, cuja magnitude é dada em termos da frequência do feixe pela lei fotoelétrica de Einstein — momento é igual à frequência multiplicada por uma constante universal. Quando tivermos essas informações sobre a localização e o momento de um fóton, diremos que ele está em um estado translacional definido .

Discutiremos a descrição que a mecânica quântica fornece da interferência de fótons. Consideremos um experimento concreto que demonstra a interferência. Suponhamos que temos um feixe de luz que passa por algum tipo de interferômetro, de modo que seja dividido em duas componentes, e essas duas componentes sejam subsequentemente induzidas a interferir. Podemos, como na seção anterior, tomar um feixe incidente composto por um único fóton e investigar o que acontecerá com ele ao atravessar o aparelho. Isso nos apresentará a dificuldade do conflito entre as teorias ondulatória e corpuscular da luz de forma aguda.

Correspondendo à descrição que tínhamos no caso da polarização, devemos agora descrever o fóton como sendo parcialmente dividido em cada um dos dois componentes em que o feixe incidente é decomposto. O fóton está então, como podemos dizer, em um estado translacional dado pela superposição dos dois estados translacionais associados aos dois componentes. Chegamos, assim, a uma generalização do termo "estado translacional" aplicado a um fóton. Para que um fóton esteja em um estado translacional definido, ele não precisa estar associado a um único feixe de luz, mas pode estar associado a dois ou mais feixes de luz que são os componentes em que um feixe original foi decomposto. † Na teoria matemática precisa, cada estado translacional está associado a uma das funções de onda da óptica ondulatória ordinária, função essa que pode descrever um único feixe ou dois ou mais feixes em que um feixe original foi decomposto. Os estados translacionais são, portanto, superponíveis de maneira semelhante às funções de onda.

† O fato de a ideia de superposição exigir que generalizemos nosso significado original de estados translacionais, mas que nenhuma generalização correspondente tenha sido necessária para os estados de polarização da seção anterior, é acidental e não possui qualquer significado teórico subjacente.

Consideremos agora o que acontece quando determinamos a energia em um dos componentes. O resultado de tal determinação deve ser ou o fóton inteiro ou nada. Assim, o fóton deve mudar repentinamente de estar parcialmente em um feixe e parcialmente no outro para estar inteiramente em um dos feixes. Essa mudança repentina se deve à perturbação no estado translacional do fóton que a observação necessariamente causa. É impossível prever em qual dos dois feixes o fóton será encontrado. Somente a probabilidade de um ou outro resultado pode ser calculada a partir da distribuição anterior do fóton nos dois feixes.

Seria possível realizar a medição de energia sem destruir o feixe componente, por exemplo, refletindo o feixe em um espelho móvel e observando o recuo. Nossa descrição do fóton nos permite inferir que, após tal medição de energia, não seria possível provocar qualquer efeito de interferência entre os dois componentes. Enquanto o fóton estiver parcialmente em um feixe e parcialmente no outro, a interferência pode ocorrer quando os dois feixes são sobrepostos, mas essa possibilidade desaparece quando o fóton é forçado inteiramente a entrar em um dos feixes por uma observação. O outro feixe, então, deixa de ser considerado parte integrante da descrição do fóton, de modo que ele é contabilizado como estando inteiramente em um dos feixes, da maneira usual, para qualquer experimento que possa ser realizado posteriormente com ele.

Nessa perspectiva, a mecânica quântica consegue reconciliar as propriedades ondulatórias e corpusculares da luz. O ponto essencial é a associação de cada um dos estados translacionais de um fóton com uma das funções de onda da óptica ondulatória ordinária. A natureza dessa associação não pode ser imaginada com base na mecânica clássica, sendo algo inteiramente novo. Seria um erro imaginar o fóton e sua onda associada interagindo da mesma forma que partículas e ondas interagem na mecânica clássica. A associação só pode ser interpretada estatisticamente, sendo a função de onda responsável por nos fornecer informações sobre a probabilidade de encontrarmos o fóton em um determinado local quando fazemos uma observação de sua posição.

