Ensaio de Laplace sobre Probabilidades
CAPÍTULO I.
INTRODUÇÃO.
Este ensaio filosófico é o desenvolvimento de um
palestra sobre probabilidades que proferi em 1795 para
as escolas normais para onde eu havia sido chamado, por um
decreto da convenção nacional, como professor de
matemática com Lagrange. Recentemente publiquei
Sobre o mesmo assunto, uma obra intitulada A Analítica
Teoria das Probabilidades. Apresento aqui sem o
auxílio da análise dos princípios e resultados gerais deste
teoria, aplicando-as às questões mais importantes
da vida, que na verdade são, em sua maioria, apenas problemas
de probabilidade. Estritamente falando, pode-se até dizer
que quase todo o nosso conhecimento é problemático; e em
o pequeno número de coisas que somos capazes de conhecer.
Com certeza, mesmo nas ciências matemáticas.
elas mesmas, o principal meio para apurar a verdade,
A indução e a analogia baseiam-se em probabilidades;
2. UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
de modo que todo o sistema de conhecimento humano seja con-
relacionado com a teoria apresentada neste ensaio. Dúvida-
menos será visto aqui com interesse que, ao considerar,
mesmo nos princípios eternos da razão, da justiça e
humanidade, apenas as chances favoráveis que são con-
Estando constantemente ligado a eles, há uma grande vantagem em
seguindo esses princípios e sérios inconvenientes em
afastando-se deles: suas chances, como aquelas favor-
capaz de loterias, sempre termina prevalecendo no meio
das oscilações do perigo. Espero que o reflexo-
As ideias apresentadas neste ensaio podem merecer a atenção de
filósofos e direcioná-lo a um assunto tão digno de
estimulando suas mentes.
Sumário
3 CAPÍTULO II.
RELATIVO À PROBABILIDADE.
TODOS os eventos, mesmo aqueles que, por conta de sua
A insignificância parece não seguir as grandes leis de
natureza, são um resultado dela tão necessariamente quanto a revolução-
ções do sol. Na ignorância dos laços que unem
tais eventos para todo o sistema do universo, eles
foram levadas a depender de causas finais ou de
perigo, conforme ocorram e se repitam com
regularidade, ou aparecer sem levar em conta a ordem; mas estes
causas imaginárias foram gradualmente desaparecendo com o
ampliar os limites do conhecimento e desaparecer completamente
antes da filosofia sólida, que vê neles apenas o
expressão da nossa ignorância quanto às verdadeiras causas.
Os eventos atuais estão conectados aos eventos anteriores.
por um empate baseado no princípio evidente de que uma coisa
Não pode ocorrer sem uma causa que a produza. Isto
axioma, conhecido pelo nome de princípio da suficiência
razão, estende-se até mesmo a ações que são consideradas
indiferente; a vontade mais livre é incapaz sem uma determinação.
motivo inato para dar à luz; se assumirmos dois
posições com circunstâncias exatamente semelhantes e encontrar
que a vontade é ativa em um e inativa no outro
4. UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
Caso contrário, dizemos que sua escolha é um efeito sem causa.
É então, diz Leibniz, o acaso cego do
Epicuristas. A opinião contrária é uma ilusão dos
mente, que, perdendo de vista as razões evasivas do
A escolha da vontade em coisas indiferentes, acredita que
A escolha é determinada por si mesma e sem motivações.
Devemos então considerar o estado atual do
universo como efeito de seu estado anterior e como o
causa daquela que se segue. Dado para um
instantaneamente uma inteligência que pudesse compreender tudo
forças que animam a natureza e as respectivas
situação dos seres que a compõem uma inteligência
suficientemente vasto para submeter esses dados à análise.
abrangeriam na mesma fórmula os movimentos de
os maiores corpos do universo e aqueles do
átomo mais leve; para ele, nada seria incerto e
O futuro, assim como o passado, estaria presente aos seus olhos.
A mente humana oferece, na perfeição que possui
ter sido capaz de dar à astronomia uma vaga ideia disso.
inteligência. Suas descobertas em mecânica e geometria,
Somadas à gravidade universal, permitiram que ela...
compreender nas mesmas expressões analíticas o
Estados passados e futuros do sistema mundial.
Aplicar o mesmo método a outros objetos do mesmo tipo.
conhecimento, conseguiu fazer referência a leis gerais
fenômenos observados e na previsão daqueles que
dadas as circunstâncias, tudo deveria produzir resultados. Todos esses esforços
Na busca pela verdade, tendemos a retornar continuamente a ela.
à vasta inteligência que acabamos de mencionar,
mas da qual sempre permanecerá infinitamente distante.
Essa tendência, peculiar à raça humana, é que
o que a torna superior aos animais; e seu progresso
SOBRE PROBABILIDADE. 5
Nesse aspecto, distingue nações e épocas e con-
constitui sua verdadeira glória.
Recordemos que antigamente, e não em época remota,
uma chuva incomum ou uma seca extrema, um cometa tendo
em trem uma cauda muito longa, os eclipses, a aurora
borealis, e em geral todos os fenômenos incomuns
foram considerados como muitos sinais da ira celestial.
O Céu foi invocado para evitar seus malefícios.
influência. Ninguém rezava para ter os planetas e o
sol parou em seu curso: a observação logo
tornou evidente a futilidade de tais orações. Mas como
esses fenômenos, que ocorrem e desaparecem em longos períodos
intervalos, pareciam opor-se à ordem da natureza, era
supôs-se que o Céu, irritado com os crimes do
A Terra os havia criado "para anunciar sua vingança".
Assim, a longa cauda do cometa de 1456 espalhou terror.
pela Europa, já mergulhada em consternação por
os rápidos sucessos dos turcos, que tinham acabado de ultrapassar-
lançou o Baixo Império. Esta estrela após quatro revoluções-
O tema despertou em nós um interesse muito diferente.
O conhecimento das leis do sistema mundial
O que foi adquirido nesse intervalo dissipou os medos.
gerado pela ignorância da verdadeira relação de
homem para o universo; e Halley, tendo reconhecido
a identidade deste cometa com os do ano de 1531,
Em 1607 e 1682, anunciou seu próximo retorno para o fim.
do ano de 1758 ou do início do ano de 1759.
O mundo erudito aguardava com impaciência esse retorno.
que confirmaria uma das maiores descobertas
que foram feitos nas ciências e cumprem o
previsão de Sêneca quando ele disse, ao falar do
revoluções daquelas estrelas que caem de um enorme
6. UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
altura: "Chegará o dia em que, por meio de estudos realizados
Ao longo de várias eras, as coisas agora ocultas irão
aparecerão com provas; e a posteridade ficará admirada.
que verdades tão claras nos haviam escapado." Clairaut então
comprometeu-se a submeter à análise as perturbações que
o cometa havia experimentado pela ação dos dois
grandes planetas, Júpiter e Saturno; após imensas cal-
cálculos que ele fixou sua próxima passagem no periélio
por volta do início de abril de 1759, que na verdade foi
verificado por observação. A regularidade que a astronomia
mostra-nos nos movimentos dos cometas, sem dúvida.
existe também em todos os fenômenos.
A curva descrita por uma simples molécula de ar ou
O vapor é regulamentado de maneira tão precisa quanto o...
órbitas planetárias; a única diferença entre elas é
Aquilo que provém da nossa ignorância.
A probabilidade é relativa, em parte devido a essa ignorância, em
parte do nosso conhecimento. Sabemos que de três ou um
Um número maior de eventos deveria ocorrer antes que um único evento acontecesse;
mas nada nos leva a crer que um deles irá
ocorrerem em vez das outras. Nesse estado de indecisão
é impossível para nós anunciar a sua ocorrência com
certeza. É provável, no entanto, que uma destas
Os eventos, escolhidos arbitrariamente, não ocorrerão porque vemos
vários casos igualmente possíveis que excluem sua ocorrência-
rence, embora apenas um único o favoreça.
A teoria do acaso consiste em reduzir todas as
eventos do mesmo tipo para um certo número de casos
igualmente possível, isto é, para aqueles que podemos ser
igualmente indecisos quanto à sua existência,
e na determinação do número de casos favoráveis a
O evento cuja probabilidade se busca. A razão de
SOBRE PROBABILIDADE. 7
esse número em relação ao total de casos possíveis é o
medida dessa probabilidade, que é, portanto, simplesmente uma
fração cujo numerador é o número de favoráveis
casos e cujo denominador é o número de todos os
casos possíveis.
A noção de probabilidade anterior pressupõe que,
aumentando na mesma proporção o número de favoráveis
casos e, dentre todos os casos possíveis, a probabilidade
permanece o mesmo. Para nos convencermos, deixe
Vamos considerar duas urnas, A e B, a primeira contendo quatro
uma branca e duas pretas, e a segunda contendo
apenas duas bolas brancas e uma preta. Nós podemos
imagine as duas bolas pretas da primeira urna unidas por
um fio que se rompe no momento em que um dos
eles são agarrados para serem retirados, e os quatro
As bolas brancas formam, assim, dois sistemas semelhantes. Todas as
chances que favorecerão a captura de uma das bolas
do sistema preto levará a uma bola preta. Se nós
Imagine agora que os fios que unem as bolas
sem quebrar de forma alguma, é claro que o número de possibilidades
As probabilidades não mudarão mais do que as de
chances favoráveis à extração das bolas pretas;
mas duas bolas serão retiradas da urna ao mesmo tempo
tempo; a probabilidade de retirar uma bola preta do
A urna A será então igual à inicial. Mas então nós
temos obviamente o caso da urna B com a única diferença-
ência que as três bolas desta última urna seriam
substituído por três sistemas de duas bolas invariavelmente con-
conectado.
Quando todos os casos são favoráveis a um evento,
A probabilidade se transforma em certeza e sua expressão.
torna-se igual à unidade. Sob essa condição, a certeza
8. UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
e probabilidade são comparáveis, embora possa haver
uma diferença essencial entre os dois estados do
mente quando uma verdade lhe é rigorosamente demonstrada, ou
quando ainda percebe uma pequena fonte de erro.
Em coisas que são apenas prováveis, a diferença de
Os dados que cada homem possui a seu respeito são um
das principais causas da diversidade de opiniões que
prevalecem em relação aos mesmos objetos. Suponhamos,
Por exemplo, que temos três urnas, A, B, C, uma das quais
que contém apenas bolas pretas, enquanto as outras duas
contêm apenas bolas brancas; uma bola deve ser retirada de
a urna C e a probabilidade é exigida de que isso
A bola será preta. Se não soubermos qual das
três urnas contêm apenas bolas pretas, de modo que não há
motivo para acreditar que seja C em vez de B ou A, estes
Três hipóteses parecerão igualmente possíveis, e visto que
Uma bola preta só pode ser sorteada na primeira hipótese.
a probabilidade de sorteá-lo é igual a um terço. Se
Sabe-se que a urna A contém apenas bolas brancas.
A indecisão, então, estende-se apenas às urnas B e C.
e a probabilidade de a bola retirada da urna C
será preto é metade. Finalmente, esta probabilidade
mudanças na certeza se tivermos a garantia de que as urnas A
e B contêm apenas bolas brancas.
Assim, um incidente relacionado a numerosos
A assembleia encontra vários graus de credibilidade, de acordo com
até o limite do conhecimento dos auditores. Se o
O homem que relata isso está plenamente convencido disso e se, por
Sua posição e caráter inspiram grande confiança.
Sua declaração, por mais extraordinária que seja, será
ter para os auditores que não possuem as mesmas informações
grau de probabilidade como uma afirmação comum feita
SOBRE PROBABILIDADE. 9
pelo mesmo homem, e eles terão fé plena nisso.
Mas se algum deles souber que o mesmo incidente ocorreu
Se for rejeitado por outros homens igualmente confiáveis, ele irá
Se houver dúvidas, o incidente será desacreditado por
auditores esclarecidos, que o rejeitarão, seja ele qual for.
com relação a fatos bem comprovados ou leis imutáveis.
da natureza.
Isso se deve à influência da opinião daqueles que
a multidão julga melhor informado e a quem isso tem
estava acostumada a demonstrar sua confiança em relação a
as questões mais importantes da vida que a propagação
Desses erros se deve ao fato de que, em tempos de ignorância,
cobriu a face da terra. Magia e astrologia
nos oferecem dois ótimos exemplos. Esses erros foram inculcados
na infância, adotados sem exame, e tendo
tendo como base apenas a credibilidade universal, mantiveram-se firmes.
eles mesmos durante um longo tempo; mas finalmente o
O progresso da ciência os destruiu na mente de
homens esclarecidos, cuja opinião, consequentemente, tem
fez com que desaparecessem até mesmo entre as pessoas comuns.
pessoas, através do poder da imitação e do hábito que
haviam se espalhado tão amplamente pelo exterior. Esse poder,
o recurso mais rico do mundo moral, estabelece e
conserva em toda uma nação ideias totalmente contrárias a
aqueles que defende em outros lugares com o mesmo
autoridade. Que indulgência não deveríamos então a
ter opiniões diferentes das nossas, quando essa diferença-
A ência muitas vezes depende apenas dos vários pontos de vista.
Onde as circunstâncias nos colocaram! Vamos iluminar
aqueles que julgamos insuficientemente instruídos; mas primeiro
Vamos examinar criticamente nossas próprias opiniões e ponderá-las.
com imparcialidade, suas respectivas probabilidades.
10. UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
A diferença de opiniões depende, no entanto, de
a maneira como a influência dos dados conhecidos é
determinado. A teoria das probabilidades se mantém válida para con-
considerações tão delicadas que não é surpreendente que com
Os mesmos dados podem levar duas pessoas a resultados diferentes.
especialmente em questões muito complicadas. Vamos lá
Examinemos agora os princípios gerais desta teoria.
Sumário
CAPÍTULO III.
PRINCÍPIOS GERAIS DO CÁLCULO DE PROBABILIDADES.
Primeiro princípio. O primeiro desses princípios é o
definição própria de probabilidade, que, como já foi visto,
é a proporção entre o número de casos favoráveis e o de
todos os casos possíveis.
Segundo princípio. Mas isso pressupõe os vários
casos igualmente possíveis. Se não forem assim, nós
primeiro determinam suas respectivas possibilidades, cujas
A apreciação precisa é um dos pontos mais delicados de
a teoria do acaso. Então a probabilidade será
a soma das possibilidades de cada caso favorável.
Vamos ilustrar esse princípio com um exemplo.
Suponhamos que lancemos ao ar uma grande quantidade de material.
e moeda muito fina cujas duas faces grandes opostas,
que chamaremos de cara e coroa, são perfeitamente semelhantes.
Vamos calcular a probabilidade de tirar pelo menos cara.
uma vez em dois lançamentos. É claro que quatro igualmente
Podem surgir casos possíveis, nomeadamente, cabeças no primeiro
e no segundo lançamento; cabeças no primeiro lançamento e
cara no segundo lançamento; cara no primeiro lançamento e coroa
Na segunda tentativa; finalmente, coroa em ambos os lançamentos. A primeira
12. UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
Três casos são favoráveis ao evento cuja probabilidade
é procurado; consequentemente, essa probabilidade é igual a 3/4;
de modo que a aposta é de três para um de que sairá cara.
Lançado pelo menos uma vez em dois lançamentos.
Neste jogo, podemos considerar apenas três casos diferentes.
ou seja, caras no primeiro lançamento, o que dispensa
lançando uma segunda vez; cara no primeiro lançamento e
cara na segunda; finalmente, coroa na primeira e na segunda.
segundo lançamento. Isso reduziria a probabilidade para
2/3 se devemos considerar com d'Alembert estes três
casos igualmente possíveis. Mas é evidente que o
A probabilidade de sair cara no primeiro lançamento é 1/2.
enquanto que nos outros dois casos é J, o primeiro caso
sendo um evento simples que corresponde a dois eventos
combinado: cabeças no primeiro e no segundo lançamento,
e cara no primeiro lançamento, coroa no segundo. Se
Em seguida, em conformidade com o segundo princípio, adicionamos o
possibilidade f de cara no primeiro lançamento para o possível-
habilidade J de coroas no primeiro lançamento e caras no segundo
Em segundo lugar, teremos f para a probabilidade procurada,
o que concorda com o que se encontra na suposição
quando jogamos os dois lançamentos. Essa 'suposição'
não altera em nada a chance daquele que aposta em
este evento; ele serve simplesmente para reduzir os vários casos.
para todos os casos igualmente possíveis.
Terceiro princípio. Um dos pontos mais importantes.
da teoria das probabilidades e daquilo que empresta a
O mais importante para as ilusões é a maneira como esses problemas são apresentados.
As habilidades aumentam ou diminuem pela sua combinação mútua.
ção. Se os eventos forem independentes uns dos outros, o
A probabilidade de sua existência combinada é o produto
de suas respectivas probabilidades. Assim, a probabilidade
CÁLCULO DE PROBABILIDADES. 13
de tirar um ás com um único dado é ^; que de
tirar dois ases ao lançar dois dados ao mesmo tempo
tempo é --$. Cada rosto daquele que é capaz de com-
bine com as seis faces do outro, existem de fato
trinta e seis casos igualmente possíveis, entre os quais um
Um único caso resulta em dois ases. Geralmente, a probabilidade é...
que um evento simples nas mesmas circunstâncias irá
ocorrer consecutivamente um determinado número de vezes é igual a
a probabilidade desse evento simples elevada à potência
indicado por este número. Tendo assim o sucessivo
potências de uma fração menor que a unidade decrescendo sem
cessar, um evento que depende de uma série de fatores muito
Grandes probabilidades podem se tornar extremamente improváveis.
Suponha então que um incidente nos seja transmitido por
vinte testemunhas de tal maneira que a primeira tenha
transmitiu para o segundo, o segundo para o terceiro,
e assim por diante. Suponha novamente que a probabilidade de cada
o testemunho seja igual à fração T 9; que do
A incidência de incidentes decorrentes dos depoimentos será menor.
do que . Não podemos comparar melhor esta diminuição de
a probabilidade do que com a extinção da luz de
objetos pela interposição de várias peças de vidro.
Um número relativamente pequeno de peças é suficiente para levar
afastando a visão de um objeto que uma única peça permite
nos permitem perceber de uma maneira distinta. Os historiadores fazem
não parecem ter dado a devida atenção a isso.
degradação da probabilidade de eventos quando vistos
ao longo de um grande número de gerações sucessivas; muitas
Eventos históricos considerados certos seriam pelo menos
Duvido que eles tenham sido submetidos a esse teste.
Nas ciências puramente matemáticas, o mais distante
as consequências participam da certeza do princípio-
14 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
torta da qual eles são derivados. Nas aplicações
Da análise à física, os resultados têm toda a certeza.
de fatos ou experiências. Mas nas ciências morais,
onde cada inferência é deduzida daquilo que pré-
cede-o apenas de maneira provável, por mais provável que seja.
Essas deduções podem ser feitas, mas a probabilidade de erro aumenta.
com seu número e, em última análise, supera a probabilidade
da verdade nas consequências muito remotas do
princípio.
Quarto princípio. Quando dois eventos dependem de
um ao outro, a probabilidade do evento composto é
o produto da probabilidade do primeiro evento e o
probabilidade de que, tendo ocorrido este evento, o segundo
ocorrerá. Assim, no caso anterior dos três
urnas A, B, C, das quais duas contêm apenas bolas brancas
e uma contém apenas bolas pretas, a probabilidade de
retirar uma bola branca da urna C é f, já que do
De três urnas, apenas duas contêm bolas dessa cor. Mas
quando uma bola branca for retirada da urna C, a
indecisão em relação àquela das urnas que contêm
Apenas as bolas pretas se estendem somente às urnas A e B;
a probabilidade de retirar uma bola branca da urna B
é ; o produto de \ por , ou , é então a probabilidade
de retirar duas bolas brancas de cada vez das urnas
B e C.
Vemos por meio deste exemplo a influência de eventos passados.
com base na probabilidade de eventos futuros. Para a probabilidade-
habilidade de retirar uma bola branca da urna B, que
é principalmente f, torna-se \ quando uma bola branca foi
retirado da urna C; mudaria para certeza se
Uma bola preta havia sido retirada da mesma urna. Nós
determinará essa influência por meio do seguinte:
CÁLCULO DE PROBABILIDADES. 15
princípio ing, que é um corolário do precedente
um.
Quinto Princípio. Se calcularmos a priori a probabilidade-
capacidade do evento ocorrido e a probabilidade de um
evento composto por aquele e um segundo que é
esperado, a segunda probabilidade dividida pela primeira
será a probabilidade do evento esperado, sorteado
a partir do evento observado.
