Jacques Hadamard foi um grande matemático que estudou seus processos de pensamento na resolução de problemas matemáticos. Ele entrevistou muitos outros matemáticos e cientistas de renome, incluindo Henri Poincaré , muitos dos quais compartilhavam da experiência de Hadamard de que as soluções para os problemas frequentemente surgiam de forma repentina e completa, geralmente após longas reflexões sobre o problema.

Em seu livro de 1945, "Psicologia da Invenção no Campo Matemático" , Hadamard descreveu a conferência Synthèse, realizada em Paris em 1936, para estudar a criatividade . No Capítulo III, Hadamard descreveu como a combinação de ideias aleatórias poderia levar à escolha da melhor combinação. O acaso, por si só, não basta.

Combinação de Ideias . O que acabamos de observar a respeito do inconsciente em geral será visto novamente sob outra perspectiva, quando falarmos de suas relações com a descoberta. Veremos um pouco mais adiante que a possibilidade de atribuir a descoberta ao puro acaso já é excluída pelas observações de Poincaré, quando consideradas com mais atenção.

Pelo contrário, a existência de uma intervenção do acaso, mas também de um necessário trabalho do inconsciente, este último implicando e não contradizendo o primeiro, torna-se evidente, como demonstra Poincaré, quando levamos em conta não apenas os resultados da introspecção, mas a própria natureza da questão.

De fato, é óbvio que a invenção ou descoberta, seja na matemática ou em qualquer outra área, ocorre pela combinação de ideias. ^Ora , existe um número extremamente grande de tais combinações, a maioria das quais desprovida de interesse, enquanto, pelo contrário, muito poucas podem ser frutíferas. Quais delas nossa mente — refiro-me à nossa mente consciente — percebe Apenas as frutíferas ou, excepcionalmente, algumas que poderiam ser frutíferas.

1. Max Müller observa que o verbo latino "cogito", que significa "pensar", etimologicamente quer dizer "juntar agitadamente". Santo Agostinho já havia notado isso e também observou que "intelligo" significa "selecionar entre", numa curiosa conexão com o que dizemos no texto.

No entanto, para encontrá-las, foi necessário construir as inúmeras combinações possíveis, dentre as quais se encontram as úteis.

É inevitável que essa primeira operação ocorra, em certa medida, de forma aleatória, de modo que o papel do acaso é praticamente indiscutível nessa primeira etapa do processo mental. Mas vemos que essa intervenção do acaso ocorre no inconsciente: pois a maioria dessas combinações — mais precisamente, todas aquelas que são inúteis — permanece desconhecida para nós.

Além disso, isso nos mostra novamente o caráter multifacetado do inconsciente, que é necessário para construir essas inúmeras combinações e compará-las entre si.

O Passo Seguinte . É óbvio que este primeiro processo, esta construção de inúmeras combinações, é apenas o início da criação, até mesmo, como deveríamos dizer, preliminar a ela. Como acabamos de ver, e como observa Poincaré, criar consiste precisamente em não fazer combinações inúteis e em examinar apenas aquelas que são úteis e que representam apenas uma pequena minoria. Invenção é discernimento, escolha.

Inventar é escolher . Esta conclusão notável torna-se ainda mais surpreendente se a compararmos com o que Paul Valéry escreve na Nouvelle Revue Française : "São necessários dois para inventar qualquer coisa. Um cria combinações; o outro escolhe, reconhece o que deseja e o que lhe é importante na massa de coisas que o primeiro lhe transmitiu."

"O que chamamos de gênio é muito menos obra do primeiro do que da prontidão do segundo em apreender o valor daquilo que lhe foi apresentado e em escolhê-lo."

Percebemos como o matemático e o poeta concordam de forma admirável nessa visão fundamental da invenção como sendo uma escolha.

Estética na Invenção . Como fazer tal escolha As regras que devem guiá-la "são extremamente sutis e delicadas. É quase impossível enunciá-las com precisão; elas são sentidas em vez de formuladas. Nessas condições, como podemos imaginar uma peneira capaz de aplicá-las mecanicamente"

Embora não vejamos diretamente essa peneira em funcionamento, podemos responder à pergunta, pois estamos cientes dos resultados que ela proporciona, ou seja, as combinações de ideias que são percebidas por nossa mente consciente. Esse resultado não é duvidoso. "Os fenômenos inconscientes privilegiados, aqueles suscetíveis de se tornarem conscientes, são aqueles que, direta ou indiretamente, afetam mais profundamente nossa sensibilidade emocional."