Algum tempo antes da descoberta da mecânica quântica, as pessoas perceberam que a conexão entre ondas de luz e fótons devia ser de caráter estatístico. O que elas não perceberam claramente, no entanto, foi que a função de onda fornece informações sobre a probabilidade de um fóton estar em um determinado local, e não sobre o número provável de fótons nesse local. A importância dessa distinção pode ser esclarecida da seguinte maneira. Suponha que temos um feixe de luz composto por um grande número de fótons dividido em dois componentes de igual intensidade. Partindo do pressuposto de que a intensidade de um feixe está relacionada ao número provável de fótons nele, metade do número total de fótons deveria entrar em cada componente. Se os dois componentes forem colocados para interferir, precisaríamos que um fóton em um componente interferisse com um no outro. Às vezes, esses dois fótons teriam que se aniquilar e outras vezes teriam que produzir quatro fótons. Isso contradiria a conservação de energia. A nova teoria, que conecta a função de onda com as probabilidades de um fóton, supera essa dificuldade fazendo com que cada fóton entre parcialmente em cada um dos dois componentes. Cada fóton interfere apenas consigo mesmo. A interferência entre dois fótons diferentes nunca ocorre.

A associação de partículas com ondas discutida acima não se restringe ao caso da luz, mas, segundo a teoria moderna, tem aplicabilidade universal. Todos os tipos de partículas estão associados a ondas dessa maneira e, inversamente, todo movimento ondulatório está associado a partículas. Assim, todas as partículas podem exibir efeitos de interferência e todo movimento ondulatório tem sua energia na forma de quanta. A razão pela qual esses fenômenos gerais não são mais óbvios reside em uma lei de proporcionalidade entre a massa ou energia das partículas e a frequência das ondas, sendo o coeficiente tal que, para ondas de frequências comuns, os quanta associados são extremamente pequenos, enquanto para partículas, mesmo tão leves quanto elétrons, a frequência da onda associada é tão alta que não é fácil demonstrar interferência.

4. Superposição e Indeterminação

O leitor pode sentir-se insatisfeito com a tentativa, nas duas seções anteriores, de conciliar a existência de fótons com a teoria clássica da luz. Ele pode argumentar que uma ideia muito estranha foi introduzida — a possibilidade de um fóton estar parcialmente em cada um de dois estados de polarização, ou parcialmente em cada um de dois feixes separados — mas, mesmo com a ajuda dessa ideia estranha, nenhuma descrição satisfatória dos processos fundamentais de um único fóton foi apresentada. Ele pode dizer ainda que essa ideia estranha não forneceu nenhuma informação sobre os resultados experimentais dos experimentos discutidos, além do que poderia ter sido obtido a partir de uma consideração elementar de que os fótons são guiados de alguma forma vaga por ondas. Qual é, então, a utilidade dessa ideia estranha?

Em resposta à primeira crítica, pode-se observar que o principal objetivo da física não é fornecer representações, mas sim formular leis que regem os fenômenos e aplicar essas leis à descoberta de novos fenômenos. Se uma representação existe, tanto melhor; mas a existência ou não de uma representação é uma questão de importância secundária. No caso dos fenômenos atômicos, não se pode esperar que exista uma representação no sentido usual da palavra "representação", que se entende por um modelo que funciona essencialmente segundo princípios clássicos. Pode-se, no entanto, ampliar o significado da palavra "representação" para incluir qualquer maneira de observar as leis fundamentais que torne sua autoconsistência óbvia. Com essa ampliação, pode-se gradualmente adquirir uma representação dos fenômenos atômicos familiarizando-se com as leis da teoria quântica.

Com relação à segunda crítica, pode-se observar que, para muitos experimentos simples com luz, uma teoria elementar de ondas e fótons conectados de maneira vagamente estatística seria adequada para explicar os resultados. Nesses experimentos, a mecânica quântica não tem mais informações a fornecer. Na grande maioria dos experimentos, porém, as condições são complexas demais para que uma teoria elementar desse tipo seja aplicável, sendo necessário um esquema mais elaborado, como o fornecido pela mecânica quântica. O método de descrição que a mecânica quântica oferece nos casos mais complexos também é aplicável aos casos simples e, embora não seja realmente necessário para explicar os resultados experimentais, seu estudo nesses casos simples talvez seja uma introdução adequada ao seu estudo no caso geral.

Persiste uma crítica geral que se pode fazer a todo o esquema, a saber, que ao se afastar da determinidade da teoria clássica, introduz-se uma grande complicação na descrição da Natureza, o que é uma característica altamente indesejável. Essa complicação é inegável, mas é compensada por uma grande simplificação, proporcionada pelo princípio geral da superposição de estados , que agora consideraremos. Mas primeiro é necessário esclarecer o importante conceito de um "estado" de um sistema atômico geral.