Apresenta-se aqui a questão levantada por alguns.
filósofos abordando a influência do passado sobre
a probabilidade do futuro. Suponhamos que no
No jogo de cara ou coroa, cara tem ocorrido com mais frequência.
do que coroas. Só por isso seremos levados a crer
que na constituição da moeda existe um segredo
causa que a favorece. Assim, na conduta da vida.
A felicidade constante é uma prova de competência que
deve nos levar a empregar, preferencialmente, pessoas felizes.
Mas se, pela imprevisibilidade das circunstâncias, estivermos convencidos...
constantemente trazido de volta a um estado de absoluta indecisão,
se, por exemplo, trocarmos a moeda a cada lançamento no
Jogo de cara ou coroa, o passado não pode esclarecer nada.
o futuro, e seria absurdo levá-lo em consideração.
Sexto Princípio. Cada uma das causas às quais um
O evento observado pode ser atribuído conforme indicado por apenas
tanta probabilidade quanto a probabilidade de o evento ocorrer
ocorrerá, supondo que o evento seja constante.
A probabilidade da existência de qualquer um destes
causas é então uma fração cujo numerador é a probabilidade-
capacidade do evento resultante desta causa e cuja
O denominador é a soma das probabilidades semelhantes.
em relação a todas as causas; se essas várias causas, con-
considerados a priori, são desigualmente prováveis, é necessário,
16. UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
em vez da probabilidade do evento resultante de
Para cada causa, deve-se empregar o produto dessa probabilidade.
pela possibilidade da própria causa. Este é o fundamento.
princípio mental deste ramo da análise de probabilidades
que consiste em passar dos eventos às causas.
Este princípio explica por que atribuímos algo.
eventos regulares em prol de uma causa específica. Alguns filósofos
tenho pensado que esses eventos são menos prováveis do que
outros e isso no jogo de cara ou coroa, para
Por exemplo, a combinação em que ocorre cara vinte vezes.
tempos sucessivos é menos fácil por natureza do que aqueles
onde cabeças e caudas estão misturadas de maneira irregular.
Mas essa opinião pressupõe que os eventos passados tenham um
influência na possibilidade de eventos futuros, que é
De forma alguma admissível. As combinações regulares ocorrem.
Mais raramente, simplesmente porque são menos numerosos. Se
Buscamos uma causa onde quer que percebamos simetria; é
Não que consideremos um evento simétrico menos possível.
do que os outros, mas, como este evento deveria ser o
efeito de uma causa regular ou do acaso, o primeiro de
Essa suposição é mais provável do que a segunda.
Em uma mesa vemos letras dispostas nesta ordem:
Constantinopla, e julgamos que este arranjo-
O sucesso não é resultado do acaso, não porque seja menos provável.
possível do que as outras, pois se esta palavra não fosse
empregado em qualquer idioma, não devemos suspeitar disso.
veio de qualquer causa específica, mas esta palavra sendo em
seu uso entre nós, é incomparavelmente mais provável que
Alguém organizou assim as cartas mencionadas.
do que essa situação ser devida ao acaso.
Este é o lugar para definir a palavra extraordinário.
Organizamos em nossos pensamentos todos os eventos possíveis de várias maneiras.
CÁLCULO DE PROBABILIDADES. 17
classes; e consideramos extraordinárias aquelas classes
que incluem um número muito pequeno. Assim, na peça
de caras e coroas a ocorrência de caras cem
Os tempos sucessivos nos parecem extraordinários por causa de
o número quase infinito de combinações que podem
ocorrem em cem lançamentos; e se dividirmos o com-
combinações em séries regulares contendo uma ordem fácil
para compreender, e em séries irregulares, estas últimas são
incomparavelmente mais numerosos. O desenho de um
bola branca de uma urna que estava entre um milhão de bolas
Contém apenas uma unidade desta cor, sendo as outras pretas.
nos pareceria igualmente extraordinário, porque nós
formam apenas duas classes de eventos em relação às duas
cores. Mas o desenho do número 475813, para
Por exemplo, de uma urna que contém um milhão de números.
nos parece um evento comum; porque, comparando
individualmente os números uns com os outros sem
dividindo-os em classes, não temos motivo para
Acredito que um deles aparecerá antes do outro.
outros.
Com base no que foi exposto, devemos, em geral, concluir que...
que quanto mais extraordinário o evento, maior o
É necessário que seja sustentado por provas robustas. Pois
aqueles que o atestam, sendo capazes de enganar ou de ter
tendo sido enganados, essas duas causas são muito mais
provável, já que a realidade do evento é menor. Nós iremos
Isso fica particularmente evidente quando falamos de...
probabilidade de testemunho.
Sétimo princípio. A probabilidade de um evento futuro.
é a soma dos produtos da probabilidade de cada
causa, extraída do evento observado, pelo prob-
capacidade que, esta causa existente, o evento futuro irá
18 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
ocorrer. O exemplo a seguir ilustrará isso.
princípio.
Vamos imaginar uma urna que contenha apenas duas bolas,
cada um dos quais pode ser branco ou preto. Um dos
essas bolas são retiradas e colocadas de volta na urna antes
prosseguindo para um novo sorteio. Suponha que no primeiro
Em dois sorteios, foram sorteadas duas bolas brancas; o problema-
habilidade de novamente sortear uma bola branca no terceiro sorteio
é necessário.
Aqui, só é possível formular duas hipóteses: ou uma
Uma das bolas é branca e a outra preta, ou ambas são pretas?
branco. Na primeira hipótese, a probabilidade do
O evento observado é J; trata-se de unidade ou certeza no
segundo. Assim, ao considerar essas hipóteses como sendo tão
muitas causas teremos para o sexto princípio.
% e | para suas respectivas probabilidades. Mas se o
A primeira hipótese que surge é a probabilidade de se obter um resultado.
A bola branca no terceiro sorteio é ^; é igual à certeza.
na segunda hipótese; multiplicando então o último
probabilidades pelas das hipóteses correspondentes,
A soma dos produtos, ou T 9 ^, será a probabilidade
de sortear uma bola branca no terceiro sorteio.
Quando a probabilidade de um único evento é desconhecida
Podemos supor que seja igual a qualquer valor de zero a
unidade. A probabilidade de cada uma dessas hipóteses,
extraído do evento observado, é, pelo sexto princípio-
princípio, uma fração cujo numerador é a probabilidade de
o evento nesta hipótese e cujo denominador é
a soma das probabilidades semelhantes relativas a todos os
hipóteses. Assim, a probabilidade de que a possibilidade
do evento está compreendido dentro de determinados limites é a soma
das frações compreendidas dentro desses limites. Agora, se
CÁLCULO DE PROBABILIDADES. 19
Multiplicamos cada fração pela probabilidade do
evento futuro, determinado na hipótese correspondente-
sis, a soma dos produtos relativos a todas as hipóteses
será, pelo sétimo princípio, a probabilidade do
evento futuro derivado do evento observado. Assim
Constatamos que um evento que ocorreu sucessivamente qualquer
Número de vezes, a probabilidade de isso acontecer.
Novamente, na próxima vez será igual a esse número aumentado.
por unidade dividido pelo mesmo número, aumentado por
duas unidades. Remontando à época mais antiga da história.
há cinco mil anos, ou há 182.623 dias, e o
o sol nascendo constantemente no intervalo de cada
Revolução de vinte e quatro horas, é uma aposta de 1826214
para uma que ressurgirá amanhã. Mas isto
O número é incomparavelmente maior para aquele que, reconhece-
ing na totalidade dos fenômenos o principal regulador
de dias e estações, vê que nada no presente
O momento pode interromper o seu curso.
Buffon, em sua obra Aritmética Política, calcula de forma diferente.
a probabilidade anterior. Ele supõe que ela difere
da unidade apenas por uma fração cujo numerador é a unidade.
e cujo denominador é o número 2 elevado a um
potência igual ao número de dias decorridos
desde a época. Mas a verdadeira maneira de se relacionar
eventos passados com a probabilidade de causas e de eventos futuros
Os acontecimentos eram desconhecidos para este ilustre escritor.
Sumário
20 CAPÍTULO IV.
SOBRE A ESPERANÇA.
A probabilidade de eventos serve para determinar a
esperança ou medo de pessoas interessadas em sua existência-
ência. A palavra esperança tem várias acepções; ela
expressa geralmente a vantagem daquele que
espera um certo benefício em suposições que são apenas
provável. Essa vantagem na teoria do acaso é
um produto da soma esperada pela probabilidade de
obtendo-o; é a soma parcial que deveria resultar
quando não desejamos correr os riscos do evento em
supondo que a divisão seja feita proporcionalmente ao
probabilidades. Esta divisão é a única equitativa.
quando todas as circunstâncias estranhas forem eliminadas; porque
um mesmo grau de probabilidade confere um direito igual a
a soma esperada. Chamaremos isso de vantagem.
esperança matemática.
Oitavo princípio. Quando a vantagem depende de
vários eventos são obtidos somando-se os
produtos da probabilidade de cada evento pelo benefício
relacionado à sua ocorrência.
Vamos aplicar esse princípio a alguns exemplos.
SOBRE A ESPERANÇA. 21
Vamos supor que, no jogo de cara ou coroa, Paulo
Recebe dois francos se tirar cara no primeiro lançamento.
e cinco francos se ele atirar apenas no segundo.
Multiplicando dois francos pela probabilidade do primeiro
caso, e cinco francos pela probabilidade do segundo
caso, a soma dos produtos, ou dois e um quarto
francos, será a vantagem de Paulo. É a soma que
Ele deveria dar antecipadamente àquele que já deu.
ele essa vantagem; pois, para manter o
Em igualdade de condições, o arremesso deve ser igual a
a vantagem que isso proporciona.
Se Paulo receber dois francos por atirar cabeças no
primeiro e cinco francos, jogando-o no segundo lançamento,
Se ele a lançou ou não na primeira tentativa, o problema é...
habilidade de acertar a cabeça no segundo arremesso sendo,
multiplicando dois francos e cinco francos pela soma de
estes produtos darão três francos e meio por
A vantagem de Paulo e, consequentemente, sua participação no
jogo.
Nono princípio. Em uma série de eventos prováveis de
que algumas produzem um benefício e outras uma perda,
Teremos a vantagem que resulta disso.
somando os produtos das probabilidades de cada um
evento favorável pelo benefício que proporciona, e
subtraindo dessa soma a soma dos produtos dos
probabilidade de cada evento desfavorável pela perda que
está anexado a ele. Se a segunda soma for maior que a
Primeiro, o benefício se transforma em perda e a esperança se transforma em...
temer.
Consequentemente, devemos sempre, na conduta da vida, agir assim.
para produzir o benefício esperado, por meio de seu produto.
probabilidade, pelo menos igual à relativa do produto similar
22 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
à perda. Mas é necessário, para alcançar isso,
para apreciar exatamente as vantagens, as perdas e
suas respectivas probabilidades. Para isso, uma grande precisão.
de espírito, um julgamento delicado e uma grande experiência.
É necessário saber como lidar com assuntos pessoais; é preciso saber como
proteger-se contra preconceitos, ilusões ou medo.
esperança e ideias errôneas, ideias de fortuna e felicidade.
ness, com a qual a maioria das pessoas alimenta seu auto-
amor.
A aplicação dos princípios precedentes ao
A seguinte questão tem exercitado bastante a geometria-
cianos. Paulo joga cara ou coroa com a condição
de receber dois francos se ele acertar a primeira cara
thro\v, quatro francos se ele jogar apenas no segundo
arremesso, oito francos se ele arremessar apenas no terceiro,
e assim por diante. Sua participação na peça deveria ser, de acordo com-
indo para o oitavo princípio, igual ao número de
lançamentos, de modo que se o jogo continuar ao infinito o
A aposta deveria ser infinita. No entanto, não há nada razoável nisso.
Um homem desejaria arriscar neste jogo até mesmo uma pequena quantia,
Por exemplo, cinco francos. De onde vem essa diferença?
diferença entre o resultado do cálculo e a indicação
de bom senso Logo percebemos que se resume a...
a isto: que a vantagem moral que um benefício pró-
A cura para nós não é proporcional a esse benefício e isso
Depende de inúmeras circunstâncias, muitas vezes muito diversas.
difícil de definir, mas das quais as mais gerais e
O mais importante é o da fortuna.
De fato, é evidente que um franco tem muito mais
valor para quem possui apenas cem do que para um
milionário. Devemos então distinguir no
O benefício esperado diferenciou seu valor absoluto de seu valor relativo.
SOBRE A ESPERANÇA. 23
Mas este último é regulado pelos motivos que fazem
é desejável, enquanto o primeiro é independente deles.
O princípio geral para apreciar esse relativo
Não é possível atribuir um valor específico, mas aqui está um proposto por
Daniel Bernoulli, que será útil em muitos casos.
Décimo princípio. O valor relativo de um infinito
Uma pequena soma é igual ao seu valor absoluto dividido por...
benefício total da pessoa interessada. Isso pressupõe
que cada um possui um certo benefício cujo valor pode
nunca deve ser estimado como zero. De fato, mesmo aquele que
não possui nada, sempre dá ao produto do seu
trabalho e, segundo suas expectativas, um valor pelo menos igual a isso.
o que é absolutamente necessário para sustentá-lo.
Se aplicarmos a análise ao princípio que acabamos de propor,
Obtemos a seguinte regra: Vamos designar por unidade
a parte da fortuna de um indivíduo, independente de
suas expectativas. Se determinarmos os diferentes valores.
que esta fortuna pode ter em virtude dessas expectativas-
ções e suas probabilidades, o produto desses valores
elevados respectivamente às potências indicadas por seus
As probabilidades serão a fortuna física que seria
obter para o indivíduo a mesma vantagem moral
que ele recebe da parte de sua fortuna tomada como
unidade e de suas expectativas; subtraindo a unidade
A partir do produto, a diferença será o aumento de
a fortuna física devido às expectativas: nós ligaremos
isso aumenta a esperança moral. É fácil ver que isso gera...
morre com a esperança matemática quando a fortuna é tomada
à medida que a unidade se torna infinita em relação às variações.
que recebe das expectativas. Mas quando
Essas variações constituem uma parte considerável dessa unidade.
24 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
As duas esperanças podem diferir materialmente entre si.
eus.
Esta regra conduz a resultados conformes com a
indicações de bom senso que podem ser obtidas por este meio
devem ser apreciadas com alguma exatidão. Assim, no
Na questão anterior, constatou-se que se a sorte de
Paul tem duzentos francos, ele não deveria razoavelmente...
apostar mais de nove francos. A mesma regra nos leva a isso.
novamente para distribuir o perigo por várias partes de um
benefício esperado em vez de expor todo o benefício
a esse perigo. Resulta de forma semelhante que no mais justo
Em jogos, a perda é sempre maior que o ganho. Deixe
Suponhamos, por exemplo, que um jogador que tenha uma fortuna
de cem francos arrisca cinquenta no jogo de cara e coroa e
coroas; sua fortuna após sua aposta na peça será de
reduzido para oitenta e sete francos, ou seja, este último
A quantia proporcionaria ao jogador a mesma moral.
vantagem, considerando o estado de sua fortuna após a aposta.
A jogada é então desvantajosa mesmo neste caso.
onde a aposta é igual ao produto da soma
esperado, pela sua probabilidade. Podemos julgar por isto
da imoralidade dos jogos em que se esperava a soma
está abaixo deste produto. Eles subsistem apenas por meio de falsidades
raciocínios e pela cupidez que eles despertam e
o que levou as pessoas a sacrificarem suas necessidades.
a esperanças quiméricas cuja improbabilidade elas não são
Em condições de serem apreciadas, são a fonte de uma infinidade.
dos males.
A desvantagem dos jogos de azar, a vantagem
de não expor ao mesmo perigo todo o benefício
Isso é esperado, e todos os resultados semelhantes foram indicados por
bom senso, subsistir, seja qual for a função
SOBRE A ESPERANÇA. 25
da fortuna física que para cada indivíduo
expressa sua fortuna moral. Basta que o
proporção do aumento desta função para o
O aumento da fortuna física diminui no
medida que este último aumenta.
Sumário
CAPÍTULO V.
Sobre os métodos analíticos do cálculo de probabilidades.
A aplicação do princípio que acabamos de apresentar
expostas às várias questões de probabilidade
requer métodos cuja investigação deu origem
a vários métodos de análise e especialmente ao
teoria das combinações e ao cálculo finito
diferenças.
Se formarmos o produto dos binômios, unidade mais
a primeira letra, unidade mais a segunda letra, unidade mais
a terceira letra, e assim por diante até n letras, e sub-
unidade de trato a partir deste produto desenvolvido, o resultado
será a soma da combinação de todas essas letras
tomados um por um, dois por dois, três por três, etc.,
Cada combinação tendo um coeficiente igual a um.
para obter o número de combinações desses n
letras tomadas s por s vezes, observaremos que se nós
Suponha que essas letras sejam iguais entre si, o pré-
o produto cedido se tornará a enésima potência do
binômio um mais a primeira letra; portanto, o número de
combinações de n letras tomadas s vezes serão o
coeficiente da enésima potência da primeira letra em
O CÁLCULO DE PROBABILIDADES. 27
desenvolvimento neste binômio; e este número é
obtido por meio da fórmula binomial conhecida.
É preciso prestar atenção às respectivas situações.
das letras em cada combinação, observando que se um
A segunda letra é unida à primeira e pode ser colocada em
a primeira ou segunda posição que dá duas combinações-
ções. Se adicionarmos uma terceira letra a essas combinações,
Podemos dar em cada combinação o primeiro, o segundo,
e a terceira posição, que forma três combinações.
em relação a cada um dos outros dois, em todas as seis combinações-
ções. Disso é fácil concluir que o
número de arranjos dos quais as letras s são suscetíveis-
ble é o produto dos números de um a s. Em
a fim de levar em consideração as respectivas posições do
letras, é necessário então multiplicar por este produto
o número de combinações de n letras s por s vezes,
o que equivale a eliminar o denominador
do coeficiente do binômio que expressa isso
número.
Vamos imaginar uma loteria composta por n números, de
que r são sorteados em cada sorteio. A probabilidade é
exigido do desenho de números dados em um
sorteio. Para chegar a isso, vamos formar uma fração cujo
O denominador será o número de todos os casos possíveis.
ble ou das combinações de n letras tomadas r por r
vezes, e cujo numerador será o número de todos
as combinações que contêm os números s fornecidos.
Este último número é evidentemente o das combinações.
dos outros números tomados n menos s por n menos s vezes.
Essa fração será a probabilidade desejada, e nós
verá facilmente que pode ser reduzido a uma fração.
cujo numerador é o número de combinações de r
28 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
números tomados s por s vezes, e cujo denominador é
o número de combinações de n números tomados
similarmente, s por s vezes. Assim, na loteria da França,
formado, como se sabe, por 90 números, dos quais cinco são
Em cada sorteio, a probabilidade de se obter um determinado número é a probabilidade de se obter um determinado número.
A combinação é -&> ou TV; a loteria deveria então para o
igualdade da jogada para dar dezoito vezes a aposta.
O número total de combinações dois a dois do
90 números é 4005, e o mesmo ocorre com as combinações de dois.
A soma de dois de cinco números resulta em 10. Qual é a probabilidade de...
O sorteio de um determinado par é então 3-^-5-, e a loteria
deveria dar quatrocentas e meia vezes o valor da aposta;
Deveria retornar 11748 vezes para uma determinada bandeja, 511038.
vezes para um quaternário e 43949268 vezes para um quinteto.
A loteria está longe de oferecer ao jogador essas vantagens.
etiquetas.
Suponha que em uma urna haja a bolas brancas, b bolas pretas e
Depois de retirar uma bola, ela é colocada de volta na urna;
Pergunta-se qual a probabilidade de que, no número de sorteios m
Serão sorteadas bolas brancas e bolas pretas.
É evidente que o número de casos que podem ocorrer em
Cada desenho é um -j- b. Cada caso do segundo
desenho sendo capaz de se combinar com todos os casos do
Primeiro, o número de casos possíveis em dois desenhos é
o quadrado do binômio a-\-b. No desenvolvimento
Deste quadrado, o quadrado de a expressa o número de
casos em que uma bola branca é sorteada duas vezes, o duplo
O produto de a por b expressa o número de casos em
das quais são sorteadas uma bola branca e uma bola preta. Finalmente,
O quadrado de b expressa o número de casos em que
Duas bolas pretas são sorteadas. Continuando assim, vemos
geralmente que a potência n do binômio a + b
O CÁLCULO DE PROBABILIDADES. 29
expressa o número de todos os casos possíveis em n
desenha; e que no desenvolvimento desse poder o
O termo multiplicado pela m-ésima potência de a expressa o
número de casos em que m bolas brancas e n em
Bolas pretas podem ser sorteadas. Dividindo então este termo
pela potência total do binômio, teremos o
probabilidade de retirar m bolas brancas e nm bolas pretas
bolas. A razão entre os números a e a -\- b sendo
a probabilidade de retirar uma bola branca em um sorteio;
e a razão entre os números b e a -\- b sendo o
probabilidade de retirar uma bola preta; se chamarmos essas de
probabilidades/ e g, a probabilidade de sortear m branco
As bolas em n sorteios serão o termo multiplicado por m.
poder de/no desenvolvimento do poder do
binômio P -\- q\ podemos ver que a soma p -)- q é
unidade. Essa propriedade notável do binômio é
muito útil na teoria das probabilidades. Mas o
método mais geral e direto para resolver questões
A probabilidade consiste em fazê-los depender de
equações de diferenças. Comparando as sucessivas
condições da função que expressa a probabilidade-
capacidade quando aumentamos as variáveis pelo seu respeito-
Apesar das diferenças, a questão proposta muitas vezes fornece uma
Uma proporção muito simples entre as condições. Isto.