"Pode parecer surpreendente ver a sensibilidade emocional invocada em relação a demonstrações matemáticas que, ao que parece, só interessam ao intelecto. Isso seria esquecer o sentimento de beleza matemática, da harmonia entre números e formas, da elegância geométrica. Este é um verdadeiro sentimento estético que todos os matemáticos de verdade conhecem, e certamente pertence à sensibilidade emocional."

Que um elemento afetivo é parte essencial de toda descoberta ou invenção é evidente, e tem sido enfatizado por diversos pensadores; de fato, é claro que nenhuma descoberta ou invenção significativa pode ocorrer sem a vontade de descobrir. Mas com Poincaré, vemos algo diferente, a intervenção do senso de beleza desempenhando seu papel como um meio indispensável para a descoberta. Chegamos, portanto, à dupla conclusão:

Que a invenção é uma escolha,
e que essa escolha é imperativamente regida pelo senso de beleza científica.

Hadamard descreveu Poincaré como a fonte da ideia básica, mas atribuiu a Paul Valéry a ideia de que existem dois estágios na criatividade, talvez até duas entidades - uma para gerar possibilidades alternativas aleatórias e a outra para selecionar ou escolher a melhor alternativa.

Essas sugestões de Hadamard influenciaram significativamente o modelo de tomada de decisão em dois estágios de Daniel Dennett , de 1978 , posteriormente denominado "Valeryano". Dennett cita Valéry: "São necessários dois para inventar qualquer coisa...", e então imagina os dois estágios em uma única mente.

Hadamard citou Mozart para mostrar que o primeiro estágio envolve ideias que simplesmente "nos vêm" livremente.

Quando me sinto bem e de bom humor, ou quando estou dirigindo ou caminhando depois de uma boa refeição, ou à noite quando não consigo dormir, os pensamentos invadem minha mente com a maior facilidade possível. De onde e como vêm Não sei e não tenho nada a ver com isso. Aqueles que me agradam, guardo na cabeça e os murmuro; pelo menos, é o que me dizem... Então, minha alma se inflama de inspiração.

Tanto Hadamard quanto Poincaré descrevem ideias que "se apresentam", como William James as descreveu.

Em 1906, Hadamard escreveu uma resenha dos " Princípios Elementares da Mecânica Estatística " de Josiah Willard Gibbs (Bulletin of the American Mathematical Society, 12 , p. 194-210). Ele a chamou de matemática pura, aplicando o cálculo de probabilidades (de Laplace e outros) à mecânica.

Ele escreveu:

Resta abordar a questão mais importante e delicada que surge no estudo da fase de distribuição. O que acontece a essa distribuição durante o movimento, quando faz parte de algum estado: ela tende, por exemplo, a se aproximar da distribuição canônica ou de qualquer distribuição com propriedades semelhantes?

Em suma, esta é a questão vital para as teorias cinéticas. O paradoxo relacionado, e que à primeira vista parece determinar de antemão qualquer teoria deste tipo, é o seguinte: como podem as equações da dinâmica, que são todas reversíveis , levar a leis irreversíveis , ao crescimento da entropia (p. 201)

[Il reste a traiter la question la plus importante et la plus délicate que soulève este étude de la Distribution en phase. Que devient esta distribuição no curso do movimento, quando parte de um estado quelconque: tende-elle, por exemplo, a se aproximar da distribuição canônica ou de uma distribuição presente de propriedades análogas?

Esta é, em parte, a questão vital para as teorias cinematográficas. O paradoxo que s'y rattache et qui parece, au premier abord, mineiro por avançar toda a teoria desta natureza é o seguinte. Comentário, eu partant d'équations de la dinamique, toutes réversibles , parviendra-t-on às lois irreversibles , à la croissance de l'entropie?]

Desenvolvemos uma resposta em nosso tratamento da microirreversibilidade .