Consideremos um sistema atômico qualquer, composto por partículas ou corpos com propriedades específicas (massa, momento de inércia, etc.) interagindo de acordo com leis de força específicas. Haverá vários movimentos possíveis para as partículas ou corpos, consistentes com as leis de força. Cada um desses movimentos é chamado de estado do sistema. Segundo as ideias clássicas, seria possível especificar um estado atribuindo valores numéricos a todas as coordenadas e velocidades dos vários componentes do sistema em um dado instante, determinando-se, assim, todo o movimento por completo. Ora, o argumento das páginas 3 e 4 demonstra que não podemos observar um sistema pequeno com o nível de detalhe que a teoria clássica pressupõe. A limitação no poder de observação impõe uma limitação ao número de dados que podem ser atribuídos a um estado. Portanto, o estado de um sistema atômico deve ser especificado por um número menor de dados, ou por um conjunto mais indefinido de dados, do que um conjunto completo de valores numéricos para todas as coordenadas e velocidades em um dado instante. No caso em que o sistema é apenas um único fóton, um estado seria completamente especificado por um dado estado translacional no sentido do § 3 juntamente com um dado estado de polarização no sentido do § 2.

O estado de um sistema pode ser definido como um movimento não perturbado, restringido por tantas condições ou dados quanto teoricamente possível, sem interferência ou contradição mútua. Na prática, as condições podem ser impostas por uma preparação adequada do sistema, que consiste, por exemplo, em passá-lo por diversos tipos de aparelhos de triagem, como fendas e polarímetros, deixando o sistema em repouso após a preparação. A palavra "estado" pode ser usada para se referir tanto ao estado em um determinado momento (após a preparação) quanto ao estado ao longo de todo o tempo após a preparação. Para distinguir esses dois significados, o último será chamado de "estado de movimento" quando houver possibilidade de ambiguidade.

O princípio geral da superposição da mecânica quântica aplica-se aos estados, com qualquer um dos significados acima, de qualquer sistema dinâmico. Ele exige que assumamos que entre esses estados existem relações peculiares, de modo que, sempre que o sistema estiver definitivamente em um estado, podemos considerá-lo como estando parcialmente em cada um de dois ou mais outros estados. O estado original deve ser considerado como o resultado de uma espécie de superposição dos dois ou mais novos estados, de uma maneira que não pode ser concebida com base em ideias clássicas. Qualquer estado pode ser considerado como o resultado de uma superposição de dois ou mais outros estados, e de fato, de infinitas maneiras. Reciprocamente, quaisquer dois ou mais estados podem ser superpostos para dar origem a um novo estado. O procedimento de expressar um estado como o resultado da superposição de vários outros estados é um procedimento matemático sempre admissível, independente de qualquer referência a condições físicas, como o procedimento de decompor uma onda em componentes de Fourier. Sua utilidade em um caso particular, no entanto, depende das condições físicas específicas do problema em questão.

Nas duas seções anteriores, foram apresentados exemplos da aplicação do princípio da superposição a um sistema constituído por um único fóton. A Seção 2 tratou de estados que diferiam apenas em relação à polarização e a Seção 3, de estados que diferiam apenas em relação ao movimento do fóton como um todo.

A natureza das relações que o princípio da superposição exige entre os estados de qualquer sistema é de um tipo que não pode ser explicado em termos de conceitos físicos familiares. Não se pode, no sentido clássico, imaginar um sistema estando parcialmente em cada um de dois estados e ver a equivalência disso com o sistema estando completamente em algum outro estado. Há uma ideia inteiramente nova envolvida, à qual é preciso se familiarizar e em termos da qual é preciso proceder para construir uma teoria matemática exata, sem ter qualquer quadro clássico detalhado.

Quando um estado é formado pela superposição de dois outros estados, ele terá propriedades que são, de certa forma, intermediárias entre as dos dois estados originais e que se aproximam mais ou menos das de qualquer um deles, de acordo com o maior ou menor "peso" atribuído a esse estado no processo de superposição. O novo estado é completamente definido pelos dois estados originais quando seus pesos relativos no processo de superposição são conhecidos, juntamente com uma certa diferença de fase, sendo o significado exato de pesos e fases fornecido, no caso geral, pela teoria matemática. No caso da polarização de um fóton, seu significado é o fornecido pela óptica clássica, de modo que, por exemplo, quando dois estados polarizados perpendicularmente no plano são superpostos com pesos iguais, o novo estado pode ser polarizado circularmente em qualquer direção, ou linearmente polarizado em um ângulo π/4, ou ainda elipticamente polarizado, de acordo com a diferença de fase.