A proporção é o que se chama de equação ordinária ou
diferenciais parciais; ordinárias quando há apenas uma
variável, parcial quando existem várias. Vamos continuar-
Vejamos alguns exemplos disso.
Três jogadores supostamente de habilidade igual jogam juntos
sob as seguintes condições: que uma das duas primeiras
O jogador que derrotar o adversário joga a terceira rodada, e se
Se ele o derrotar, o jogo termina. Se ele for derrotado, o
30 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
O vencedor joga contra o segundo até que um dos jogadores
derrotou consecutivamente os outros dois, o que termina
o jogo. A probabilidade é exigida de que o jogo
será concluído em um certo número n de jogadas. Seja
nos ajude a encontrar a probabilidade de que termine precisamente no
enésima jogada. Para isso, o jogador que vencer deve entrar
o jogo na jogada n I e vencê-lo assim no seguinte-
jogo lento. Mas se em vez de ganhar o jogo ni
Ele deveria ser derrotado por seu adversário, que acabara de...
Se o outro jogador fosse derrotado, o jogo terminaria aqui.
jogar. Assim, a probabilidade de um dos jogadores
entrar no jogo, jogar eu e ganharei é
igual à probabilidade de o jogo terminar antes do
precisamente com esta jogada; e como este jogador deveria vencer
a seguinte jogada para que o jogo possa ser
terminou na enésima jogada, a probabilidade deste último caso
será apenas metade da anterior. Isto
A probabilidade é evidentemente uma função do número; isto
A função é então igual à metade da mesma função.
quando n é diminuído em uma unidade. Essa igualdade forma
uma dessas equações é chamada de equação diferencial finita ordinária.
equações.
Podemos determinar facilmente a probabilidade através de sua utilização.
que o jogo terminará precisamente em uma determinada jogada.
É evidente que a peça não pode terminar antes do que
segunda peça; e para isso é necessário que aquela
dos dois primeiros jogadores que derrotaram seu adversário
deve vencer o terceiro jogador na segunda jogada; o
A probabilidade de o jogo terminar nesta jogada é de .
Portanto, em virtude da equação anterior, concluímos
que as probabilidades sucessivas do fim do jogo
são para a terceira jogada, \ para a quarta jogada, e assim por diante
O CÁLCULO DE PROBABILIDADES. 31
em; e em geral elevado à potência n I para o
enésima jogada. A soma de todos esses poderes é a unidade.
menos a última dessas potências; é a probabilidade de que
O jogo terminará no máximo em n jogadas.
Consideremos novamente o primeiro problema, mais difícil.
que pode ser resolvido por probabilidades e que Pascal
proposto a Fermat para resolver. Dois jogadores, A e B,
jogadores de nível equivalente jogam juntos sob as seguintes condições:
aquele que vencer primeiro o outro um determinado número de
vezes vencerá o jogo e levará a soma do
apostas no jogo; após alguns lançamentos, os jogadores
Concordar em desistir sem ter terminado o jogo: nós perguntamos
De que maneira a soma deve ser dividida entre
eles. É evidente que as partes devem ser proporcionais-
cional às respectivas probabilidades de ganhar o
jogo. A questão se reduz então à determinação-
ção dessas probabilidades. Elas dependem evidentemente
com base no número de pontos que cada jogador não possui
tendo atingido o número dado. Portanto, o problema-
A capacidade de A é uma função dos dois números que nós...
chamarão os índices. Se os dois jogadores concordarem em
jogar mais uma vez (um acordo que não
mudar sua condição, desde que após essa nova
a divisão é sempre feita proporcionalmente ao
novas probabilidades de ganhar o jogo), então ou A
ganharia este lançamento e, nesse caso, o número de
Os pontos que lhe faltam seriam atenuados pela união.
ou o jogador B venceria e nesse caso o
O número de pontos que faltam para este último jogador seria
menos por uma unidade. Mas a probabilidade de cada um destes
casos é \ ; a função procurada é então igual a um meio
desta função na qual diminuímos em uma unidade a primeira
32 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
índice mais a metade da mesma função em que o
A segunda variável é diminuída em uma unidade. Essa igualdade
é uma daquelas equações chamadas equações de parciais
diferenciais.
Podemos determinar as probabilidades através de sua utilização.
de A dividindo pelos menores números e observando-
ing que a probabilidade ou a função que expressa
é igual a um quando o jogador A não carece de um
ponto único, ou quando o primeiro índice é zero, e que
esta função torna-se zero com o segundo índice. Sup-
Supondo assim que o jogador A só lhe falte um ponto, nós
descobrir que sua probabilidade é f, f, |, etc., conforme B
falta um ponto, dois, três, etc. Geralmente é então
unidade menos a potência de , igual ao número de pontos
que B não possui. Suponhamos então que o jogador
A carece de dois pontos e sua probabilidade será encontrada
igual a J, , \\, etc., conforme B careça de um ponto,
dois pontos, três pontos, etc. Vamos supor novamente.
que o jogador A tem três pontos a menos, e assim por diante.
Esta maneira de obter os valores sucessivos de um
quantidade por meio de sua equação de diferenças é longa
e trabalhoso. Os geômetras buscaram métodos.
para obter a função geral dos índices que satisfaz
esta equação, de modo que para qualquer caso particular precisamos
basta substituir nesta função o correspondente
valores dos índices. Vamos considerar este assunto em
de uma maneira geral. Para isso, 'vamos conceber um
série de termos dispostos ao longo de uma linha horizontal de forma que
Cada um deles deriva do anterior, de acordo com...
obedecendo a uma determinada lei. Suponhamos que essa lei se expresse
por uma equação entre vários termos consecutivos e
seu índice, ou o número que indica a classificação que
O CÁLCULO DE PROBABILIDADES. 33
Eles ocupam posições na série. Essa equação eu chamo de
Equação de diferenças finitas por um único índice. A
A ordem ou o grau desta equação é a diferença de
classificação de seus dois termos extremos. Somos capazes, por meio de seu uso.
para determinar sucessivamente os termos da série e para
continuá-lo indefinidamente; mas para isso é necessário
conhecer um número de termos da série igual ao
grau da equação. Esses termos são arbitrários.
constantes da expressão do termo geral do
série ou da integral da equação de diferenças.
Imaginemos agora, abaixo, os termos do precedente.
série uma segunda série de termos dispostos horizontalmente;
Vamos imaginar novamente, abaixo, os termos do segundo.
série uma terceira série horizontal, e assim por diante até o infinito;
e suponhamos que os termos de todas essas séries con-
conectados por uma equação geral entre vários consecutivos
termos, tomados tanto na horizontal quanto na vertical-
sentido técnico e os números que indicam sua classificação
nos dois sentidos. Esta equação é chamada de equação.
de diferenças finitas parciais por dois índices.
Imaginemos, da mesma forma, o plano abaixo de
a série anterior um segundo plano de séries semelhantes,
cujos termos devem ser colocados respectivamente abaixo daqueles
do primeiro plano; imaginemos novamente abaixo este segundo.
planeje um terceiro plano de séries semelhantes, e assim por diante até o infinito;
Suponhamos que todos os termos dessas séries estejam conectados.
por uma equação entre vários termos consecutivos tomados
no sentido de comprimento, largura e profundidade, e os três
números que indicam sua posição nesses três sentidos.
A essa equação eu chamo de equação de diferenças finitas parciais.
ências por três índices.
Finalmente, considerando a questão de forma abstrata.
34 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
e, independentemente das dimensões do espaço, vamos
Imagine, em geral, um sistema de grandezas, que deveria
sejam funções de um certo número de índices, e sejamos
Suponha que, dentre essas grandezas, suas diferenças relativas...
ences para esses índices e os próprios índices, como
tantas equações quantas magnitudes existem; essas equações-
As operações serão diferenças finitas parciais por um certo número.
ber de índices.
Através da sua utilização, somos capazes de determinar sucessivamente
essas magnitudes. Mas da mesma forma que o
A equação por um único índice exige que nós
conhecendo um certo número de termos da série, então o
A equação por dois índices exige que conheçamos um ou outro.
várias linhas de séries cujos termos gerais deveriam ser
expressa cada uma por uma função arbitrária de uma das
índices. Da mesma forma, a equação por três índices
requer que conheçamos um ou mais planos de séries,
cujos termos gerais devem ser expressos cada
por uma função arbitrária de dois índices, e assim por diante. Em
Em todos esses casos, seremos capazes, por meio de eliminações sucessivas, de...
ções para determinar um determinado termo da série. Mas
todas as equações dentre as quais eliminamos sendo
incluídos no mesmo sistema de equações, todos os
expressões dos termos sucessivos que obtemos por
Essas eliminações devem ser incluídas em um geral.
expressão, uma função dos índices que determinam
a ordem do termo. Esta expressão é a integral.
da equação de diferenças proposta e da busca
pois é o objeto do cálculo integral.
Taylor é o primeiro que, em sua obra intitulada Metodos
Incrementorum analisou equações lineares de ordem finita.
diferenças. Ele mostra como integrá-las.
O CÁLCULO DE PROBABILIDADES. 35
da primeira ordem com um coeficiente e um último termo,
funções do índice. Na verdade, as relações do
termos das progressões aritméticas e geométricas
que sempre foram levados em consideração são
os casos mais simples de equações lineares de diferenças; mas
Eles não haviam sido considerados sob essa perspectiva.
Era um daqueles que, ao se apegarem a
teorias gerais, levam a essas teorias e são conse-
descobertas verdadeiramente frequentes.
Quase ao mesmo tempo em que Moivre estava considerando sob
o nome das séries periódicas as equações de séries finitas
diferenças de uma certa ordem que possuem um coeficiente constante-
cient. Ele conseguiu integrá-los de uma forma muito
De maneira engenhosa. Como é sempre interessante acompanhar.
O progresso dos inventores, explicarei o método.
de Moivre, aplicando-o a uma série recorrente cujo
É dada a relação entre três termos consecutivos. Primeiro.
Ele considera a relação entre os termos consecutivos.
de uma progressão geométrica ou a equação de dois
termos que o expressam. Referindo-se a termos menos
do que a unidade, ele a multiplica neste estado por uma constante
fatora e subtrai o produto da primeira equação.
Assim, ele obtém uma equação entre três consecutivas.
termos da progressão geométrica. Moivre considera
em seguida, uma segunda progressão cuja razão entre os termos é a
o mesmo fator que ele acabou de usar. Ele diminui
similarmente, por unidade, o índice dos termos da equação-
ção desta nova progressão. Nesta condição ele
multiplica-o pela razão dos termos do primeiro pro-
regressão, e ele subtrai o produto da equação
da segunda progressão, o que o coloca entre três
termos consecutivos desta progressão uma relação inteiramente
36 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
semelhante ao que ele encontrou para o primeiro progresso-
ção. Então ele observa que se alguém adicionar termo por termo
Nas duas progressões, a mesma proporção existe entre quaisquer
três desses mandatos consecutivos. Ele compara o
coeficientes dessa razão para aqueles da relação do
termos da série recorrente proposta, e ele encontra para
determinar as proporções dos dois progressões geométricas-
sions uma equação do segundo grau, cujas raízes são
essas proporções. Assim, Moivre decompõe a recorrência
série em duas progressões geométricas, cada uma multi-
aplicado por uma constante arbitrária que ele determina por
média dos dois primeiros termos da série recorrente.
Este engenhoso processo é, na verdade, aquele que d'Alembert
tem sido empregado desde então para a integração de equações lineares-
ções de diferenças infinitesimalmente pequenas com coeficientes constantes
cients, e Lagrange se transformou em algo semelhante
equações de diferenças finitas.
Finalmente, considerei as equações lineares de
diferenças finitas parciais, inicialmente sob o nome de recurro-
séries recorrentes e posteriormente sob seus próprios nomes.
A forma mais geral e simples de integração
Todas essas equações me parecem aquilo que eu tenho.
com base na análise das funções discriminantes,
cuja ideia é aqui apresentada.
Se concebermos uma função V de uma variável / desenvolvida
De acordo com as potências dessa variável, o coeficiente
de qualquer um desses poderes será uma função do
expoente ou índice desta potência, cujo índice eu irei
Chame x. V é o que eu chamo de função discriminante de.
este coeficiente ou da função do índice.
Agora, se multiplicarmos a série do desenvolvimento de
V por uma função da mesma variável, como, por exemplo,
O CÁLCULO DE PROBABILIDADES. 37
como a unidade mais duas vezes essa variável, o produto será
seja uma nova função discriminante na qual o coeficiente
da potência x da variável t será igual a
coeficiente da mesma potência em V mais o dobro do
coeficiente da potência menor que a unidade. Assim, a função
do índice x no produto será igual à função-
ção do índice x em V mais duas vezes a mesma função
em que o índice é diminuído em uma unidade. Esta função-
A função do índice x é, portanto, uma derivada da função.
do mesmo índice no desenvolvimento de V, uma função
que chamarei de função primitiva do índice.
Vamos designar a função derivada pela letra d.
colocada antes da função primitiva. A derivação
O valor indicado por esta letra dependerá do multiplicador.
de V, que chamaremos de T e que suporemos.
desenvolvido como V pela proporção às potências de
variável /. Se multiplicarmos novamente por T o produto de
V por T, o que é equivalente a multiplicar V por T 2 ,
formularemos uma terceira função discriminante, na qual
O coeficiente da j-ésima potência de t será uma derivada.
semelhante ao coeficiente correspondente do precedente
produto; pode ser expresso pelo mesmo caractere 8
colocado antes da derivada precedente, e então isto
O caractere será escrito duas vezes antes do primitivo.
função de x. Mas em vez de escrevê-la assim duas vezes, nós
Dê o valor 2 como expoente.
Continuando assim, vemos geralmente que se multiplicarmos
Elevando V à potência n de T, teremos o coeficiente
da ;r-ésima potência de t no produto de V pela n-ésima
potência de T colocando antes da função primitiva o
Caractere 6 com n como expoente.
Suponhamos, por exemplo, que T seja dividido por um.
38 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
por /; então, no produto de F por T, o coeficiente de
a r-ésima potência de / será o coeficiente da potência
maior em uma unidade em V\ este coeficiente no produto
de V elevado à enésima potência de T será então o primitivo
função na qual x é aumentado em n unidades.
Consideremos agora uma nova função Z de /, desenvolvida
como V e T de acordo com as potências de /; vamos nós
designar pelo caractere A colocado antes do primi-
função variável o coeficiente da .r-ésima potência de / em
produto de V por Z; este coeficiente no produto de V
pela n-ésima potência de Z será expressa pelo caractere-
A figura A é afetada pelo expoente n e colocada antes de
a função primitiva de x.
Se, por exemplo, Z for igual à unidade dividida por t menos
um, o coeficiente da x-ésima potência de / no produto
de V por Z será o coeficiente da potência x -\- I
de t em V menos o coeficiente da potência x. Isso irá
seja então a diferença finita da função primitiva de
o índice x. Então o caractere A indica um finito
diferença da função primitiva no caso em que
o índice varia em uma unidade; e a n-ésima potência disso
O caractere colocado antes da função primitiva indicará-
calcule a n-ésima diferença finita desta função. Se nós
Suponha que T seja a unidade dividida por /, teremos 7
igual ao binômio Z -j- I . O produto de V por
a enésima potência de T será então igual ao produto
de V pela n-ésima potência do binômio Z-\-\. Desenvolver-
multiplicando essa potência na proporção das potências de Z, o
produto de V pelos vários termos deste desenvolvimento
serão as funções discriminantes desses mesmos termos
em que substituímos, no lugar das potências de Z,
O CÁLCULO DE PROBABILIDADES. 39
diferenças finitas correspondentes da função primitiva
do índice.
Agora, o produto de V pela enésima potência de T é o
função primitiva na qual o índice x é aumentado
por n unidades; repassando das funções discriminantes
aos seus coeficientes, teremos esta função primitiva
assim aumentado igual ao desenvolvimento do n-ésimo
potência do binômio Z-\- \, desde que neste
desenvolvimento que substituímos no lugar das potências de Z
as diferenças correspondentes da função primitiva
e que multiplicamos o termo independente destes
poderes pela função primitiva. Assim, iremos
obter a função primitiva cujo índice é aumentado
por qualquer número n por meio de suas diferenças.
Supondo que T e Z sempre tenham o precedente
valores, teremos Z igual ao binômio T i ;
o produto de V pela #ésima potência de Z será então
igual ao produto de V pelo desenvolvimento do
#ª potência do binômio TI. Repassando do
funções discriminantes aos seus coeficientes, como acabou de acontecer
Feito isso, teremos a enésima diferença do
função primitiva expressa pelo desenvolvimento do
?z-ésima potência do binômio TI , na qual substituímos-
tutorial para as potências de T esta mesma função cujo índice
é aumentado pelo expoente da potência, e para
o termo independente de t, que é a unidade, o primitivo
função, que proporciona essa diferença por meio do
termos consecutivos desta função.
Colocando S antes da função primitiva que expressa o
derivada dessa função, que multiplica a potência de x
de / no produto de V por T, e A expressando o
mesma derivada no produto de V por Z, somos levados
40 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
por aquilo que precede este resultado geral: qualquer que seja
pode ser a função da variável / representada por T
e Z, podemos, no desenvolvimento de todos os idênticos
equações suscetíveis de serem formadas entre estas
funções, substitua os caracteres d e // no lugar de
T e Z, desde que escrevamos a função primitiva
do índice em série com as potências e com o
produtos dos poderes dos personagens, e que nós
multiplique por esta função os termos independentes destes
personagens.
Somos capazes, por meio desse resultado geral, de trans-
formar qualquer poder certo de uma diferença do primitivo
função do índice x, em que x varia em uma unidade, em
uma série de diferenças da mesma função em que x
varia por um certo número de unidades e reciprocamente.
Suponhamos que T seja a i-ésima potência da unidade dividida.
por / i , e que Z seja sempre a unidade dividida por / I ;
então o coeficiente da potência x de / no pro-
O duto de V por T será o coeficiente de x -\- i
potência de / em V menos o coeficiente da potência x de t\
será então a diferença finita do primitivo
função do índice x na qual variamos esse índice por
o número i. É fácil ver que T é igual ao
diferença entre a i-ésima potência do binômio Zf- I
e a unidade. A w-ésima potência de T é igual à w-ésima potência de T.
poder dessa diferença. Se nessa igualdade substituirmos
Em vez de T e Z, use os caracteres 6 e J, e
após o desenvolvimento que apresentamos ao final de cada período.
a função primitiva do índice x> teremos o
com a diferença desta função em que x varia por *
unidades expressas por uma série de diferenças do mesmo
função na qual x varia em uma unidade. Esta série é
O CÁLCULO DE PROBABILIDADES. 41
apenas uma transformação da diferença que
expressa e que é idêntico a ele; mas está em
transformações semelhantes que o poder da análise
reside.
A generalidade da análise permite-nos supor em
esta expressão que n é negativo. Então o negativo
As potências de tf e A indicam as integrais. De fato,
n-ésima diferença da função primitiva tendo para um
função discriminante o produto de V pela enésima potência
do binômio um dividido por t menos a unidade, o primi-
função variável que é a n-ésima integral dessa diferença
tem para uma função discriminante que da mesma diferença-
ência multiplicada pela enésima potência tomada menos que a
binômio um dividido por / menos um, uma potência à qual
a mesma potência do caractere A corresponde; isto
A potência indica então uma integral da mesma ordem, a
índice x variando em uma unidade; e as potências negativas de
6 indicam igualmente as integrais x variando em i unidades.
Vemos, portanto, da maneira mais clara e simples,
racionalidade da análise observada entre os positivos
poderes e diferenças, e entre os poderes negativos
e as integrais.