A natureza não clássica do processo de superposição fica evidente se considerarmos a superposição de dois estados, A e B , de modo que exista uma observação que, quando feita no sistema no estado A , certamente levará a um resultado específico, digamos a , e quando feita no sistema no estado B, certamente levará a um resultado diferente, digamos b . Qual será o resultado da observação quando feita no sistema no estado superposto A resposta é que o resultado será às vezes a e às vezes b , de acordo com uma lei de probabilidade que depende dos pesos relativos de A e B no processo de superposição. Ele nunca será diferente de a e b simultaneamente . O caráter intermediário do estado formado pela superposição se expressa, portanto, pela probabilidade de um resultado específico para uma observação ser intermediária entre as probabilidades correspondentes para os estados originais†, e não pelo próprio resultado ser intermediário entre os resultados correspondentes para os estados originais.

† A probabilidade de um resultado específico para o estado formado por superposição nem sempre é intermediária entre as probabilidades dos estados originais no caso geral em que as probabilidades dos estados originais não são zero ou um, portanto, existem restrições à 'intermediariedade' de um estado formado por superposição.

Dessa forma, vemos que um afastamento tão drástico das ideias comuns, como a suposição de relações de superposição entre os estados, só é possível devido ao reconhecimento da importância da perturbação que acompanha uma observação e da consequente indeterminação no resultado da observação. Quando uma observação é feita em qualquer sistema atômico que se encontra em um dado estado, em geral o resultado não será determinado, ou seja, se o experimento for repetido várias vezes sob condições idênticas, vários resultados diferentes poderão ser obtidos. É uma lei da natureza, porém, que se o experimento for repetido um grande número de vezes, cada resultado particular será obtido em uma fração definida do número total de vezes, de modo que haja uma probabilidade definida de que ele seja obtido. Essa probabilidade é o que a teoria se propõe a calcular. Somente em casos especiais, quando a probabilidade de algum resultado é unitária, o resultado do experimento é determinado.

A suposição de relações de superposição entre os estados leva a uma teoria matemática na qual as equações que definem um estado são lineares nas incógnitas. Em consequência disso, buscou-se estabelecer analogias com sistemas da mecânica clássica, como cordas ou membranas vibrantes, que são regidos por equações lineares e para os quais, portanto, o princípio da superposição se aplica. Tais analogias levaram à denominação de "Mecânica Ondulatória" ser, por vezes, atribuída à mecânica quântica. É importante lembrar, contudo, que a superposição que ocorre na mecânica quântica é de natureza essencialmente diferente de qualquer superposição que ocorra na teoria clássica, como demonstra o fato de que o princípio da superposição quântica exige indeterminação nos resultados das observações para que seja passível de uma interpretação física coerente. As analogias, portanto, podem ser enganosas.

5. Formulação matemática do princípio

Uma profunda mudança ocorreu durante o século atual nas opiniões que os físicos têm sobre os fundamentos matemáticos de sua área. Anteriormente, eles supunham que os princípios da mecânica newtoniana forneceriam a base para a descrição de todos os fenômenos físicos e que tudo o que o físico teórico precisava fazer era desenvolver e aplicar esses princípios adequadamente. Com o reconhecimento de que não há razão lógica para que os princípios newtonianos e outros princípios clássicos sejam válidos fora dos domínios em que foram verificados experimentalmente, surgiu a constatação de que desvios desses princípios são, de fato, necessários. Tais desvios se expressam por meio da introdução de novos formalismos matemáticos, novos esquemas de axiomas e regras de manipulação nos métodos da física teórica.

A mecânica quântica fornece um bom exemplo das novas ideias. Ela exige que os estados de um sistema dinâmico e as variáveis dinâmicas estejam interconectados de maneiras bastante estranhas, ininteligíveis do ponto de vista clássico. Os estados e as variáveis dinâmicas precisam ser representados por quantidades matemáticas de naturezas diferentes daquelas normalmente usadas na física. O novo esquema se torna uma teoria física precisa quando todos os axiomas e regras de manipulação que governam as quantidades matemáticas são especificados e quando, além disso, certas leis são estabelecidas conectando fatos físicos com o formalismo matemático, de modo que, a partir de quaisquer condições físicas dadas, equações entre as quantidades matemáticas possam ser inferidas e vice-versa. Em uma aplicação da teoria, seriam fornecidas certas informações físicas, que seriam expressas por meio de equações entre as quantidades matemáticas. Em seguida, novas equações seriam deduzidas com a ajuda dos axiomas e regras de manipulação e a conclusão seria a interpretação dessas novas equações como condições físicas. A justificativa para todo o esquema depende, além da consistência interna, da concordância dos resultados finais com os experimentos.

Começaremos a estruturar o esquema tratando das relações matemáticas entre os estados de um sistema dinâmico em um dado instante, relações essas que derivam da formulação matemática do princípio da superposição. O processo de superposição é um tipo de processo aditivo e implica que os estados podem, de alguma forma, ser somados para gerar novos estados. Os estados devem, portanto, estar relacionados a grandezas matemáticas de um tipo que possa ser somado para gerar outras grandezas do mesmo tipo. As mais óbvias dessas grandezas são os vetores. Vetores comuns, existentes em um espaço de um número finito de dimensões, não são suficientemente gerais para a maioria dos sistemas dinâmicos em mecânica quântica. Precisamos generalizar para vetores em um espaço de um número infinito de dimensões, e o tratamento matemático se complica devido a questões de convergência. Por ora, contudo, trataremos apenas de algumas propriedades gerais dos vetores, propriedades que podem ser deduzidas com base em um esquema simples de axiomas, e questões de convergência e tópicos relacionados não serão abordadas até que surja a necessidade.

É desejável ter um nome especial para descrever os vetores associados aos estados de um sistema em mecânica quântica, estejam eles em um espaço de dimensões finitas ou infinitas. Chamaremos esses vetores de vetores ket , ou simplesmente kets , e denotaremos um vetor ket genérico por um símbolo especial |>. Se quisermos especificar um vetor particular por meio de um rótulo, digamos A , inserimos o rótulo no meio, ficando assim | A >. A adequação dessa notação ficará clara à medida que o esquema for desenvolvido.

Os vetores ket podem ser multiplicados por números complexos e somados para gerar outros vetores ket; a partir de dois vetores ket | A > e | B >, podemos formar...

c ₁ | A > + c ₂ | B > = | R >, (1)

Digamos, onde c₁ _e c₂ _são quaisquer dois números complexos. Também podemos realizar processos lineares mais gerais com eles, como somar uma sequência infinita deles, e se tivermos um vetor ket | x >, dependendo de e rotulado por um parâmetro x que pode assumir todos os valores em um determinado intervalo, podemos integrá-lo em relação a x para obter outro vetor ket.

∫ | x > dx = | Q >

Por exemplo, um vetor ket que pode ser expresso linearmente em termos de outros vetores é dito dependente deles . Um conjunto de vetores ket é chamado independente se nenhum deles puder ser expresso linearmente em termos dos outros.

Agora assumimos que cada estado de um sistema dinâmico em um determinado momento corresponde a um vetor ket, sendo a correspondência tal que se um estado resulta da superposição de certos outros estados, seu vetor ket correspondente é expressável linearmente em termos dos vetores ket correspondentes dos outros estados, e vice-versa . Assim, o estado | R > resulta de uma superposição dos estados |  A  > e | B > quando os vetores ket correspondentes são conectados por (1).

A suposição acima leva a certas propriedades do processo de superposição, propriedades que são, na verdade, necessárias para que a palavra "superposição" seja apropriada. Quando dois ou mais estados são sobrepostos, a ordem em que ocorrem no processo de superposição é irrelevante, portanto, o processo de superposição é simétrico entre os estados que são sobrepostos. Novamente, vemos pela equação (1) que (excluindo o caso em que o coeficiente c₁ _ou c₂ _é zero) se o estado | R > pode ser formado pela superposição dos estados |  A  > e | B >, então o estado |  A  > pode ser formado pela superposição de | B > e | R >, e | B > pode ser formado pela superposição de | A > e | R >. A relação de superposição é simétrica entre todos os três estados: |  A  >, | B > e | R >.

Um estado resultante da superposição de certos outros estados será dito dependente desses estados. De forma mais geral, um estado será dito dependente de qualquer conjunto de estados, finito ou infinito em número, se o seu vetor ket correspondente for dependente dos vetores ket correspondentes do conjunto de estados. Um conjunto de estados será chamado independente se nenhum deles for dependente dos outros.