Se a função indicada por $ colocado antes do
Se a função primitiva for zero, teremos uma equação de
diferenças finitas, e F será a função discriminante.
de sua integral. Para obter esse discriminante
função, observaremos que no produto de V por
Todos os poderes de / deveriam desaparecer, exceto o
potências inferiores à ordem da equação de dif-
ências; V é então igual a uma fração cujo denominador
é T e cujo numerador é um polinômio no qual o
A maior potência de t é menor em uma unidade do que a ordem de
42 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
equação de diferenças. Os coeficientes arbitrários de
as várias potências de / neste polinômio, incluindo
a potência zero será determinada por tantos valores quanto possível
da função primitiva do índice quando fazemos
sucessivamente x igual a zero, a um, a dois, etc.
Quando a equação das diferenças é dada, nós determinamos
T, colocando todos os seus termos no primeiro membro e zero.
no segundo; substituindo no primeiro membro unidade
em vez da função que tem o maior índice;
a primeira potência de / no lugar da função primitiva em
que este índice é diminuído em uma unidade; o segundo
potência de / para a função primitiva onde este índice
é diminuído em duas unidades, e assim por diante. O coeficiente
da potência x de / no desenvolvimento do precedente-
A expressão ing de V será a função primitiva de x
ou a integral da equação de diferenças finitas.
A análise fornece diversos meios para esse desenvolvimento,
Dentre as quais podemos escolher aquela que for mais...
adequado para a questão proposta; isso é uma vantagem.
deste método de integração.
Vamos imaginar agora que V seja uma função dos dois
variáveis / e /' desenvolvidas de acordo com as potências
e produtos dessas variáveis; o coeficiente de qualquer
O produto das potências x e x' de / e /' será um
função dos expoentes ou índices x e x' destes
poderes; a esta função chamarei de função primitiva
onde V é a função discriminante.
Vamos multiplicar V por uma função T dos dois
variáveis t e /' desenvolvidas como V na proporção de
potências e os produtos dessas variáveis; o produto
será a função discriminante de uma derivada de
função primitiva; se T, por exemplo, for igual a
O CÁLCULO DE PROBABILIDADES. 43
variável / mais a variável t' menos dois, esta derivada
será a função primitiva da qual diminuímos por
unidade o índice x mais esta mesma função primitiva de
que diminuímos em uma unidade o índice x' menos dois
vezes a função primitiva. Designando qualquer T
pode ser pelo caractere d colocado antes do primitivo
função, esta derivada, o produto de V pelo w-ésimo
potência de T, será a função discriminante de
derivada da função primitiva antes da qual uma
coloca a potência ;/ésima do caractere 8. Portanto, resultado
os teoremas análogos aos que são relativos a
funções de uma única variável.
Suponha que a função indicada pelo caractere $ seja
zero; um terá uma equação de diferenças parciais.
Se, por exemplo, fizermos como antes, T igual a
variável / phis a variável t' 2, temos zero igual
à função primitiva da qual diminuímos pela unidade
o índice x mais a mesma função da qual diminuímos
por unidade o índice x' menos duas vezes o primitivo
função. A função discriminante V da primitiva
função ou da integral desta equação deveria então
ser tal que seu produto por T não inclua em
todos os produtos de / por t'; mas F pode incluir separadamente
as potências de t e as de t', ou seja, um arbi-
função arbitrária de t e uma função arbitrária de /'; V é
então uma fração cujo numerador é a soma desses dois
funções arbitrárias e cujo denominador é T.
coeficiente do produto da r-ésima potência de t pelo
A potência de x' de /' no desenvolvimento desta fração será
então seja a integral da equação parcial precedente
diferenças. Este método de integração deste tipo de
As equações me parecem as mais simples e fáceis de entender.
44 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
o emprego dos diversos processos analíticos para
o desenvolvimento de frações racionais.
Seria difícil fornecer mais detalhes sobre este assunto.
Compreendido sem o auxílio do cálculo.
Considerando equações de derivadas parciais infinitesimalmente pequenas
diferenças como equações de diferenças parciais finitas em
sem negligenciar nada, somos capazes de lançar luz sobre o assunto.
sobre os pontos obscuros de seu cálculo, que têm
tem sido tema de grandes discussões entre geômetras
cianos. É assim que demonstrei a possi-
capacidade de introduzir funções descontinuadas em seus
integrais, desde que a descontinuidade ocorra
apenas para os diferenciais da ordem dessas equações
ou de ordem superior. Os resultados transcendentes de
O cálculo é, como todas as abstrações do entendimento-
sinais gerais cujo verdadeiro significado pode ser determinado
contido apenas pela reanálise metafísica para
as ideias elementares que as originaram; isto
frequentemente apresenta grandes dificuldades para a mente humana.
tenta ainda menos se transportar para o futuro do que para
retirar-se para dentro de si mesma. A comparação do infinitamente pequeno
diferenças com diferenças finitas é capaz de forma semelhante a
lança grande luz sobre a metafísica do infinitesimal
cálculo.
É facilmente provado que a n-ésima diferença finita de um
função na qual o aumento da variável é E
sendo dividido pela enésima potência de E, o quociente
reduzido em série pela razão das potências do aumento
E é formado por um primeiro termo independente de E. No
Conforme E diminui, a série se aproxima de mais
e mais este primeiro termo do qual ele só pode diferir
por quantidades inferiores a qualquer grandeza atribuível.
O CÁLCULO DE PROBABILIDADES. 45
Esse termo é então o limite da série e expressa
Em cálculo diferencial, a n-ésima diferença infinitesimal
da função dividida pela n-ésima potência do infinito
pequeno aumento.
Considerando, a partir desse ponto de vista, o infinito
pequenas diferenças, vemos que as várias operações de
O cálculo diferencial consiste em comparar separadamente em
o desenvolvimento de expressões idênticas o finito
termos ou aqueles independentes dos incrementos do
variáveis que são consideradas infinitamente pequenas; isto
é rigorosamente exato, sendo esses incrementos indeterminados-
nant. Assim, o cálculo diferencial possui toda a exatidão
de outras operações algébricas.
A mesma exatidão é encontrada nas aplicações de
cálculo diferencial para geometria e mecânica. Se
Imaginamos uma curva cortada por uma secante em dois pontos adjacentes.
pontos, denominando E o intervalo das ordenadas destes
dois pontos, E será o incremento da abscissa de
da primeira para a segunda ordenada. É fácil ver que
o incremento correspondente da ordenada será o
produto de E pela primeira ordenada dividido por sua subordinada
secante; aumentando então nesta equação da curva
a primeira ordenada por este incremento, teremos o
equação relativa à segunda ordenada. A diferença-
A convergência dessas duas equações resultará em uma terceira equação.
que, desenvolvido pela razão das potências de E e
dividido por E, terá seu primeiro termo independente de E,
que será o limite deste desenvolvimento. Isto
termo, igual a zero, dará então o limite do sub-
secantes, um limite que é evidentemente a subtangente.
Este método singularmente feliz de obter o sub-
A tangente se deve a Fermat, que a estendeu para
46 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
Curvas transcendentais. Este grande geômetra ex-
pressiona o caractere E o incremento do
abscissa; e considerando apenas a primeira potência desta
incremento, ele determina exatamente como nós fazemos por diferenciação-
cálculo diferencial: as subtangentes das curvas, seus pontos
de inflexão, os máximos e mínimos de suas ordenadas,
e, em geral, as das funções racionais. Vemos
igualmente por sua bela solução para o problema do
refração da luz inserida na Coleção do
Cartas de Descartes que ele sabe como estender o seu
métodos para funções irracionais na libertação delas de
irracionalidades pela elevação das raízes a poderes.
Fermat deve ser considerado, portanto, o verdadeiro descobridor.
do Cálculo Diferencial. Newton posteriormente tornou isso
cálculo mais analítico em seu Método das Fluxões, e
simplificou e generalizou os processos por meio de sua bela
teorema do binômio. Finalmente, aproximadamente ao mesmo tempo
Leibniz enriqueceu o cálculo diferencial com uma nota-
ção que, ao indicar a passagem do finito para
o infinitamente pequeno, aumenta a vantagem do express-
ing os resultados gerais do cálculo, o de dar o
primeiros valores aproximados das diferenças e do
somas das quantidades; esta notação é adaptada de si mesma
ao cálculo de equações diferenciais parciais.
Frequentemente, somos levados a expressões que contêm tanto
muitos termos e fatores que as substituições numéricas
são impraticáveis. Isso ocorre em questões de
probabilidade quando consideramos um grande número de eventos.
Entretanto, é necessário ter o valor numérico.
das fórmulas para saber com que probabilidade
Os resultados são indicados, conforme os eventos se desenvolvem.
multiplicação. É necessário especialmente ter o
O CÁLCULO DE PROBABILIDADES. 47
lei segundo a qual esta probabilidade continuamente
aproxima-se da certeza, que finalmente alcançará se o
O número de eventos era infinito. Para obter isso
A lei que considerei era que as integrais definidas de diferentes-
tiais multiplicados pelos fatores elevados a grandes potências
obteríamos, por integração, as fórmulas compostas de
um grande número de termos e fatores. Esta observação
isso me levou à ideia de me transformar em algo semelhante.
integrais as expressões complicadas da análise e
as integrais da equação das diferenças. Eu cumpri
essa condição por um método que fornece ao mesmo tempo
tempo a função compreendida sob o sinal de integral
e os limites da integração. Oferece esta observação:
coisa capaz, que a função é o mesmo discriminante
função das expressões e das equações propostas;
Isso vincula esse método à teoria do discriminante.
funções das quais é, portanto, o complemento. Além disso,
Seria apenas uma questão de reduzir o definitivo
integral de uma série convergente. Isso eu obtive.
por um processo que faz com que a série convirja com as
muito mais rapidez do que a fórmula que representa.
é "mais complicado, de modo que seja mais exato como ele
torna-se mais necessário. Frequentemente a série tem
para um fator a raiz quadrada da razão do circun-
referência ao diâmetro; às vezes depende de
outros seres transcendentes cujo número é infinito.
Uma observação importante que diz respeito à grande geração-
qualidade da análise, e que nos permite estender isso
método para fórmulas e equações de diferença que
A teoria da probabilidade que se apresenta com maior frequência é
que a série à qual se chega supondo-se a
limites das integrais definidas para serem reais e positivas
48 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
ocorrem igualmente no caso em que a equação que
determina que esses limites só têm valores negativos ou imaginários.
raízes. Essas passagens do positivo para o negativo-
ativo e do real para o imaginário, do qual eu primeiro
fizeram uso, me levaram ainda mais aos valores de
muitas integrais definidas singulares, com as quais tenho concordância-
demonstrado diretamente de forma peculiar. Podemos então considerar
essas passagens como um meio de descoberta paralelo a
A indução e a analogia são métodos há muito empregados pelos geômetras,
Inicialmente com extrema reserva, depois com total...
confiança, visto que um grande número de exemplos tem
justificou seu uso. Enquanto isso, é sempre necessário
confirmar por meio de demonstrações diretas os resultados obtidos.
por esses diversos meios.
Dei o nome de conjunto aos métodos anteriores.
o Cálculo das Funções Discriminantes; este cálculo
serve de base para o trabalho que publiquei.
sob o título de Teoria Analítica das Probabilidades.
Está relacionado com a ideia simples de indicar o
multiplicações repetidas de uma quantidade por si mesma ou por seu
poderes completos e positivos escrevendo na parte superior de
a letra que o expressa os números que marcam
os graus desses poderes.
Essa notação, empregada por Descartes em sua Geometria
e geralmente adotada desde a publicação deste
trabalho importante, é uma coisa pequena, especialmente quando com-
combinada com a teoria das curvas e funções variáveis
por meio da qual este grande geômetra estabeleceu o
fundamentos do cálculo moderno. Mas a linguagem de
A análise, a mais perfeita de todas, sendo em si mesma uma poderosa ferramenta.
instrumento de descobertas, suas notações, especialmente quando
São necessárias e felizmente concebidas, são tantas.
O CÁLCULO DE PROBABILIDADES. 49
germes de novos cálculos. Isso se torna apreciável por
este exemplo.
Wallis, que em sua obra intitulada Arithmetica Infini-
torum, um daqueles que mais contribuíram para o
O progresso da análise interessou-o especialmente.
Seguindo a linha de raciocínio da indução e da analogia, con-
considerou que se dividirmos o expoente de uma letra por
dois, três, etc., o quociente será, consequentemente, o
Notação cartesiana, e quando a divisão é possível
expoente do quadrado, cubo, etc., raiz da quantidade
que representa a letra elevada ao dividendo
expoente. Estendendo por analogia este resultado ao
caso em que a divisão é impossível, ele considerou um
quantidade elevada a um expoente fracionário como a raiz de
o grau indicado pelo denominador desta fração-
ção, ou seja, da quantidade elevada a uma potência indi-
determinado pelo numerador. Ele observou então que,
De acordo com a notação cartesiana, a multiplicação
A soma de duas potências da mesma letra equivale a somar
seus expoentes, e que sua divisão equivale a
subtraindo os expoentes da potência do divisor
da potência do dividendo, quando o segundo
Um desses expoentes é maior que o primeiro. Wallis
estendeu esse resultado ao caso em que o primeiro
O expoente é igual ou maior que o segundo, que
torna a diferença zero ou negativa. Ele supôs
então que um expoente negativo indica a divisão da unidade
pela quantidade elevada ao mesmo expoente tomado
positivamente. Esses comentários o levaram a integrar
geralmente os diferenciais monomiais, de onde ele inferiu
as integrais definidas de um tipo particular de binômio
diferenciais cujo expoente é uma inteira positiva
50 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
número. A observação então da lei do número-
bers que expressam essas integrais, uma série de inter-
polações e induções felizes onde se percebe
o germe do cálculo de integrais definidas que tem
tanto exercitaram os geômetras e este é um dos
os fundamentos da minha nova Teoria das Probabilidades,
deu-lhe a razão entre a área do círculo e a área do quadrado.
do seu diâmetro expresso por um produto infinito, que,
Quando se interrompe o processo, essa proporção fica ainda mais limitada.
mais convergente; este é um dos mais singulares
resultados na análise. Mas é notável que Wallis,
que tão bem haviam considerado os expoentes fracionários
de poderes radicais, deveriam ter continuado a observar estes
poderes como os que haviam sido feitos antes dele. Newton em seu
Cartas para Oldembourg, se não me engano, era o
primeiro a empregar a notação dessas potências por frac-
expoentes cionais. Comparando por meio da indução,
das quais Wallis havia feito um uso tão belo, o
expoentes das potências do binômio com o
coeficientes dos termos de seu desenvolvimento no caso
onde este expoente é inteiro e positivo, ele determina-
extraíram a lei desses coeficientes e estenderam k por
analogia com potências fracionárias e negativas. Estas
diversos resultados, baseados na notação de Descartes,
demonstrar sua influência no progresso da análise. Isso tem
ainda a vantagem de oferecer o mais simples e justo
ideia de logaritmos, que na verdade são apenas os expoentes
de uma magnitude cujos poderes sucessivos, aumentando por
Graus infinitesimalmente pequenos podem representar todos os números.
Mas a extensão mais importante dessa notação
O que recebeu é o de expoentes variáveis, que con-
substitui o cálculo exponencial, um dos mais frutíferos
O CÁLCULO DE PROBABILIDADES. 51
ramos da análise moderna. Leibniz foi o primeiro
para indicar os transcendentes por expoentes variáveis, e
com isso ele completou o sistema de elementos de
que uma função finita pode ser composta; para cada
Uma função explícita finita de uma variável pode ser reduzida em
a última análise para magnitudes simples, combinadas por
o método de adição, subtração, multiplicação e
divisão e elevada a potências constantes ou variáveis.
As raízes das equações formadas a partir desses elementos
são funções implícitas da variável tile. É, portanto,
que uma variável tem para um logaritmo o expoente do
potência que é igual a ela, olá, a série das potências
do número cujo logaritmo hiperbólico é igual a um, e
O logaritmo de uma variável é uma função implícita dela.
Leibniz pensou em dar ao seu caráter diferencial
os mesmos expoentes que para as magnitudes; mas então no lugar
de indicar as multiplicações repetidas do mesmo
A magnitude desses expoentes indica a diferença repetida.
entações da mesma função. Esta nova extensão
da notação cartesiana levou Leibnitz à analogia de
potências positivas com os diferenciais e as negativas
potências com as integrais. Lagrange seguiu isso
analogia singular em todos os seus desenvolvimentos; e por séries
de induções que podem ser consideradas como uma das
as aplicações mais belas que já foram feitas
do método de indução ao qual ele chegou em geral
fórmulas que são tão curiosas quanto úteis na trans-
formações de diferenças e de integrais as que se transformam em
os outros quando as variáveis têm incrementos finitos diversos
e quando esses incrementos são infinitamente pequenos.
Mas ele não deu as demonstrações disso que
parecer-lhe difícil. A teoria do discriminante
52 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
funções estendem as notações cartesianas a algumas de suas
personagens; demonstra com provas a analogia do
poderes e operações indicados por esses caracteres;
de modo que ainda possa ser considerado como exponencial.
cálculo de personagens. Tudo o que diz respeito à série e
a integração de equações de diferenças surge de
com extrema facilidade.
53 PARTE II.
APLICAÇÕES DO CÁLCULO DE
PROBABILIDADES.
Sumário
CAPÍTULO VI.
JOGOS DE Azar.
As combinações que os jogos apresentavam eram as
objeto das primeiras investigações de probabilidades. Em um
infinita variedade dessas combinações, muitas delas
alguns se prestam facilmente ao cálculo; outros exigem mais
cálculos difíceis; e as dificuldades aumentando no
medir que as combinações se tornam mais compli-
o desejo de superá-los e a curiosidade têm
geômetras entusiasmados a aperfeiçoar cada vez mais isso
tipo de análise. Já se viu que o
Os benefícios de uma loteria são facilmente determinados pela teoria.
de combinações. Mas é mais difícil saber em
Em quantos empates se pode apostar um contra um, para
exemplo que todos os números serão sorteados, sendo n
o número de números, r o número de números sorteados
em cada sorteio, e i é o número desconhecido de sorteios.
A expressão da probabilidade de extrair todas as
54 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
os números dependem da n-ésima diferença finita do i
Potência do produto de r números consecutivos. Quando
o número n é considerável na busca pelo valor
de / que torna essa probabilidade igual a J torna-se
impossível, pelo menos a menos que essa diferença seja convertida.
em uma série muito convergente. Isso é facilmente feito por
o método indicado abaixo pela aproximação-
ções de funções de números muito grandes. É encontrado
assim, como a loteria é composta por dez mil
números, um dos quais é sorteado em cada sorteio, que
Há uma desvantagem em apostar um contra um.
Todos os números serão sorteados em 95.767 sorteios e um
vantagem em fazer a mesma aposta em 95768 empates.
Na loteria francesa, essa aposta é desvantajosa para
85 empates e vantajoso para 86 empates.
Vamos considerar novamente dois jogadores, A e B, jogando
juntos em cabeças e coroas de tal maneira que em
Em cada lançamento, se sair cara, A dá uma ficha para B.
quem lhe dá um se sair coroa; o número de
O número de contadores de B é limitado, enquanto o de A é ilimitado.
e o jogo só terminará quando B não tiver mais nada.
contadores. Perguntamos em quantas jogadas se deve apostar
uma para uma que o jogo vai terminar. A expressão
da probabilidade de o jogo terminar em um número i
de lançamentos é dada por uma série que compreende uma grande
número de termos e fatores se o número de contadores
de B é considerável; a busca pelo valor de
desconhecido i que renderiza esta série \ seria então
impossível se não reduzíssemos o mesmo a algo muito
séries convergentes. Aplicando a elas o método de
Sobre o que acabamos de falar, encontramos algo muito simples.
expressão para a incógnita da qual resulta que se,
JOGOS DE Azar. 55
Por exemplo, B tem cem fichas, é uma aposta de um
pouco menos que um contra um, e o jogo terminará.
em 23780 lançamentos, e uma aposta de pouco mais de um
contra um que terminará em 23781 lançamentos.
Esses dois exemplos se somam aos que já temos.
Os dados fornecidos são suficientes para mostrar como os problemas de
Os jogos contribuíram para o aperfeiçoamento da análise.
Sumário
56 CAPÍTULO VII.
A RESPEITO DAS DESIGUALDADES DESCONHECIDAS QUE POSSAM EXISTIR
ENTRE AS CHANCES QUE SE DEVERIAM SER IGUAIS
As desigualdades deste tipo afetam os resultados de
o cálculo de probabilidades uma influência sensível
que merece atenção especial. Vejamos o
jogo de cara ou coroa, e suponhamos que seja
igualmente fácil lançar um lado ou o outro do
moeda. Então, a probabilidade de tirar cara no lançamento da moeda.
primeiro arremesso e o de arremessá-lo duas vezes com sucesso-
A ção é J. Mas se existir na moeda uma desigualdade
o que faz com que um dos rostos apareça em vez do outro.
outro sem saber qual lado é favorecido por isso
desigualdade, a probabilidade de tirar cara no primeiro lançamento
O arremesso sempre será; devido à nossa ignorância de
Qual face é favorecida pela desigualdade Qual é a probabilidade?