Para prosseguir com a formulação matemática do princípio da superposição, devemos introduzir uma hipótese adicional, a saber, a hipótese de que, ao sobrepor um estado a si mesmo, não podemos formar nenhum novo estado, mas apenas o estado original novamente. Se o estado original corresponde ao vetor ket |  A  >, quando este é sobreposto a si mesmo, o estado resultante corresponderá a

c ₁ |  A  > + c ₂ |  A  > = (c ₁ + c ₂ ) |  A  >,

onde c₁ _e c₂ _são números. Agora, podemos ter c₁ ₊ c₂ ₌ 0, caso em que o resultado do processo de superposição seria nada, pois os dois componentes se cancelariam mutuamente por um efeito de interferência. Nossa nova suposição exige que, exceto neste caso especial, o estado resultante seja o mesmo que o original, de modo que (c₁ ₊ c₂ ₎ |  A  > corresponda ao mesmo estado que |  A  >. Agora, c₁ ₊ c₂ é um número complexo arbitrário e, portanto _, podemos concluir que, se o vetor ket correspondente a um estado for multiplicado por qualquer número complexo diferente de zero, o vetor ket resultante corresponderá ao mesmo estado. Assim, um estado é especificado pela direção de um vetor ket e qualquer comprimento que se possa atribuir ao vetor ket é irrelevante. Todos os estados do sistema dinâmico estão em correspondência biunívoca com todas as direções possíveis para um vetor ket, sem distinção entre as direções dos vetores ket |  A  > e -|  A  >.

A suposição feita demonstra claramente a diferença fundamental entre a superposição da teoria quântica e qualquer tipo de superposição clássica. No caso de um sistema clássico para o qual o princípio da superposição se aplica, por exemplo, uma membrana vibrante, quando se sobrepõe um estado a si mesmo, o resultado é um estado diferente , com uma magnitude diferente das oscilações. Não existe uma característica física de um estado quântico que corresponda à magnitude das oscilações clássicas, diferentemente de sua qualidade, descrita pelas razões entre as amplitudes em diferentes pontos da membrana. Novamente, enquanto existe um estado clássico com amplitude de oscilação zero em todos os pontos, ou seja, o estado de repouso, não existe nenhum estado correspondente para um sistema quântico, sendo o vetor ket zero correspondente à ausência total de estado.

Dados dois estados correspondentes aos vetores ket |  A  > e | B >, o estado geral formado pela superposição deles corresponde a um vetor ket | R > que é determinado por dois números complexos, a saber, os coeficientes c₁ _e c₂ _da equação (1). Se esses dois coeficientes forem multiplicados pelo mesmo fator (que também é um número complexo), o vetor ket | R > será multiplicado por esse fator e o estado correspondente permanecerá inalterado. Assim, apenas a razão entre os dois coeficientes é efetiva na determinação do estado R. Portanto, esse estado é determinado por um número complexo, ou por dois parâmetros reais. Assim, a partir de dois estados dados, pode-se obter uma infinidade dupla de estados por superposição.

Este resultado é confirmado pelos exemplos discutidos nas seções 2 e 3. No exemplo da seção 2, existem apenas dois estados independentes de polarização para um fóton, que podem ser considerados os estados de polarização plana paralela e perpendicular a alguma direção fixa, e da superposição destes dois pode-se obter uma infinidade dupla de estados de polarização, ou seja, todos os estados de polarização elíptica, sendo que o estado geral requer dois parâmetros para descrevê-lo. Novamente, no exemplo da seção 3, da superposição de dois estados translacionais dados para um fóton pode-se obter uma infinidade dupla de estados translacionais, sendo que o estado geral é descrito por dois parâmetros, que podem ser considerados a razão entre as amplitudes das duas funções de onda que são somadas e sua relação de fase. Esta confirmação mostra a necessidade de permitir coeficientes complexos na equação (1). Se esses coeficientes fossem restritos a valores reais, então, como apenas a sua razão é importante para determinar a direção do vetor ket resultante | R > quando |  A  > e | Se B > forem dados, haveria apenas uma infinidade simples de estados obtidos da superposição.

6. Vetores Bra e Ket

Em qualquer teoria matemática, sempre que temos um conjunto de vetores, podemos estabelecer um segundo conjunto de vetores, que os matemáticos chamam de vetores duais. O procedimento será descrito para o caso em que os vetores originais são nossos vetores ket.

Suponha que temos um número φ que é uma função de um vetor ket |  A  >, ou seja, a cada vetor ket |  A  > corresponde um número, e suponha ainda que a função seja linear, o que significa que o número correspondente a |  A  > + | A' > é a soma dos números correspondentes a |  A  > e a | A' >, e o número correspondente a c |  A  > é c vezes o número correspondente a |  A  >, sendo c um fator numérico qualquer. Então, o número φ correspondente a qualquer |  A  > pode ser visto como o produto escalar desse |  A  > com algum novo vetor, havendo um desses novos vetores para cada função linear dos vetores ket |  A  >. A justificativa para essa maneira de ver φ é que, como será visto posteriormente (ver equações (5) e (6)), os novos vetores podem ser somados e multiplicados por números para dar outros vetores do mesmo tipo. Os novos vetores são, obviamente, definidos apenas na medida em que seus produtos escalares com os vetores ket originais recebem números, mas isso é suficiente para que se possa construir uma teoria matemática sobre eles.

Chamaremos os novos vetores de vetores bra, ou simplesmente bras, e denotaremos um deles de forma geral pelo símbolo < A |, a imagem espelhada do símbolo para um vetor ket. Se quisermos especificar um deles em particular por um rótulo, digamos B , escrevemos no meio, portanto < B |. O produto escalar de um vetor bra < B | e um vetor ket |  A  > será escrito < B |  A  >, ou seja, como uma justaposição dos símbolos para os vetores bra e ket, com o símbolo do vetor bra à esquerda e as duas linhas verticais contraídas em uma só por brevidade.

Pode-se considerar os símbolos < e > como um tipo distinto de colchetes. Um produto escalar < B |  A  > aparece agora como uma expressão de colchetes completa e um vetor bra < B | ou um vetor ket |  A  > como uma expressão de colchetes incompleta. Temos as regras de que qualquer expressão de colchetes completa denota um número e qualquer expressão de colchetes incompleta denota um vetor, do tipo bra ou ket, dependendo se contém a primeira ou a segunda parte dos colchetes. A condição de que o produto escalar de < B | e |  A  > seja uma função linear de |  A  > pode ser expressa simbolicamente por

< B | { |  A  > + | A' >} = < B |  A  > + < B | A' >, (2)

< B | { c A > = c< B |  A  >, (3)

c sendo qualquer número.

Um vetor bra é considerado completamente definido quando seu produto escalar com cada vetor ket é dado, de modo que, se o produto escalar de um vetor bra com cada vetor ket for nulo, o próprio vetor bra deve ser considerado nulo. Em símbolos, se

< P |  A  > = 0, todo | A >,

então < P | = 0. (4)

A soma de dois vetores bra < B | e < B' | é definida pela condição de que seu produto escalar com qualquer vetor ket |  A  > seja a soma dos produtos escalares de < B | e < B' | com |  A  >.

{ < B | + < B' | } |  A  > = < B |  A  > + < B' |  A  >, (5)

e o produto de um vetor bra < B | e um número c é definido pela condição de que seu produto escalar com qualquer vetor ket |  A  > é c vezes o produto escalar de < B | com |  A  >,

{c < B' | } |  A  > = c < B | A >. (6)

As equações (2) e (5) mostram que os produtos dos vetores bra e ket satisfazem o axioma distributivo da multiplicação, e as equações (3) e (6) mostram que a multiplicação por fatores numéricos satisfaz os axiomas algébricos usuais.

Os vetores bra, conforme aqui apresentados, são um tipo de vetor bastante diferente dos kets, e até agora não há conexão entre eles, exceto pela existência de um produto escalar entre um bra e um ket. Assumimos agora que existe uma correspondência biunívoca entre os bras e os kets, de modo que o bra correspondente a |  A  > + | A' > é a soma dos bras correspondentes a |  A  > e a | A' >, e o bra correspondente a c |  A  > é c vezes o bra correspondente a |  A  >, sendo c o número complexo conjugado de c. Usaremos o mesmo rótulo para especificar um ket e o bra correspondente. Assim, o bra correspondente a |  A  > será escrito < A |.