O efeito do evento simples aumenta se essa desigualdade for
favorável a ele, assim como diminui se o
A desigualdade é contrária a isso. Mas nessa mesma ignorância
a probabilidade de tirar cara duas vezes seguidas é
aumentou. Na verdade, essa probabilidade é a de arremessar
cara no primeiro lançamento multiplicado pela probabilidade
DESIGUALDADES DESCONHECIDAS ENTRE AS OPORTUNIDADES. 57
que, tendo sido lançado no primeiro lançamento, será lançado
no segundo; mas o fato de estar acontecendo no primeiro arremesso é um
razão para acreditar que a desigualdade da moeda a favorece;
À medida que a desigualdade desconhecida aumenta, então, a probabilidade
de lançar caras no segundo lançamento; consequentemente
aumenta o produto dessas duas probabilidades. Em
Para submeter essa questão ao cálculo, suponhamos...
que essa desigualdade aumenta em um vigésimo a probabilidade-
capacidade do evento simples que ele favorece. Se isso
Se o evento for cara, sua probabilidade será mais -fo, ou \,
e a probabilidade de lançá-lo duas vezes seguidas
será o quadrado de -j^-, ou |f . Se o evento favorecido for
Se sair cara, a probabilidade de sair coroa será | menos ^ > ou *V
e a probabilidade de lançá-lo duas vezes seguidas
será T Vo- Já que a princípio não temos motivo para
acreditando que a desigualdade favorece um desses eventos
Em vez do outro, fica claro que para ter
a probabilidade do evento composto cara cara
é necessário somar as duas probabilidades anteriores e
Pegue a metade da soma deles, o que dá ^| para isso.
probabilidade, que excede em ^Jg- ou pelo quadrado de
o favor -fa que a desigualdade acrescenta às possibilidades
do evento que ele favorece. A probabilidade de lançamento-
dar cara ou coroa é similar a f^, mas a probabilidade de
Jogar cara ou coroa ou coroa cara ou coroa é cada jV T; para
a soma dessas quatro probabilidades deve ser igual a cer-
contaminação ou unidade. Constatamos, portanto, geralmente que a
causas constantes e desconhecidas que favorecem eventos simples
que são julgadas igualmente possíveis sempre aumentam
a probabilidade de repetição do mesmo simples
evento.
Em um número par de lançamentos, cara ou coroa deveria acontecer.
58 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
ambos ocorrerem um número par ou ímpar de vezes.
número de vezes. A probabilidade de cada um destes
O caso é se as possibilidades das duas faces forem iguais;
mas se houver entre eles uma desigualdade desconhecida, isso
A desigualdade é sempre favorável ao primeiro caso.
Dois jogadores cujas habilidades supostamente são iguais jogam
sob a condição de que em cada lançamento aquele que perder
oferece uma resposta ao seu adversário, e que o jogo*
O jogo continua até que um dos jogadores fique sem fichas.
O cálculo das probabilidades mostra que para
a igualdade do jogo os lançamentos dos jogadores deveriam
ser uma proporção inversa aos seus contadores. Mas se houver
entre os jogadores existe uma pequena desigualdade desconhecida.
favorece aquele jogador que tem o menor
número de fichas. Sua probabilidade de ganhar o
O jogo aumenta se os jogadores concordarem em dobrar ou triplicar a aposta.
seus contadores; e será ou o mesmo que o
probabilidade do outro jogador no caso em que o
O número de seus contadores deve se tornar infinito, pré-
servindo sempre a mesma proporção.
Pode-se corrigir a influência desses desconhecidos
desigualdades, submetendo-as elas mesmas às
chances de perigo. Assim, no jogo de caras e
cara, se alguém tiver uma segunda moeda que é lançada cada
tempo com o primeiro e um concorda em nomear constantemente
cara a face virada para cima pela segunda moeda, o prob-
habilidade de lançar cabeças duas vezes seguidas com o
A primeira moeda se aproximará muito mais do que no caso
de uma única moeda. Neste último caso, a diferença é a
o quadrado do pequeno incremento de possibilidade de que o
desigualdade desconhecida dá à face da primeira moeda
que favorece; no outro caso, essa diferença é a
DESIGUALDADES DESCONHECIDAS ENTRE AS OPORTUNIDADES. 59
produto quádruplo deste quadrado pelo correspondente
quadrado em relação à segunda moeda.
Que sejam lançados numa urna cem números
de i a 100 na ordem de numeração, e depois
tendo agitado a urna para misturar os números um
está desenhado; fica claro que se a mistura foi bem feita
foram feitas as probabilidades do sorteio dos números
Será a mesma coisa. Mas se temermos que haja entre
essas pequenas diferenças dependem da ordem
de acordo com o qual os números foram lançados em
com a urna, diminuiremos consideravelmente essas diferenças.
lançando em uma segunda urna os números de acordo com
à ordem de seu sorteio da primeira urna, e por
agitar então esta segunda urna para misturar o
números. Uma terceira urna, uma quarta urna, etc., seria
essas diferenças já estão diminuindo cada vez mais.
imperceptível na segunda urna.
Sumário
60 CAPÍTULO VIII.
SOBRE AS LEIS DA PROBABILIDADE
QUE RESULTAM DA MULTIPLICAÇÃO INDEFINIDA DE EVENTOS.
Em meio às causas variáveis e desconhecidas que enfrentamos
compreender sob o nome de acaso, e que
tornar incerta e irregular a marcha dos acontecimentos, nós
veja aparecendo, na medida em que eles multiplicam, um
uma regularidade impressionante que parece seguir um padrão e
o que tem sido considerado uma prova da Providência.
Mas, ao refletirmos sobre isso, reconhecemos que isto
A regularidade é apenas o desenvolvimento do respectivo
possibilidades de eventos simples que deveriam apresentar
eles mesmos com mais frequência quando são mais prováveis.
Imaginemos, por exemplo, uma urna que contém
bolas brancas e bolas pretas; e suponhamos que
Cada vez que uma bola é sorteada, ela é colocada de volta na urna.
antes de prosseguir para um novo sorteio. A proporção do
número de bolas brancas sorteadas em relação ao número de bolas pretas
As bolas sorteadas serão, na maioria das vezes, muito irregulares na primeira tentativa.
desenhos; mas as causas variáveis dessa irregularidade
produzem efeitos alternadamente favoráveis e desfavoráveis a
a marcha regular de eventos que se destroem mutuamente
MULTIPLICAÇÃO INDEFINIDA DE EVENTOS. 61
mutuamente na totalidade de um grande número de empates,
permitindo-nos perceber cada vez mais a proporção cf
bolas brancas para as bolas pretas contidas na urna, ou
as respectivas possibilidades de desenhar uma bola branca ou
Bola preta em cada sorteio. Disso resulta o seguinte:
teorema ing.
A probabilidade de que a proporção do número de brancos
O número de bolas sorteadas em relação ao número total de bolas sorteadas é
não se desviar além de um determinado intervalo da proporção de
o número de bolas brancas em relação ao número total de bolas
contido na urna, aproxima-se indefinidamente da certeza
pela multiplicação indefinida de eventos, por menores que sejam.
este intervalo.
Este teorema, indicado pelo senso comum, era difícil-
culto para demonstrar por meio de análise. Consequentemente, o
o ilustre geômetra Jacques Bernoulli, que primeiro
tem se dedicado a isso, atribui-lhe grande importância.
às demonstrações que ele fez. O cálculo de
funções discriminantes aplicadas a esta questão não apenas
demonstra com facilidade este teorema, mas ainda mais ele
fornece a probabilidade de que a proporção dos eventos
O valor observado desvia-se do valor verdadeiro apenas dentro de certos limites.
proporção de suas respectivas possibilidades.
Pode-se inferir do teorema anterior isto:
consequência que deve ser considerada como geral
lei, ou seja, que as proporções dos atos da natureza são
muito constantes quando esses atos são considerados em
grande número. Assim, apesar da variedade de anos
a soma das produções durante um número considerável
ber de anos é sensivelmente o mesmo; de modo que o homem por útil
A previsão é capaz de proteger contra a irregularidade de
as estações, distribuindo-as igualmente por todo o
62 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
as estações os bens que a natureza distribui em um
de maneira desigual. Não excedo a lei acima mencionada.
resultados devido a causas morais. A proporção anual
nascimentos em relação à população, e casamentos em relação aos nascimentos,
mostram apenas pequenas variações; em Paris, o número de
O número de nascimentos anuais é quase o mesmo, e eu já ouvi dizer isso.
disse nos correios em épocas normais o número
de cartas descartadas devido a endereços incorretos
Muda pouco a cada ano; isso também foi observado.
em Londres.
Segue-se novamente deste teorema que, em uma série de
os eventos prolongaram indefinidamente a ação dos regulares e
As causas constantes devem prevalecer a longo prazo.
a das causas irregulares. É isso que torna o
Os ganhos das loterias são tão certos quanto os produtos de
agricultura; as chances que eles reservam lhes asseguram
um benefício na totalidade de um grande número de lançamentos.
Assim, oportunidades favoráveis e numerosas estão constantemente surgindo.
ligado à observância dos princípios eternos de
razão, de justiça e de humanidade que estabelecem e
para manter as sociedades, há uma grande vantagem em con-
conformando-se a esses princípios e causando grande inconveniente
ao se afastar deles. Se alguém consultar histórias e
Com base em sua própria experiência, todos os fatos se confirmarão.
com a ajuda deste resultado do cálculo. Considere o feliz
efeitos de instituições fundadas na razão e
direitos naturais do homem entre os povos que têm
saber como estabelecê-los e preservá-los. Considere
novamente as vantagens que a boa fé proporcionou para
os governos que fizeram disso a base de seus
conduta e como eles foram indenizados por isso
sacrifícios que exigem uma escrupulosa exatidão na manutenção
MULTIPLICAÇÃO INDEFINIDA DE EVENTOS. 63
O que seus compromissos lhes custaram. Que imenso
Crédito em casa! Que preponderância no exterior! Em
Pelo contrário, veja que abismo de infortúnios.
As nações muitas vezes foram impulsionadas pela ambição.
e a perfídia de seus chefes. Toda vez que um
Grande poder embriagado pelo amor à conquista aspira a
à dominação universal o sentimento de independência
produz entre as nações ameaçadas uma coalizão de
que quase sempre se torna a vítima. Da mesma forma.
em meio às causas variáveis que se estendem ou
restringir os diversos estados, com os limites naturais atuando como
As causas constantes devem acabar prevalecendo. É
importante, portanto, para a estabilidade, bem como para a felicidade.
a necessidade de impérios não os estenderem além desses limites
para onde são conduzidos novamente, sem cessar, pelo
ação das causas; assim como as águas dos mares
Erguidas por tempestades violentas, caem novamente em suas bacias.
pela força da gravidade. É novamente um resultado da
cálculo de probabilidades confirmado por numerosos e
experiências melancólicas. História tratada a partir do
do ponto de vista da influência de causas constantes seria
unir-se ao interesse da curiosidade 1que oferta ao homem
lições mais úteis. Às vezes atribuímos o
resultados inevitáveis dessas causas para as circunstâncias acidentais-
circunstâncias que produziram sua ação. É,
por exemplo, contrariando a natureza das coisas que alguém
As pessoas nunca devem ser governadas por outras quando...
Um vasto mar ou uma grande distância os separam. Pode ser que...
Pode-se afirmar que, a longo prazo, essa causa constante,
unindo-se sem cessar às causas variáveis
que agem da mesma maneira e cujo curso de
Com o tempo, tudo se desenrolará e terminará quando os encontrarmos suficientemente.
64 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
forte para dar a um povo subjugado sua independência natural
pendência ou uni-la a um estado poderoso que pode
ser contíguos.
Em um grande número de casos, e estes são os mais comuns.
importante na análise de riscos, as possibilidades de
Eventos simples são desconhecidos e somos forçados a pesquisar
em eventos passados para os índices que podem nos guiar em
nossas conjecturas sobre as causas pelas quais eles
dependem. Ao aplicar a análise discriminante
funções para o princípio elucidado acima sobre o problema-
capacidade das causas extraídas dos eventos observados,
Somos levados ao seguinte teorema.
Quando um evento simples ou um composto de vários
eventos simples, como, por exemplo, em um jogo, têm sido
repetiu inúmeras vezes as possibilidades do
eventos simples que tornam mais provável aquilo que
Foram observadas aquelas que a observação indica
com a maior probabilidade; na medida em que o
Se o evento observado se repetir, essa probabilidade aumenta.
e terminaria por se tornar uma certeza se o número-
As sequências de repetições deveriam se tornar infinitas.
Existem dois tipos de aproximações: uma é
em relação aos limites tomados em todos os lados da possibilidade-
laços que conferem ao passado a maior probabilidade; o
Outra aproximação está relacionada à probabilidade de que
Essas possibilidades se enquadram nesses limites. A repetição-
A ocorrência do evento composto aumenta cada vez mais
essa probabilidade, mantendo-se os limites os mesmos;
reduz cada vez mais o intervalo desses limites, o
probabilidade permanecendo a mesma; no infinito este intervalo
torna-se zero e a probabilidade muda para certeza.
Se aplicarmos este teorema à proporção de nascimentos de
MULTIPLICAÇÃO INDEFINIDA DE EVENTOS. 65
A diferença entre meninos e meninas foi observada em diferentes países.
Na Europa, constatamos que essa proporção, que está presente em todos os lugares, é observada em todos os lugares.
aproximadamente igual ao de 22 a 21, indica com um
probabilidade extrema uma maior facilidade no nascimento de
meninos. Considerando ainda que o mesmo ocorre em Naptes
E em São Petersburgo, veremos que, a esse respeito,
A influência do clima não tem efeito. Nós poderíamos
então suspeitam, ao contrário da crença comum, que isto
A predominância de nascimentos masculinos existe mesmo em
Oriente. Consequentemente, convidei os franceses.
estudiosos enviados ao Egito para se ocuparem com isso
Pergunta interessante; mas a dificuldade em obter
Não foi possível obter informações exatas sobre os nascimentos.
para que eles resolvessem o problema. Felizmente, M. de Humboldt não o fez.
negligenciou essa questão em meio às inúmeras novas
coisas que ele observou e colecionou na América
Com tanta sagacidade, constância e coragem. Ele
constatou-se nos trópicos a mesma proporção de nascimentos que
observamos em Paris; isso deveria nos fazer considerar o
maior número de nascimentos masculinos como lei geral de
a raça humana. As leis que regem os diferentes tipos
dos animais que seguem neste aspecto me parecem dignos de
a atenção dos naturalistas.
O fato de a proporção de nascimentos de meninos em relação à de
meninas diferem muito pouco da unidade, mesmo na grande
número de nascimentos observados em um local que ofereceria em
a este respeito um resultado contrário à lei geral, sem
o que nos levaria a concluir corretamente que esta lei
não existia. Para chegar a esse resultado, é necessário
necessário empregar um grande número de pessoas e garantir que
Isso é indicado com grande probabilidade. Buffon cita, por exemplo,
Por exemplo, em sua Aritmética Política, várias comunidades...
66 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
laços da Borgonha onde os nascimentos de meninas têm sur-
passaram por aqueles dos meninos. Entre essas comunidades que
de Carcelle-le-Grignon apresenta-se em 20x39 nascimentos durante
cinco anos 1026 meninas e 983 meninos. Embora estes
Os números são consideráveis, indicam, porém, apenas
uma maior possibilidade de nascimentos de meninas com problemas-
capacidade de -fa, e esta probabilidade, menor que a de cf
não acertar quatro cabeçadas seguidas no jogo
A comparação entre caras e coroas não é suficiente para investigar o
causa dessa anomalia, que, de acordo com todos os prob-
habilidade, desapareceria se alguém a seguisse durante um
século ihe nascimentos nesta comunidade.
Os registros de nascimentos, que são mantidos com cuidado em
a fim de assegurar a condição dos cidadãos, pode servir
ao determinar a população de um grande império sem
recorrendo à enumeração de seus habitantes a
operação trabalhosa e difícil de realizar com
exatidão. Mas para isso é necessário conhecer o
Proporção da população em relação aos nascimentos anuais. O mais
A forma precisa de obtê-lo consiste, em primeiro lugar, em escolher
nos distritos do império distribuídos de forma quase igual
maneira por toda a sua superfície, de modo a tornar o
resultado geral independente das circunstâncias locais;
segundo, ao enumerar cuidadosamente para uma determinada época o
habitantes de várias comunidades em cada um desses distritos
restrições; terceiro, determinando a partir da declaração do
nascimentos durante vários anos que precedem e seguem
nesta época o número médio correspondente ao
nascimentos anuais. Esse número, dividido pelo de
habitantes, dará a proporção de nascimentos anuais para
a população de uma maneira cada vez mais precisa
à medida que a enumeração se torna mais considerável. O
MULTIPLICAÇÃO INDEFINIDA DE EVENTOS. 67
governo, convencido da utilidade de algo semelhante
enumeração, decidiu a meu pedido ordenar
sua execução. Em trinta distritos distribuídos igualmente
Em toda a França, comunidades têm sido
escolhido aquele que seria capaz de fornecer o mais exato
informações. Suas enumerações forneceram 2037615
indivíduos como o número total de seus habitantes em
23 de setembro de 1802. A declaração do
nascimentos nessas comunidades durante os anos de 1800,
1 80 1 e 1802 deram:
Nascimentos. Casamentos. Mortes.
1 103 1 2 meninos 46037 103659 homens
105.287 meninas, 99.443 mulheres
A proporção entre a população e os nascimentos anuais é
então 28 T 3 I7 5 oWb7r> ^ é maior do que o estimado
até este momento. Multiplicando o número de anos
nascimentos na França por essa proporção, teremos a população-
ulação deste reino. Mas qual é a probabilidade
que a população assim determinada não se desviará
da população real além de um determinado limite?
Resolver esse problema e aplicar à sua solução o
Com base nos dados anteriores, constatei que o número anual
Supostamente, o número de nascimentos na França seria de 1.000.000, o que
eleva a população para 28.352.845 habitantes, é um
aposta de quase 300.000 contra mim que o erro disso
O resultado não é meio milhão.
A proporção de nascimentos de meninos em relação ao de meninas que
a declaração anterior oferece a de 22 a 21; e
Os casamentos estão para os nascimentos assim como 3 está para 4.
Em Paris, os batismos de crianças de ambos os sexos variam.
um pouco da proporção de 22 para 21. Desde 1745, o
68 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
época em que se começou a distinguir o
sexos nos registros de nascimento, até o final de 1/84,
Nesta capital foram batizados 393.386 meninos.
e 377.555 meninas. A razão entre os dois números é
quase o de 25 a 24; parece então em Paris que um
Uma causa particular aproxima-se de uma igualdade de batismos.
dos dois sexos. Se aplicarmos a esta questão o
Calculando probabilidades, descobrimos que é uma aposta de 238.
a favor da existência desta causa, que é
suficiente para autorizar a investigação. Após reflexão-
Pareceu-me que a diferença observada
sustenta isso, que os pais no país e o
províncias, encontrando alguma vantagem em manter os meninos
em casa, foram enviados para o Hospital para Crianças Abandonadas em
Paris tem menos delas em relação ao número de meninas.
de acordo com a proporção de nascimentos entre os dois sexos. Isto
é comprovado pela declaração dos registros deste
hospital. Do início de 1745 até o final de
Em 1809, foram inscritos 163.499 meninos e 159.405.
meninas. O primeiro desses números excede apenas em -$$
a segunda, que deveria ter superado pelo menos
por ?V- Isso confirma a existência do atribuído
causa, ou seja, que a proporção de nascimentos de meninos em relação aos
de meninas em Paris é a de 22 a 21 anos, sem chamar a atenção por não ter
foram pagos a crianças abandonadas.
Os resultados anteriores pressupõem que podemos comparar
os nascimentos aos desenhos de bolas de uma urna que
contém um número infinito de bolas brancas e pretas
bolas tão misturadas que a cada sorteio as chances de tirar
deveria ser o mesmo para cada bola; mas é possível
que as variações das mesmas estações em diferentes
Os anos podem ter alguma influência sobre a proporção anual.
MULTIPLICAÇÃO INDEFINIDA DE EVENTOS. 69
do número de nascimentos de meninos em relação ao de meninas. O Departamento de
Longitudes da França publica anualmente em seu livro de referência.
as tabelas do movimento anual da população de
o reino. As tabelas já publicadas começam
em 1817; naquele ano e nos cinco anos seguintes.