A relação entre um vetor ket e o bra correspondente torna razoável chamar um deles de imaginário conjugado do outro. Nossos vetores bra e ket são grandezas complexas, pois podem ser multiplicados por números complexos e, portanto, têm a mesma natureza que antes, mas são grandezas complexas de um tipo especial que não podem ser decompostas em partes reais e imaginárias puras. O método usual para obter a parte real de uma grandeza complexa, tomando a metade da soma da própria grandeza com seu conjugado, não pode ser aplicado, pois um vetor bra e um vetor ket têm naturezas diferentes e não podem ser somados. Para chamar a atenção para essa distinção, usaremos a expressão "complexo conjugado" para nos referirmos a números e outras grandezas complexas que podem ser decompostas em partes reais e imaginárias puras, e a expressão "imaginário conjugado" para vetores bra e ket, que não podem. Com o primeiro tipo de grandeza, usaremos a notação de colocar uma barra sobre uma delas para obter a complexa conjugada.

Devido à correspondência biunívoca entre vetores bra e vetores ket, qualquer estado do nosso sistema dinâmico em um dado momento pode ser especificado tanto pela direção de um vetor bra quanto pela direção de um vetor ket. De fato, toda a teoria será essencialmente simétrica entre bras e kets.

Dados quaisquer dois vetores ket |  A  > e | B >, podemos construir a partir deles um número < B |  A  > tomando o produto escalar do primeiro com o conjugado imaginário do segundo. Este número depende linearmente de |  A  > e antilinearmente de | B >, sendo a dependência antilinear o fato de que o número formado por | B > + | B' > é a soma dos números formados por | B > e por | B' >, e o número formado por c| B > é c-barra vezes o número formado por | B >. Há uma segunda maneira de construir um número que depende linearmente de |  A  > e antilinearmente de | B >, a saber, formando o produto escalar de | B > com o conjugado imaginário de |  A  > e tomando o complexo conjugado deste produto escalar. Assumimos que esses dois números são sempre iguais, ou seja,

< B | } |  A  > = < A | } | B >. (7)

Fazendo | B > = |  A  > aqui, descobrimos que o número < A | } |  A  > deve ser real. Fazemos a seguinte suposição:

< A |  A  > > 0, (8)

exceto quando |  A  >= 0.

No espaço ordinário, a partir de quaisquer dois vetores, podemos construir um número — seu produto escalar — que é um número real e simétrico entre eles. No espaço dos vetores bra ou no espaço dos vetores ket, a partir de quaisquer dois vetores, podemos novamente construir um número — o produto escalar de um com o imaginário conjugado do outro — mas esse número é complexo e se transforma no conjugado complexo quando os dois vetores são permutados. Existe, portanto, uma espécie de perpendicularidade nesses espaços, que é uma generalização da perpendicularidade no espaço ordinário. Diremos que um vetor bra e um vetor ket são ortogonais se o seu produto escalar for zero, e dois vetores bra ou dois vetores ket serão chamados ortogonais se o produto escalar de um com o imaginário conjugado do outro for zero. Além disso, diremos que dois estados do nosso sistema dinâmico são ortogonais se os vetores correspondentes a esses estados forem ortogonais.

O comprimento de um vetor bra < A | ou do vetor ket imaginário conjugado |  A  > é definido como a raiz quadrada do número positivo < A |  A  >. Quando nos é dado um estado e desejamos estabelecer um vetor bra ou ket correspondente a ele, apenas a direção do vetor é conhecida, e o próprio vetor é indeterminado na medida de um fator numérico arbitrário. Muitas vezes, é conveniente escolher esse fator numérico de modo que o vetor tenha comprimento unitário. Esse procedimento é chamado de normalização , e o vetor assim escolhido é dito normalizado. O vetor não está completamente determinado mesmo assim, visto que ainda é possível multiplicá-lo por qualquer número de módulo unitário, isto é, qualquer número e ^iγ onde γ é real, sem alterar seu comprimento. Chamaremos esse número de fator de fase.

As suposições anteriores fornecem o esquema completo das relações entre os estados de um sistema dinâmico em um determinado instante. As relações aparecem em forma matemática, mas implicam condições físicas que levarão a resultados expressáveis em termos de observações quando a teoria for mais desenvolvida. Por exemplo, se dois estados são ortogonais, isso significa, no momento, simplesmente uma certa equação em nosso formalismo, mas essa equação implica uma relação física definida entre os estados, que desenvolvimentos futuros da teoria nos permitirão interpretar em termos de resultados observacionais.