Nasceram 2.962.361 meninos e 2.781.997 meninas.
o que resulta em aproximadamente T para a proporção de nascimentos de meninos.
em comparação com as meninas. As proporções de cada ano variam pouco.
A partir desse resultado médio, a menor proporção é a de
1822, onde era apenas ff; o maior é do ano
1817, quando era ff. Essas proporções variam consideravelmente.
a partir da proporção de |f| encontrada acima. Aplicando a isso
desvio a análise de probabilidades na hipótese
da comparação de nascimentos com desenhos de bolas
A partir de uma urna, constatamos que seria pouco provável.
Parece, então, indicar que esta hipótese,
Embora seja uma aproximação bastante precisa, não é rigorosamente exata.
No número de nascimentos que acabamos de mencionar ali
São filhos naturais 200.494 meninos e 190.698 meninas.
A proporção de nascimentos masculinos e femininos era então de
Nesse aspecto, ff é menor que a razão média de ff. Isso.
O resultado é no mesmo sentido que o dos nascimentos de
crianças abandonadas; e parece provar que na classe de
filhos naturais: a abordagem dos nascimentos dos dois sexos
mais próximo da igualdade do que na classe dos legítimos
crianças. A diferença dos climas do norte
ao sul da França não parece influenciar
notavelmente a proporção de nascimentos de meninos e meninas.
Os trinta distritos mais ao sul atribuíram T | para isso
proporção, a mesma que a de toda a França.
A constância da superioridade dos nascimentos de meninos
mais garotas em Paris e em Londres desde que elas foram
70 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
O que foi observado pareceu a alguns estudiosos ser uma prova.
da Providência, sem a qual eles pensaram que
as causas irregulares que perturbam sem cessar o
O curso dos acontecimentos deveria ter sido resolvido diversas vezes.
O número anual de nascimentos de meninas é superior ao de meninos.
Mas esta prova é um novo exemplo do abuso que
tem sido frequentemente feita de causas finais que sempre
desaparecem em uma análise minuciosa das perguntas.
Quando tivermos os dados necessários para resolvê-los.
A constância em questão é resultado de causas regulares que
conferem superioridade aos nascimentos de meninos e que
estenda-o às anomalias devido ao perigo quando o
O número de nascimentos anuais é considerável. A investigação-
gação da probabilidade de que essa constância se mantenha-
O próprio tain pertence há muito tempo a esse ramo do
análise de riscos que passa de eventos passados para
a probabilidade de eventos futuros; e tomando como base
Os nascimentos observados entre 1745 e 1784 são uma aposta de
quase 4 contra I que em Paris os nascimentos anuais de
Durante um século, o número de meninos superará constantemente o de nascimentos.
de meninas; não há, portanto, motivo para se espantar que
Isso vem acontecendo há meio século.
Vejamos outro exemplo do desenvolvimento de
proporções constantes que os eventos apresentam na medida
que eles são multiplicados. Imaginemos uma série de
urnas dispostas circularmente, e cada uma contendo muito
grande número de bolas brancas e bolas pretas; a proporção
de bolas brancas para as pretas nas urnas sendo originalmente
muito diferentes e assim por diante, por exemplo, que um destes
uma das urnas contém apenas bolas brancas, enquanto outra contém
apenas bolas pretas. Se alguém retirar uma bola da primeira urna
para colocá-lo no segundo, e, depois de ter
MULTIPLICAÇÃO INDEFINIDA DE EVENTOS. 71
agitou-se a segunda urna para misturar bem o novo conteúdo.
bola com os outros, um pega uma bola para colocá-la no
terceira urna, e assim por diante até a última urna, da qual se extrai
uma bola para colocar no primeiro, e se esta série for recomendada-
ameaçada continuamente, a análise de probabilidade mostra
nos mostram que as proporções de bolas brancas para pretas nestes
As urnas terminarão sendo iguais e iguais à proporção.
da soma de todas as bolas brancas para a soma de todas as
bolas pretas contidas nas urnas. Assim, por esta regularidade
modo de mudança a irregularidade primitiva dessas proporções
desaparece eventualmente para dar lugar ao
ordem mais simples. Agora, se entre essas urnas uma
intercalar novos em que a razão da soma de
as bolas brancas à soma das bolas pretas que elas
conter difere do precedente, continuando indefinido-
finalmente na totalidade das urnas os desenhos que nós
acabamos de indicar a ordem simples estabelecida no
As urnas antigas serão inicialmente perturbadas, e as proporções do
As bolas brancas se tornarão irregulares em relação às bolas pretas;
mas aos poucos essa irregularidade desaparecerá em
ordem para dar lugar a uma nova ordem, que finalmente
seja a igualdade das proporções das bolas brancas
às bolas pretas contidas nas urnas. Nós podemos
Aplique esses resultados a todas as combinações da natureza em
que as forças constantes pelas quais seus elementos são
Os animados estabelecem modos regulares de ação, adequados a
provocar no próprio âmago dos sistemas governados pelo caos
por leis admiráveis.
Os fenômenos que parecem ser os mais dependentes
então, quando o perigo está presente, ao multiplicar-se uma tendência
para se aproximar sem cessar de proporções fixas, em tal
de maneira que, se concebermos todos os lados de cada um deles
72 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
razões em um intervalo tão pequeno quanto desejado, a probabilidade
que o resultado médio das observações se enquadra neste intervalo.
O intervalo terminará diferindo da certeza apenas por um
quantidade maior que uma magnitude atribuível. Assim
pelos cálculos de probabilidades aplicados a um grande
número de observações que podemos reconhecer a existência
dessas proporções. Mas antes de buscar as causas, é
necessário, para não sermos levados a especulações vãs,
para nos certificarmos de que são indicados por um problema.
habilidade que não nos permite considerá-los como
Anomalias devido a perigos. A teoria do discriminante.
A função fornece uma expressão muito simples para esse problema.
habilidade, que é obtida pela integração do produto de
a diferencial da quantidade da qual o resultado
deduzido de um grande número de observações varia
da verdade por uma constante menor que a unidade, dependente
sobre a natureza do problema, e elevado a um poder
cujo expoente é a razão entre o quadrado desta variável-
ção ao número de observações. A integral tomada
entre os limites dados e dividido pelo mesmo
integral, aplicada a um infinito positivo e negativo,
expressará a probabilidade de que a variação em relação ao
A verdade está compreendida entre esses limites. Tal é a
lei geral da probabilidade de resultados indicados por um
grande número de observações.
Sumário
73 CAPÍTULO IX.
A APLICAÇÃO DO CÁLCULO DE PROBABILIDADES À FILOSOFIA NATURAL.
Os fenômenos da natureza são, na maioria das vezes, envoltos em
por tantas circunstâncias estranhas e por uma magnitude tão grande
várias causas perturbadoras misturam sua influência, que
É muito difícil reconhecê-los. Podemos chegar
apenas multiplicando as observações ou o
experiências, de modo que os estranhos efeitos finalmente destruam
reciprocamente um com o outro, os resultados médios sendo colocados em
evidenciar esses fenômenos e seus diversos elementos.
Quanto maior o número de observações e
quanto menos eles variam entre si, mais eles
Os resultados se aproximam da verdade. Cumprimos esta última condição.
pela escolha dos métodos de observação, pelo
precisão dos instrumentos e pelo cuidado que nós
observar atentamente; então determinamos por meio de
teoria das probabilidades o meio mais vantajoso
resultados ou aqueles que apresentam o menor valor de erro.
Mas isso não basta; é necessário ainda que
aprecie a probabilidade de que os erros destes
Os resultados estão compreendidos dentro dos limites dados; e sem
Temos apenas um conhecimento imperfeito do grau disso.
74 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
de exatidão obtida. Fórmulas adequadas a estas
então, as questões são verdadeiras melhorias do método de
ciências, e é realmente importante adicioná-las a isso.
método. A análise que eles exigem é a mais
delicado e o mais difícil da teoria de prob-^
habilidades; é um dos principais objetivos do trabalho
que publiquei sobre essa teoria, e na qual
Cheguei a fórmulas deste tipo que têm o
notável vantagem de ser independente da lei
da probabilidade de erros e de incluir apenas o
quantidades dadas pelas próprias observações e
suas expressões.
Cada observação possui, para uma expressão analítica, um
função dos elementos que desejamos determinar;
e se esses elementos forem quase conhecidos, essa função
torna-se uma função linear de suas correções. Em
equiparando-a à própria observação, forma-se uma
equação de condição. Se tivermos um grande número de
Equações semelhantes, nós as combinamos dessa maneira
de modo a obter o maior número possível de equações finais, quantas forem as equações existentes.
mentos cujas correções determinamos então por resolução-
aplicando essas equações. Mas qual é a mais vantajosa?
maneira de combinar equações de condição para
Para obter as equações finais Qual é a lei da
probabilidades de erros dos quais os elementos ainda são
suscetíveis que nós extraímos deles Isso é feito
claro para nós pela teoria das probabilidades. A forma-
ção de uma equação final por meio da equação de
A condição consiste em multiplicar cada um deles por
um fator indeterminado e pela união dos produtos;
É necessário escolher o sistema de fatores que fornece
a menor possibilidade de erro. Mas é evidente.
PROBABILIDADES E FILOSOFIA NATURAL. 75
que se multiplicarmos os possíveis erros de um elemento por
suas respectivas probabilidades, a mais vantajosa
O sistema será aquele em que a soma desses produtos
Tudo, considerado positivamente, é um mínimo; para um positivo ou um
Um erro negativo deve ser considerado uma perda. Formulário-
então, esta soma de produtos, a condição do
O mínimo determinará o sistema de fatores que ele
é conveniente adotar, ou seja, o sistema mais vantajoso.
Constatamos, portanto, que este sistema é o dos coeficientes.
dos elementos em cada equação de condição; de modo que
Formamos uma primeira equação final multiplicando-a em relação a...
tivamente cada equação de condição pelo seu coeficiente de
o primeiro elemento e unindo todas essas equações assim
multiplicado. Formamos uma segunda equação final por em-
aplicando da mesma forma os coeficientes de tl.e.
segundo elemento, e assim por diante. Desta forma, o elemento-
comentários e as leis dos fenômenos obtidos no
coleção de um grande número de observações são
desenvolvido com base nas evidências mais robustas.
A probabilidade dos erros que cada elemento
ainda deixa a ser temido, sendo proporcional ao número
cujo logaritmo hiperbólico é a unidade elevada a uma potência
igual ao quadrado do erro tomado como um negativo
quantidade e multiplicada por um coeficiente constante que
pode ser considerado como o módulo da probabilidade de
os erros; porque, permanecendo o erro o mesmo, seu
A probabilidade diminui rapidamente quando a primeira
aumenta; de modo que o elemento obtido pesa, se eu
pode assim falar em direção à verdade, tanto mais quanto isto
O módulo é maior. Por essa razão, eu o chamaria assim.
módulo o peso do elemento ou do resultado.
Este peso é o maior possível no sistema de
76 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
fatores mais vantajosos; é isso que proporciona
à superioridade deste sistema sobre os outros. Por um notável
analogia desse peso com o de corpos comparados
Em seu centro de gravidade comum, resulta que se o
O mesmo elemento é fornecido por diversos sistemas, compostos por...
cada uma de um grande número de observações, a mais
vantajoso, o resultado médio de sua totalidade é o
soma dos produtos de cada resultado parcial pelo seu respectivo peso.
Além disso, o peso total dos resultados dos mergulhadores
sistemas é a soma de seus pesos parciais; de modo que o
probabilidade dos erros do resultado médio deles
A totalidade é proporcional ao número que possui unidade.
para um logaritmo hiperbólico elevado a uma potência igual a
o quadrado do erro tomado como negativo e multiplicado
pela soma dos pesos. Cada peso depende de
verdade sobre a lei da probabilidade de erro de cada
sistema, e quase sempre essa lei é desconhecida; mas
Felizmente, consegui eliminar o fator que
contém-o por meio da soma dos quadrados do
variações das observações neste sistema a partir de seus
resultado médio. Seria então desejável para
completar nosso conhecimento dos resultados obtidos pelo
totalidade de um grande número de observações que escrevemos
Ao lado de cada resultado, o peso correspondente.
para isso; a análise fornece para este objetivo tanto informações gerais quanto
métodos simples. Quando tivermos obtido assim o
exponencial que representa a lei da probabilidade-
capacidade de erros, teremos a probabilidade de que o
O erro do resultado está incluído dentro dos limites estabelecidos por
tomando dentro dos limites a integral do produto de
esta exponencial pela diferencial do erro e
multiplicando-o pela raiz quadrada do peso do
PROBABILIDADES E FILOSOFIA NATURAL. 77
resultado dividido pela circunferência cujo diâmetro é
unidade. Portanto, segue-se que para a mesma probabilidade
Os erros dos resultados são inversamente proporcionais ao quadrado.
raízes de seus pesos, o que serve para comparar seus
respectiva precisão.
Para aplicar este método com sucesso, é necessário
necessário variar as circunstâncias das observações
ou as experiências de forma a evitar o
causas constantes de erro. É necessário que o
As observações devem ser numerosas, e que elas devem
tanto mais quanto mais elementos existirem para
determinar; pois o peso do resultado médio aumenta
como o número de observações dividido pelo número
dos elementos. Ainda é necessário que os elementos
seguir um rumo diferente nessas observações; pois se o
O curso dos dois elementos era exatamente o mesmo,
o que tornaria seus coeficientes proporcionais em
equação de condições, esses elementos formariam apenas
uma única incógnita e seria impossível
para distingui-los por meio dessas observações. Finalmente,
É necessário que as observações sejam precisas;
Essa condição, antes de tudo, aumenta consideravelmente a
peso do resultado cuja expressão tem para
um divisor é a soma dos quadrados dos desvios do
observações a partir deste resultado. Com estas precauções
Poderemos utilizar o método anterior.
e medir o grau de confiança dos resultados.
deduzido de um grande número de observações.
A regra que acabamos de apresentar para concluir a equa-
ções de condição, equações finais, equivalem à renderização
um mínimo a soma dos quadrados dos erros de
observações; para cada equação de condição torna-se
78 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
exato, substituindo nele a observação mais o seu
erro; e se extrairmos dele a expressão deste
erro, é fácil ver que a condição do mínimo
da soma dos quadrados dessas expressões resulta em
regra em questão. Esta regra é mais precisa do que a
As observações são mais numerosas; mas mesmo no caso
onde seu número é pequeno, parece natural que
empregam a mesma regra que, em todos os casos, oferece uma solução simples.
meios de obter as correções sem tatear
que procuramos determinar. Serve ainda para com-
comparar a precisão das diversas tabelas astronômicas de
a mesma estrela. Essas tabelas podem sempre ser consideradas
reduzidas à mesma forma, e então elas diferem apenas
pelas épocas, pelos movimentos médios e pelos coeficientes
dos argumentos; pois se um deles contém um coeficiente-
cient que não é encontrado nos outros, fica claro que
Isso equivale a supor que o coeficiente seja zero neles.
deste argumento. Se agora retificarmos essas tabelas por
A totalidade das boas observações, elas satisfariam.
a condição de que a soma dos quadrados dos erros
deve ser um mínimo; as tabelas que, comparadas a um
número considerável de observações, aproxime-se do mais próximo
Essa condição justifica, portanto, a preferência.
É principalmente na astronomia que o método
O que foi explicado acima pode ser empregado com vantagem.
As tabelas astronômicas devem algo verdadeiramente surpreendente a elas.
exatidão que eles alcançaram com a precisão de
observações e teorias, e ao uso de equações
de condições que fazem com que concorram um grande número de
excelentes observações na correção do mesmo.
elemento. Mas resta determinar a probabilidade
dos erros que esta correção ainda deixa por serem
PROBABILIDADES E FILOSOFIA NATURAL. 79
temido; e o método que acabei de explicar
nos permite reconhecer a probabilidade desses erros.
Para apresentar algumas aplicações interessantes disso, eu
se beneficiaram do imenso trabalho que o Sr. Bouvard realizou.
acaba de terminar sobre os movimentos de Júpiter e
Saturno, do qual ele elaborou tabelas muito precisas.
Ele discutiu com o máximo cuidado as oposições.
e quadraturas desses dois planetas observadas por
Bradley e pelos astrônomos que o seguiram
ele até os últimos anos; ele concluiu o cor-
reações dos elementos de seu movimento e seus
massas comparadas à do sol, tomada como unidade.
Seus cálculos indicam que a massa de Saturno é igual a
a 3512ª parte da do sol. Aplicando-se a eles
De acordo com minhas fórmulas de probabilidade, constatei que se trata de uma aposta de
n,ooo contra um que o erro deste resultado não é
T ^ do seu valor, ou aquilo que equivale a quase o
o mesmo que após um século de novas observações adicionadas a
os anteriores, e examinados da mesma maneira,
o novo resultado não diferirá em TL ff daquele de
Sr. Bouvard. Este sábio astrônomo encontra novamente o
massa de Júpiter igual à i-ésima parte do sol;
E meu método de probabilidade indica uma aposta de 1.000.000.
para que este resultado não seja T ^o- em erro.
Este método pode ser empregado novamente com sucesso em
operações geodésicas. Determinamos o comprimento do
grande arco na superfície da terra por triangulação,
que depende de uma base medida com exatidão.
Mas qualquer que seja a precisão que se possa atribuir à medição
dos ângulos, os erros inevitáveis podem, por acumulação-
ing, causa o valor do arco concluído a partir de um grande
número de triângulos que se desviam consideravelmente do
80 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
verdade. Reconhecemos esse valor, então, apenas de forma imperfeita.
a menos que a probabilidade de seu erro esteja compreendida dentro de
Podem ser atribuídos limites dados. O erro de uma geodésica
O resultado é uma função dos erros dos ângulos de cada um.
triângulo. Eu dei na obra citada geral
fórmulas para obter a probabilidade dos valores
de uma ou de várias funções lineares de um grande número
de erros parciais dos quais conhecemos a lei da probabilidade-
habilidade; podemos então, por meio dessas fórmulas, determinar-
calcular a probabilidade de que o erro de um resultado geodésico
está contido dentro dos limites atribuídos, quaisquer que sejam.
a lei da probabilidade de erros parciais. É mais-
mais do que necessário para nos tornarmos independentes
da lei, visto que as leis mais simples em si mesmas são
sempre infinitamente menos provável, vendo o infinito
número daqueles que podem existir na natureza. Mas o
A lei desconhecida dos erros parciais é introduzida no
fórmula:: um indeterminado que não permite de
reduzindo-os a números, a menos que sejamos capazes de eliminá-los.
Nate isso. Vimos que em questões astronômicas,
onde cada observação fornece uma equação de condição-
ção para obtenção dos elementos, eliminamos isso
determinante por meio da soma dos quadrados dos
restos quando os valores mais prováveis do elemento-
Os valores foram substituídos em cada equação. Geodésico
Para questões que não oferecem equações semelhantes, é necessário
buscar outro meio de eliminação. A quantidade
pela qual a soma dos ângulos de cada triângulo observado-
ângulo ultrapassa dois ângulos retos mais o esférico
O excesso fornece esse meio. Assim, substituímos por
soma dos quadrados dessas quantidades a soma dos
quadrados dos restos das equações de condição;
PROBABILIDADES E FILOSOFIA NATURAL. 81
e podemos atribuir numericamente a probabilidade de que o
erro do resultado final de uma série de operações geodésicas
não excederá uma determinada quantidade. Mas qual é a
maneira mais vantajosa de dividir entre os três
ângulos de cada triângulo a soma observada de seus
erros A análise de probabilidades torna isso possível.
evidente que cada ângulo deve ser diminuído por um
um terço dessa soma, desde que o peso de um geodésico
o resultado seja o maior possível, o que torna o mesmo
erro menos provável. Há, portanto, uma grande vantagem.
ao observar os três ângulos de cada triângulo e de
Corrigindo-os, como acabamos de dizer. Simples e comum.
O sentido indica essa vantagem; mas o cálculo de
Somente as probabilidades são capazes de compreendê-lo e de o interpretar.
fica evidente que, com essa correção, ele se torna o maior.
possível.
Para se certificar da exatidão do
valor de um grande arco que repousa sobre uma base medida
em uma de suas extremidades mede-se uma segunda base
em direção à outra extremidade; e conclui-se a partir de
uma dessas bases tem o mesmo comprimento da outra. Se isso
O comprimento varia muito pouco em relação à observação, há
Todos os motivos levam a crer que a cadeia de triângulos que
O que une essas bases é quase exato e, da mesma forma,
valor do grande arco que resulta disso. Um cor-
retângulos, então, esse valor modificando os ângulos do
triângulos de tal forma que a base seja calculada
de acordo com as bases medidas. Mas isso pode ser
feito de infinitas maneiras, dentre as quais a preferida
aquela em que o resultado geodésico tem o maior
peso, na medida em que o mesmo erro se torna menos provável-
capaz. A análise de probabilidades fornece fórmulas para
82 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
obtendo diretamente a correção mais vantajosa
que resulta das medições dos vários
bases e as leis da probabilidade que a multiplicidade
das bases criam leis que se tornam muito rapidamente
diminuindo por essa multiplicidade.
Geralmente, os erros dos resultados deduzidos de um
Um grande número de observações são funções lineares.
dos erros parciais de cada observação. O coeficiente-
Os objetivos dessas funções dependem da natureza do
problema e sobre o processo seguido para
obter os resultados. O processo mais vantajoso é
evidentemente, aquele em que o mesmo erro nos resultados é
menos provável do que segundo qualquer outro processo.
A aplicação do cálculo de probabilidades a
A filosofia natural consiste, então, em determinar analiticamente-
chamamos de probabilidade os valores dessas funções
e na escolha de seus coeficientes indeterminados em tais casos.
de uma maneira que a lei dessa probabilidade deveria ser
descendo mais rapidamente. Eliminando, então, do
fórmulas pelos dados da questão o fator que é
introduzida pela lei quase sempre desconhecida do
probabilidade de erros parciais, podemos ser capazes de avaliar
numericamente a probabilidade de que os erros dos resultados
não excedam uma determinada quantidade. Assim, teremos
Tudo o que se possa desejar em relação aos resultados obtidos.
a partir de um grande número de observações.
Resultados muito aproximados podem ser obtidos por outros métodos.
considerações. Suponha, por exemplo, que alguém tenha um
mil e uma observações da mesma quantidade;
a média aritmética de todas essas observações é a
resultado dado pelo método mais vantajoso. Mas
seria possível escolher o resultado de acordo com o
PROBABILIDADES E FILOSOFIA NATURAL. 83
condição de que a soma das variações de cada
O valor parcial, quando considerado positivamente, deve ser mínimo.
Parece, de fato, natural considerá-lo como muito aproximado.
o resultado que satisfaz essa condição. É fácil de
veja que se alguém dispor dos valores dados pelo observador-
variações de acordo com a ordem de grandeza, o valor
que ocupará a média cumprirá o precedente
condição, e o cálculo torna evidente que no
No caso de um número infinito de observações, seria
coincidir com a verdade; mas o resultado dado pelo
O método mais vantajoso continua sendo o preferível.
Vemos pelo que foi apresentado anteriormente que a teoria de
probabilidades não deixam nada arbitrário na maneira de
distribuindo os erros das observações; isso dá para
esta distribuição das fórmulas mais vantajosas que
minimiza ao máximo os erros a temer
nos resultados.
A consideração das probabilidades pode servir para des-
distinguir as pequenas irregularidades do movimento celeste-
mentos envoltos em erros de observação, e para
retorno à causa das anomalias observadas nestes
movimentos.
Ao comparar todas as observações, foi Ticho-Brahe quem concluiu.
que reconheceram a necessidade de se candidatar à lua
uma equação de tempo diferente daquela que havia sido
aplicado ao sol e aos planetas. Era semelhante.
a totalidade de um grande número de observações que
fez Mayer reconhecer que o coeficiente do
a desigualdade da precessão deve ser diminuída
pouco para a lua. Mas desde essa diminuição, embora
confirmado e até mesmo reforçado por Mason, não
parecem resultar da gravitação universal, a maioria
84 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
Muitos astrônomos o negligenciam em seus cálculos.
submetido ao cálculo de probabilidades um considerado-
um número considerável de observações lunares escolhidas para este fim.
propósito e que o Sr. Bouvard consentiu em examinar
A meu pedido, pareceu-me que estava indicado com
uma probabilidade tão forte que eu acreditei na causa disso.
Deveria ser investigado. Logo percebi que seria.
apenas a elipticidade do esferoide terrestre, negligenciada
até então, na teoria do movimento lunar como
ser capaz de produzir apenas termos imperceptíveis. Eu
concluíram que esses termos se tornaram perceptíveis pelo
integrações sucessivas de equações diferenciais. I
então determinou esses termos por meio de uma análise específica,
e descobri primeiro a desigualdade do movimento lunar-
mento em latitude que é proporcional ao seno de
a longitude da lua, que nenhum astrônomo antes
já suspeitava. Reconheci então por meio disto.
desigualdade que outra existe no movimento lunar em
longitude que produz a diminuição observada por
Mayer na equação da precessão aplicável 1º
a lua. A quantidade dessa diminuição e a
coeficiente da desigualdade precedente em latitude são
Muito apropriado para corrigir o achatamento da terra.
Após ter comunicado minhas pesquisas a M. Burg, que
estava ocupado naquele tempo em aperfeiçoar as tabelas de
a lua pela comparação de todas as boas observações-
ções, eu pedi a ele para determinar com um em particular
preste atenção a essas duas quantidades. Por algo muito notável
concordância com os valores que ele encontrou para dar ao
terra a mesma oblatividade, 7 JT, que difere pouco de
a média derivada das medições dos graus
do meridiano e do pêndulo; mas aqueles considerados
PROBABILIDADES E FILOSOFIA NATURAL. 85
do ponto de vista da influência dos erros de
as observações e das causas perturbadoras nestes
-as medidas não me pareceram exatamente determinadas
por meio dessas desigualdades lunares.
Foi novamente pela consideração das probabilidades que
Reconheci a causa da equação secular do
lua. As observações modernas desta estrela compararam
Os eclipses antigos haviam indicado aos astrônomos um
aceleração no movimento lunar; mas a geometria-
cianos, e particularmente Lagrange, tendo buscado em vão
nas perturbações que esse movimento experimentou
rejeitar os termos dos quais essa aceleração depende.
isso. Um exame atento do antigo e
observações modernas e dos eclipses intermediários
O que os árabes observaram me convenceu de que era
indicado com grande probabilidade. Retomei.
Então, desse ponto de vista, a teoria lunar, e eu
reconheceu que a equação secular da lua se deve
à ação do sol sobre este satélite, combinada
com a variação secular da excentricidade do ter-
orbe de retentativa; isso me levou à descoberta do
equações seculares dos movimentos dos nós e
dos perigeus da órbita lunar, cujas equações tinham
nem sequer foi suspeitado pelos astrônomos. O próprio
notável concordância desta teoria com todas as outras
Observações antigas e modernas levaram a isso a
um grau de evidência muito elevado.
O cálculo de probabilidades me levou, de forma semelhante, a
a causa das grandes irregularidades de Júpiter e
Saturno. Comparando observações modernas com observações antigas,
Halley descobriu uma aceleração no movimento de
Júpiter e um retardo no de Saturno. Para
86 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
Para conciliar as observações, ele reduziu o movimento-
comentários a duas equações seculares de sinais contrários e
aumentando à medida que os quadrados dos tempos passavam desde
1700. Euler e Lagrange submeteram à análise o
alterações que a atração mútua destes dois
Os planetas deveriam produzir nesses movimentos. Eles
encontraram, ao fazer isso, as equações seculares; mas as suas
Os resultados foram tão diferentes que pelo menos um dos dois
deveria estar errado. Decidi então assumir
novamente este importante problema da mecânica celeste, e
Reconheci a invariabilidade da média planetária
movimentos, que anularam as equações seculares introduzidas-
Induzido por Halley nas tabelas de Júpiter e Saturno.
Assim, restam, para explicar o grande
irregularidade desses planetas, apenas as atrações dos
cometas aos quais muitos astrônomos tinham eficácia
recurso, ou a existência de uma irregularidade ao longo de um longo período
período produzido pelos movimentos dos dois planetas
por sua ação recíproca e afetados por ações contrárias
sinais para cada um deles. Um teorema que encontrei em
A atenção dada às desigualdades desse tipo tornou isso possível.
desigualdade muito provável. De acordo com este teorema,
Se o movimento de Júpiter for acelerado, o de Saturno também será.
é retardado, o que já se conformou com o quê
Halley havia notado; além disso, a aceleração de
Júpiter, resultante do mesmo teorema, é para o
a desaceleração de Saturno está quase na mesma proporção que
equações seculares propostas por Halley. Considerando o
movimentos médios de Júpiter e Saturno I foram habilitados
é fácil reconhecer que é duas vezes maior que Júpiter.
diferiu apenas por uma quantidade muito pequena de cinco vezes.
a de Saturno. O período de uma irregularidade que
PROBABILIDADES E FILOSOFIA NATURAL. 87
para um argumento essa diferença seria
cerca de nove séculos. Na verdade, seu coeficiente seria
da ordem dos cubos das excentricidades do
órbitas; mas eu sabia que em virtude de integrações sucessivas-
ções que adquiriu para divisor o quadrado do muito pequeno
multiplicador do tempo no argumento desta desigualdade
que é capaz de lhe conferir um grande valor; a existência de
Essa desigualdade me pareceu, então, muito provável.
A seguinte observação aumentou então a sua probabilidade.
Supondo que seu argumento seja zero em direção à época do
Observações de Ticho-Brahe, vi que Halley deveria
ter descoberto pela comparação do moderno com o antigo
observações as alterações que ele havia indicado;
enquanto a comparação das observações modernas entre
eles próprios deveriam oferecer alterações contrárias semelhantes
àquelas que Lambert havia concluído a partir deste com-
parison. Não hesitei, então, em empreender.
esse cálculo longo e tedioso é necessário para garantir
eu mesma dessa desigualdade. Isso foi totalmente confirmado por
o resultado desse cálculo, que além disso me fez
reconhecer um grande número de outras desigualdades das quais
A totalidade inclinou as tábuas de Júpiter e Saturno.
com a precisão das mesmas observações.
Foi novamente por meio do cálculo de probabilidades.
que reconheci a notável lei da média
movimentos dos três primeiros satélites de Júpiter, de acordo com-
ing ao qual a longitude média do primeiro menos
três vezes a do segundo mais duas vezes a do
A terceira é rigorosamente igual à metade da circunferência.
A aproximação com que os movimentos médios de
essas estrelas satisfazem essa lei, visto que sua descoberta indica
sua existência com extrema probabilidade. Eu busquei
88 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
então a causa disso está em sua ação mútua. O
Uma análise minuciosa dessa ação me convenceu de que
Bastava que, no início, as proporções dos seus
movimentos médios haviam se aproximado dessa lei dentro de
certos limites, porque sua ação mútua havia estabelecido-
lida e mantida rigorosamente. Assim, esses três
Os corpos se equilibrarão eternamente no espaço.
De acordo com a lei precedente, salvo por causas estranhas,
como os cometas, deveriam mudar repentinamente seu movimento-
comentários sobre Júpiter.
Assim, percebe-se a necessidade de estar presente.
atentos aos sinais da natureza quando eles são os
resultado de um grande número de observações, embora em
Em outros aspectos, podem ser inexplicáveis pelo conhecimento.
Meios. A extrema dificuldade dos problemas em relação a
O sistema do mundo obrigou os geômetras a recorrerem à recorrência.
para a aproximação que sempre deixa espaço para o
medo de que as quantidades negligenciadas possam ter uma apreciação-
influência capaz. Quando eles forem avisados disso
Influenciados pelas observações, eles recorreram a
sua análise; ao retificá-la, eles sempre encontraram
a causa das anomalias observadas; eles determinaram-
exploraram as leis e muitas vezes anteciparam o que acontecia.
observações na descoberta das desigualdades que possuía
ainda não indicado. Assim, pode-se dizer que a natureza
ela própria concordou com o aperfeiçoamento analítico do
Teorias baseadas no princípio da gravidade universal;
e esta é, a meu ver, uma das provas mais fortes de
a veracidade desse princípio admirável.
Nos casos que acabei de considerar,
A solução analítica da questão alterou a
transformar a probabilidade das causas em certeza. Mas, na maioria das vezes,
PROBABILIDADES E FILOSOFIA NATURAL. 89
Essa solução é impossível e resta apenas...
aumentar cada vez mais essa probabilidade. No meio
de inúmeras e incalculáveis modificações que o
A ação das causas recebe então de circunstâncias estranhas-
As posições que essas causas mantêm sempre os efeitos.
observaram as proporções adequadas para torná-los reconhecíveis
e para verificar sua existência. Determinar essas proporções
e comparando-os com um grande número de observadores.
ções se alguém constatar que elas as satisfazem constantemente, o
A probabilidade das causas pode aumentar a ponto de...
igualando-se aos fatos em relação aos quais não há
dúvida. A investigação dessas proporções de causas para
seus efeitos não são menos úteis na filosofia natural.
do que a solução direta de problemas, seja para
verificar a realidade dessas causas ou determinar a
leis a partir de seus efeitos; visto que pode ser empregado em um
grande número de questões cuja solução direta não é
possível, substitui-o da maneira mais vantajosa.
maneira. Discutirei aqui a aplicação que eu
transformaram-no num dos fenómenos mais interessantes.
ena da natureza, o fluxo e o refluxo do mar.
Pline descreveu esse fenômeno.
notável por sua exatidão, e nela se vê que
Os antigos haviam observado que as marés de cada mês
são maiores em direção às sizígias e menores em direção a
as quadraturas; que elas são mais altas nos perigeus
do que nos apogeus da lua, e mais alto no
nos equinócios do que nos solstícios. Eles concluíram a partir de
que esse fenômeno se deve à ação do
Sol e lua sobre o mar. No prefácio de seu livro.
A obra De Stella Martis Kepler admite uma tendência do
águas do mar em direção à lua; mas, ignorando o
90 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
sobre a lei dessa tendência, ele foi capaz de abordar esse assunto.
apenas uma ideia provável. Newton a transformou em certeza.
a probabilidade dessa ideia ao associá-la ao seu grande
princípio da gravidade universal. Ele deu o exato
expressão das forças atrativas que produziram a
enchente e vazante do mar; e a fim de determinar
os efeitos que ele supunha que o mar exercia em cada
instantâneo a posição de equilíbrio que é agradável
a essas forças. Ele explicou desta maneira o
principais fenômenos das marés; mas isso se seguiu de
esta teoria de que em nossos portos as duas marés são iguais
O dia seria muito desigual se o sol e a lua
deve ter uma grande declinação. Em Brest, por exemplo-
por exemplo, a maré da noite estaria nas sizígias do
solstícios cerca de oito vezes maiores que a manhã
maré, o que certamente contradiz as observações.
o que prova que essas duas marés são praticamente iguais.
Esse resultado da teoria newtoniana pode ser válido para
a suposição de que o mar está agradável em todos os instantes
para uma posição de equilíbrio, uma suposição que não é
de forma alguma admissível. Mas a investigação do verdadeiro
A figura do mar apresenta grandes dificuldades. Auxiliado por
as descobertas que os geômetras acabavam de fazer
na teoria do movimento dos fluidos e no
cálculo de diferenças parciais, eu realizei esta investigação-
porta, e eu forneci as equações diferenciais do
movimento do mar supondo que ele cubra o
toda a Terra. Ao me aproximar assim da natureza, eu tive a
satisfação de ver que meus resultados se aproximaram do
observações, especialmente no que diz respeito à pequena diferença
que existe em nossos portos entre as duas marés do
sizígias solsticiais do mesmo dia. Descobri que elas
PROBABILIDADES E FILOSOFIA NATURAL. 91
seriam iguais se o mar tivesse a mesma cor em todos os lugares.
profundidade; descobri ainda que ao dar a esta profundidade
valores convenientes que permitiram aumentar a altura
das marés em um porto, conforme as observações.
Mas essas investigações, apesar de sua generalidade, fizeram
não satisfazem de forma alguma as grandes diferenças que até mesmo
portos adjacentes presentes a este respeito e que comprovam
a influência das circunstâncias locais. A impossibilidade
de conhecer essas circunstâncias e a irregularidade de
a bacia dos mares e a da integração das equações
ções de diferenças parciais que são relativas tem com-
me obrigou a compensar a deficiência pelo método que eu
conforme indicado acima. Em seguida, procurei determinar
as maiores proporções possíveis entre as forças que
afetam todas as moléculas do mar e seus efeitos
observável em nossos portos. Para isso, utilizei o
seguindo o princípio, que pode ser aplicado a muitos
outros fenômenos.
'O estado do sistema de um corpo no qual o
As condições primitivas do movimento desapareceram.
pelas resistências que este movimento encontra
periódico como as forças que o animam.
Combinando esse princípio com o da coexistência
de oscilações muito pequenas, encontrei uma expressão
da altura das marés cujos arbitrários contêm o
efeito das circunstâncias locais de cada porto e são
reduzido ao menor número possível; é apenas
necessário compará-lo a um grande número de observações.
ções.
A convite da Academia de Ciências,
As observações foram feitas no início do último
século em Brest sobre as marés, que foram continuadas
92 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
durante seis anos consecutivos. A situação disso
O porto é muito favorável a esse tipo de observações; ele
comunica-se com o mar por um canal que deságua
em uma vasta alameda, no extremo da qual ficava o porto.
foi construída. As irregularidades do mar
estendendo-se, portanto, apenas em pequena medida para dentro do porto, apenas
como as oscilações que o movimento irregular de um
Os valores produzidos por um recipiente em um barômetro são diminuídos por um
Controle de fluxo realizado no tubo deste instrumento. Mais-
por cima, sendo as marés consideráveis em Brest, o acidente-
As variações de altura causadas pelos ventos são apenas fracas;
Da mesma forma, notamos nas observações dessas marés,
Por menor que seja a multiplicação, existe uma grande regularidade.
o que me levou a propor ao governo que
ordenar neste porto uma nova série de observações do
marés, continuaram durante um período do movimento do
nós da órbita lunar. Isso já foi feito. O
As observações começaram em 1º de junho de 1806; e desde então
Eles foram feitos todos os dias, sem interrupção.
Sou grato pelo zelo incansável do Sr. Bouvard.
Para todos os que interessam à astronomia, o imenso cálculo-
ções que a comparação da minha análise com a
As observações exigiram. Foram utilizadas.
cerca de seis mil observações, feitas durante o ano
1807 e os quinze anos seguintes. Resulta de
esta comparação que minhas fórmulas representam com um
notável precisão todas as variedades das marés rela-
ativo à digressão da lua, do sol, para o
declinação dessas estrelas, em relação às suas distâncias do
terra, e às leis de variação no máximo e
mínimo de cada um desses elementos. Os resultados
A partir desse acordo, existe uma probabilidade de que o fluxo e o refluxo ocorram.
PROBABILIDADES E FILOSOFIA NATURAL. 93
A formação do mar se deve à atração do sol e da lua.
tão próxima da certeza que deveria deixar espaço para dúvidas
Sem qualquer dúvida razoável. Transforma-se em certeza.
quando consideramos que essa atração deriva de
a lei da gravidade universal demonstrada por todos os
fenômenos celestes.
A ação da lua sobre o mar é mais do que
o dobro da do sol. Newton e seus sucessores em
O desenvolvimento desta ação recebeu atenção.
apenas aos termos divididos pelo cubo da distância
da lua à terra, julgando que os efeitos
devido aos seguintes termos, deveriam ser insignificantes.
Mas o cálculo das probabilidades deixa isso claro para nós.
que os menores efeitos das causas regulares podem se manifestar
eles próprios nos resultados de um grande número de observações
ções organizadas na ordem mais adequada para indicar
eles. Esse cálculo determina novamente a probabilidade deles.
habilidade e até que ponto é necessário multiplicar
as observações para torná-lo muito bom. Aplicando-o
às numerosas observações discutidas por M. Bouvard
Percebi que em Brest a ação da lua sobre
O mar é maior nas luas cheias do que nas luas novas.
luas, e maior quando a lua é austral do que
quando se trata de fenômenos boreais que só podem resultar em fenômenos boreais.
dos termos da ação lunar divididos pelo
quarta potência da distância da lua até a
terra.
Para chegar ao oceano, a ação do sol e do
A lua atravessa a atmosfera, o que deveria resultar em...
frequentemente sentir sua influência e ser submetido a
movimentos semelhantes aos do mar.
Esses movimentos produzem no barômetro uma periodicidade
94 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
oscilações. A análise deixou claro para mim que
Eles são insignificantes em nossos climas. Mas como locais
as circunstâncias aumentam consideravelmente as marés em nosso
portos, perguntei novamente se circunstâncias semelhantes
tornaram apreciáveis essas oscilações do
barômetro. Para isso, utilizei o meteoro-
observações lógicas que têm sido feitas todos os dias
Durante muitos anos no observatório real. As alturas
são observadas as leituras do barômetro e do termômetro.
lá às nove horas da manhã, ao meio-dia, às três
às 13h da tarde e às 11h da manhã.
noite. O Sr. Bouvard de fato desejava assumir
a consideração das observações dos oito anos
transcorreram de 1º de outubro de 1815 a 1º de outubro de 1823.
os registros. Ao descartar as observações no
maneira mais adequada para indicar a atmosfera lunar
Na enchente em Paris, encontro apenas um décimo oitavo de milésimo.
metro para a extensão da oscilação correspondente de
o barômetro. É este, em especial, que fez
sentimos a necessidade de um método para determinar o
probabilidade de um resultado, e sem esse método alguém é
forçados a apresentar como leis da natureza os resultados de
causas irregulares que frequentemente ocorrem em mete-
orologia. Este método foi aplicado ao resultado anterior.
demonstra a incerteza disso apesar do grande número
das observações empregadas, que seriam necessárias
aumentar dez vezes para obter um resultado suficiente-
cientificamente provável.
O princípio que serve de base para a minha teoria.
Os efeitos das marés podem ser estendidos a todos os efeitos do perigo.
às quais as causas variáveis são unidas de acordo com a regularidade
leis. A ação dessas causas produz no meio
PROBABILIDADES E FILOSOFIA NATURAL. 95
resultados de um grande número de variedades de efeitos que
seguem as mesmas leis e que podem ser reconhecidas por
a análise de probabilidades. Na medida em que
esses efeitos são multiplicados, essas variedades são mani-
repleto de uma probabilidade cada vez maior, o que seria
a certeza da aproximação se o número de efeitos do
Os resultados devem tender ao infinito. Este teorema é
análogo ao que eu já desenvolvi sobre
a ação de causas constantes. Toda vez, então, que
Uma causa cujo progresso é regular pode ter influência.
Com base em certos tipos de eventos, podemos buscar descobrir o seu significado.
influência através da multiplicação das observações e organização-
organizando-os na ordem mais adequada para indicar isso.
Quando essa influência parece se manifestar,
A análise de probabilidades determina a probabilidade de
sua existência e a de sua intensidade; portanto, a variação
da temperatura do dia para a noite modificando a presença-
certo da atmosfera e, consequentemente, da altura de
o barômetro, é natural pensar que o multiplicado
As observações dessas altitudes deveriam mostrar a influência-
ência do calor solar. De fato, há muito tempo
reconhecida no equador, onde essa influência aparece
para ser maior, uma pequena variação diurna na altura
do barômetro cujo máximo ocorre por volta de
nove horas da manhã e o mínimo cerca de
três horas da tarde. Um segundo maxivntin
ocorre por volta das onze horas da noite e um
segundo mínimo por volta das quatro horas da manhã.
As oscilações da noite são menores do que as do dia.
dia, cuja extensão é de cerca de dois milímetros.
A inconstância do nosso clima não levou isso em consideração.
variação em relação aos nossos observadores, embora possa ser menor
96 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
apreciável do que nos trópicos. M. Ramond tem
reconheceu e determinou isso em Clermont, o chefe
local do distrito de Puy-de-Dôme, por uma série de
observações precisas feitas durante vários anos; ele tem
Descobriu-se até que é menor nos meses de inverno.
do que em outros meses. As numerosas observações
que eu discuti para estimar a influência-
influência das atrações do sol e da lua sobre o
As altitudes barométricas em Paris me serviram de determinação.
explorando sua variação diurna. Comparando as alturas.
às nove horas da manhã com aqueles do mesmo
dias às três horas da tarde, esta variação é
manifestou-se com tanta evidência que seu valor médio
cada mês tem sido constantemente positivo para cada um dos
os setenta e dois meses compreendidos entre 1º de janeiro de 1817 e
1º de janeiro de 1823; seu valor médio nesses setenta e dois
meses tem sido quase 0,8 milímetros, um pouco menos
do que em Clermont e muito menos do que no Equador.
Percebi que o resultado médio do diurno
variações do barômetro das 9h da manhã até
Às 15h, a medida era de apenas 0,5428 milímetros nos três horários.
meses de novembro, dezembro, janeiro, e que
subiu para 1,0563 milímetros nos três anos seguintes.
meses, o que coincide com as observações de
Sr. Ramond. Os outros meses não oferecem nada semelhante.
Para aplicar o cálculo a esses fenômenos
Dentre essas probabilidades, comecei determinando a
lei da probabilidade das anomalias diurnas
variação devido ao perigo. Aplicando-a então ao observador-
Ao analisar as variações desse fenômeno, descobri que era uma aposta de 01
mais de 300.000x3 contra um que é uma causa regular
produziu isso. Não busco determinar essa causa; eu
PROBABILIDADES E FILOSOFIA NATURAL. 97
Contento-me em constatar sua existência. O período
da variação diurna regulada pelo indicador do dia solar-
afirma claramente que essa variação se deve à ação
do sol. A extrema pequenez do atrativo
A ação do sol sobre a atmosfera é comprovada por
pequenez dos efeitos devido às atrações conjuntas de
o sol e a lua. É então pela ação de seus
calor que o sol produz a variação diurna do
barômetro; mas é impossível submetê-lo ao cálculo.
os efeitos de sua ação na altura do barômetro
e sobre os ventos. A variação diurna do
A agulha magnética é certamente resultado da ação de
o sol. Mas será que esta estrela se comporta aqui como no dia?
variação do barômetro pelo seu calor ou pela sua influência
sobre a eletricidade e sobre o magnetismo, ou finalmente pelo
união dessas influências Uma longa série de observações-
As ações realizadas em diferentes países nos permitirão
Compreenda isso.
Um dos fenômenos mais notáveis do
O sistema do mundo é o de todos os movimentos de
rotação e revolução dos planetas e do
satélites no sentido da rotação do sol e
aproximadamente no mesmo plano do seu equador. Um fenômeno
O efeito do perigo não é tão notável: ele indica
uma causa geral que determinou todos os seus movimentos-
mentos. Para obter a probabilidade com que
esta causa é indicada, observaremos que
sistema planetário, tal como o conhecemos hoje, é composto por
composto por onze planetas e dezoito satélites em
pelo menos, se atribuirmos seis satélites ao Herschel,
planeta Urano. Os movimentos de rotação do
sol, dos seis planetas, da lua, dos satélites de
98 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
Júpiter, do anel de Saturno e de um de seus satélites.
foram reconhecidos. Esses movimentos se formam com
aqueles da revolução, uma totalidade de quarenta e três movimentos
direcionado no mesmo sentido; mas descobre-se pela análise-
sis de probabilidades de que seja uma aposta de mais de
4000000000000 contra um que esta disposição é
não é resultado de acaso; isso constitui uma probabilidade, de fato.
superior ao dos eventos históricos em relação aos quais
Sem dúvida existe. Deveríamos então acreditar, pelo menos, nisso.
com igual confiança de que uma causa primitiva tem
direcionaram os movimentos planetários, especialmente se nós
considere que a inclinação do maior número de
Esses movimentos no equador solar são muito pequenos.
Outro fenômeno igualmente notável da energia solar
sistema é o pequeno grau de excentricidade do
orbes dos planetas e dos satélites, enquanto as dos
Os cometas são muito alongados, as órbitas do sistema não
oferecendo quaisquer tons intermediários entre um ótimo e
uma pequena excentricidade. Somos novamente forçados a reconhecer-
aqui, observe o efeito de uma causa regular; o acaso tem
certamente não conferiu uma forma quase circular ao
órbitas de todos os planetas e seus satélites; é então
que a causa que determinou os movimentos de
Esses corpos os tornaram quase circulares. É
necessário, mais uma vez, que as grandes excentricidades do
As órbitas dos cometas devem resultar da existência
desta causa sem que esta tenha influenciado a direção
de seus movimentos; pois se constata que há quase
tantos cometas retrógrados quanto cometas diretos, e isso
a inclinação média de todas as suas órbitas em relação à eclíptica
aproxima-se muito de meio ângulo reto, como deveria.
seria como se os corpos tivessem sido jogados em perigo.
PROBABILIDADES E FILOSOFIA NATURAL. 99
Qualquer que seja a natureza da causa em questão,
visto que produziu ou dirigiu o movimento do
planetas, é necessário que tenha abrangido todos
os corpos e considerou todas as distâncias que os separam.
classificá-los, só pode ter sido um fluido de uma imensidão
extensão. Portanto, para tê-los dado em
a mesma sensação de um movimento quase circular em torno do
sol é necessário que esse fluido tenha envolvido
esta estrela como uma atmosfera. A consideração do
os movimentos planetários nos levam então a pensar que por
em virtude de um calor excessivo, a atmosfera do sol
foi originalmente estendida além das órbitas de todos os
planetas, e que se contraiu gradualmente para o seu
limites atuais.
No estado primitivo em que imaginamos o sol,
assemelhavam-se às nebulosas que o telescópio nos mostra.
composto por um núcleo mais ou menos brilhante rodeado
por uma nebulosa que, ao se condensar na superfície, deveria
para transformá-la um dia em uma estrela. Se alguém conceber
Por analogia, todas as estrelas se formaram dessa maneira, uma.
podem imaginar seu estado anterior de nebulosidade em si pré-
cedida por outras estrelas nas quais a matéria nebulosa era
cada vez mais difuso, sendo o núcleo cada vez menos
luminoso e denso. Recuando, então, até...
possível, chegar-se-ia a uma nebulosidade tão difusa
que seria quase impossível suspeitar de sua existência-
ência.
Esse é, de fato, o primeiro estado das nebulosas, que
Herschel observou com particular atenção por meio de seus
telescópios poderosos, e nos quais ele seguiu o
progresso da condensação, não em um único, estes
estágios que não se tornam apreciáveis t6 nos EUA, exceto depois
100 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
séculos, mas em sua totalidade, quase como se pode em
uma vasta floresta acompanha o aumento das árvores pelo
indivíduos das diversas idades que a floresta abriga.
Ele observou desde o princípio a matéria nebulosa.
espalhados em diversas massas nas diferentes partes do
céus, dos quais ocupa uma grande extensão. Ele tem
visto em algumas dessas massas, essa matéria ligeiramente con-
densamente agrupadas em torno de uma ou várias nebulosas fracamente luminosas.
Nas outras nebulosas, esses núcleos brilham, além disso, em
proporção à nebulosidade que os envolve.
As atmosferas de cada núcleo se separam.
por uma condensação ulterior, resultam as múltiplas dobras
nebulosas formadas por núcleos brilhantes muito adjacentes e
cercados por uma atmosfera; às vezes o
matéria nebulosa, por condensação de maneira uniforme,
produziu as nebulosas que são chamadas de planetárias.
Finalmente, um maior grau de condensação transforma tudo
essas nebulosas em estrelas. As nebulosas classificadas de acordo com
aderir a essa visão filosófica indica com um extremo
probabilidade sua futura transformação em estrelas e
o estado anterior de nebulosidade das estrelas existentes. O
As seguintes considerações servem de auxílio às provas.
extraído dessas analogias.
Durante muito tempo, a disposição particular de certos
Estrelas visíveis a olho nu chamaram a atenção.
de observadores filosóficos. Mitchel já
comentou como é improvável que as estrelas do
As Plêiades, por exemplo, deveriam ter sido confinadas em
o espaço estreito que os contém pelas probabilidades
apenas do risco, e ele concluiu a partir disso que
este grupo de estrelas e os grupos semelhantes que o
O céu apresenta isso como resultado de uma causa primitiva.
PROBABILIDADES E FILOSOFIA NATURAL. 101
ou de uma lei geral da natureza. Esses grupos são um
resultado necessário da condensação das nebulosas em
vários núcleos; é evidente que a matéria nebulosa
atraídos continuamente pelos diversos núcleos, eles
deverá formar, com o tempo, um grupo de estrelas igual ao de
As Plêiades. A condensação das nebulosas em dois
núcleos formam estrelas muito próximas, girando em torno do
um em relação ao outro, iguais àqueles cujos respectivos
Movimentos que Herschel já considerou. Tais movimentos.
são, além disso, o sexto do Cisne e o seu seguinte.
em que Bessel acaba de reconhecer um movimento específico-
comentários tão consideráveis e tão pouco diferentes que o
proximidade dessas estrelas umas às outras e suas
movimento em torno do centro de gravidade comum deveria
Para não deixar dúvidas. Assim se desce por graus.
da condensação da matéria nebulosa à con-
consideração do sol anteriormente cercado por uma vasta
atmosfera, uma consideração à qual se retorna, como
foi constatado, através da análise dos fenômenos
do sistema solar. Um caso tão notável dá a
a existência desse estado anterior do sol um problema-
habilidade muito próxima da certeza.
Mas como a atmosfera solar determinou a
movimentos de rotação e revolução dos planetas
e os satélites Se esses corpos tivessem penetrado
profundamente a atmosfera sua resistência teria causado
para que caiam sobre o sol; então, somos levados a crer
com grande probabilidade de que os planetas tenham sido
formadas nos limites sucessivos da atmosfera solar
que, contraindo-se com o frio, deveria ter abandonado
no plano de suas zonas equatoriais de vapores que o
A atração mútua de suas moléculas se transformou em
102 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
esferoides de Clivers. Os satélites têm sido semelhantes
formadas pelas atmosferas de seus respectivos planetas.
Desenvolvi isso detalhadamente em minha Exposição do
Sistema do Mundo esta hipótese, que parece
para satisfazer todos os fenômenos que este sistema
nos apresenta. Vou me contentar aqui com con-
considerando que a velocidade angular de rotação do
O sol e os planetas sendo acelerados pela sucessiva
condensação de suas atmosferas em suas superfícies, isso
deve ultrapassar a velocidade angular de revolução de
os corpos mais próximos que giram em torno deles. Observa-
A vation confirmou isso em relação ao
planetas e satélites, e até mesmo em proporção ao anel de
Saturno, cuja duração da revolução é de 0,438
dias, enquanto a duração da rotação de Saturno é
0,427 dias.
Nessa hipótese, os cometas são estranhos ao universo.
sistema planetário. Ao vincular sua formação a isso
das nebulosas, elas podem ser consideradas nebulosas pequenas.
nos núcleos, vagando de sistemas para sistemas solares,
e formada pela condensação da matéria nebulosa
espalhados em tamanha profusão pelo universo.
Os cometas seriam, portanto, em relação ao nosso sistema, como:
Os aerólitos estão em relação à Terra, à qual eles
pareceriam estranhos. Quando essas estrelas se tornarem
visíveis para nós, eles oferecem uma semelhança tão perfeita com o
nebulosas que muitas vezes são confundidas com elas; e
É somente através de seus movimentos, ou pelo conhecimento de
todas as nebulosas confinadas àquela parte dos céus
onde eles aparecem, que conseguimos distinguir
eles. Essa suposição explica de uma maneira feliz
a grande extensão que as cabeças e caudas dos cometas
PROBABILIDADES E FILOSOFIA NATURAL. 103
levem em consideração a medida em que se aproximam do sol, e o
extrema raridade dessas caudas que, apesar de sua
imensa profundidade, não enfraquecem de forma apreciável o
luz das estrelas que contemplamos.
Quando as pequenas nebulosas entram naquela parte do espaço
onde a atração do sol é predominante, e
que chamaremos de esfera de atividade desta estrela,
Isso os obriga a descrever órbitas elípticas ou hiperbólicas.
Mas sua velocidade sendo igualmente possível em todas as direções.
eles deveriam se mover indiferentemente em todos os sentidos e
sob todas as inclinações da elíptica, que é conforme-
capaz de fazer aquilo que foi observado.
A grande excentricidade das órbitas cometárias resulta
novamente, partindo da hipótese anterior. De fato, se estes
As órbitas são elípticas, ou seja, muito alongadas, visto que suas
Os eixos máximos são pelo menos iguais ao raio da esfera.
da atividade do sol. Mas essas órbitas podem ser hiper-
bólico; e se os eixos dessas hipérboles não forem muito
grande em proporção à distância média do sol
para a Terra, o movimento dos cometas que descrevem
eles parecerão sensatamente hiperbólicos. No entanto, de
as cem cometas das quais já temos o elemento-
mentos, nenhum pareceu certamente se mover em um
hipérbole; é necessário, então, que as chances que
dar uma hipérbole apreciável deve ser extremamente
raro em proporção às chances contrárias.
Os cometas são tão pequenos que, para se tornarem
visíveis, sua distância periélica deveria ser desconsiderada-
capaz. Até o momento, essa distância foi ultrapassada.
apenas o dobro do diâmetro da órbita terrestre, e
Na maioria das vezes, tem estado abaixo do raio dessa órbita.
Concebe-se que, para se aproximar tanto do
104 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
sol, sua velocidade no momento de sua entrada em
sua esfera de atividade deve ter uma magnitude e um
direção confinada dentro de limites estreitos. Em determinação-
pela análise de probabilidades a razão do
chances que, dentro desses limites, oferecem uma probabilidade apreciável
hipérbole, às probabilidades que dão uma órbita que
Pode ser confundido com uma parábola, descobri que
É uma aposta de pelo menos 6000 contra um de que uma nebulosa
que penetra na atividade do sol de tal maneira
A maneira como deve ser observada descreverá algo muito
elipse alongada ou hipérbole. Pela magnitude
do seu eixo, este último ficará consideravelmente confuso.
com uma parábola na parte que é observada; é
então não é surpreendente que, até este momento, hiperbólico
Os movimentos não foram reconhecidos.
A atração dos planetas e, talvez ainda mais, a
A resistência dos centros etéreos deveria ter mudado.
muitas órbitas cometárias nas elipses cujo eixo maior
é menor que o raio da esfera de atividade do
sol, o que aumenta as chances de órbitas elípticas.
Podemos acreditar que essa mudança ocorreu com
o cometa de 1759, e com o cometa cuja duração
são apenas mil e duzentos dias, e que reaparecerão
sem cessar nesse curto intervalo, a menos que o
evaporação que encontra em cada um de seus retornos ao
O periélio termina tornando-o invisível.
Além disso, por meio da análise de probabilidades,
verificar a existência ou a influência de certas causas
cuja ação se acredita existir sobre seres organizados.
De todos os instrumentos que podemos empregar em
a fim de reconhecer os agentes imperceptíveis da natureza.
Os nervos são os mais sensíveis, especialmente quando há paralisia.
PROBABILIDADES E FILOSOFIA NATURAL. 105
Causas particulares aumentam sua sensibilidade. É por meio delas
ajuda que a fraca eletricidade que o contato de dois
Foi descoberto o desenvolvimento de metais heterogêneos;
Isso abriu um vasto campo para as pesquisas de fisiologia.
cistas e químicos. Os fenômenos singulares que
resulta da extrema sensibilidade dos nervos em alguns
Indivíduos expressaram diversas opiniões sobre o assunto.
existência de um novo agente que foi denominado animal
magnetismo, sobre a ação no magnetismo comum,
e sobre a influência do sol e da lua em alguns
afeições nervosas e, finalmente, sobre as impressões.
que a proximidade de metais ou de água corrente
faz sentir. É natural pensar que a ação de
essas causas são muito fracas, e isso pode ser facilmente
perturbado por circunstâncias acidentais; assim porque em
Em alguns casos, sua existência não se manifesta de forma alguma.
Não deveria ser negado. Estamos tão longe de reconhecer-
abrangendo todos os agentes da natureza e seus diversos modos de
ação que seria anti-filosófico negar a
fenômenos unicamente porque são inexplicáveis no
estado atual do nosso conhecimento. Mas deveríamos
examine-os com a maior atenção possível.
Por mais escrupuloso que pareça, é mais difícil de admitir.
eles; e é aqui que entra o cálculo das probabilidades
torna-se indispensável para determinar exatamente o quê
ponto é necessário multiplicar as observações ou o
experiências a fim de obter vantagens para os agentes
que eles indicam, uma probabilidade superior à
razões que podem ser obtidas em outros lugares para não
admitindo-os.
O cálculo de probabilidades pode gerar resultados apreciáveis.
As vantagens e as desvantagens dos métodos
106 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
empregados nas ciências especulativas. Assim, a fim de
reconhecer os melhores tratamentos em uso no
Para curar uma doença, basta testar cada um deles.
em um número igual de pacientes, tornando todas as condições-
ações exatamente semelhantes; a superioridade da mais
O tratamento vantajoso se manifestará mais e
mais na medida em que o número aumenta; e
O cálculo tornará evidente o correspondente
probabilidade de sua vantagem e a proporção de acordo com
que é superior aos demais.
Sumário
107 CAPÍTULO X.
APLICAÇÃO DO CÁLCULO DE PROBABILIDADES ÀS CIÊNCIAS MORAIS.
Acabamos de ver as vantagens da análise de
probabilidades na investigação das leis da natureza
fenômenos cujas causas são desconhecidas ou tão complexas
afirmaram que seus resultados não podem ser submetidos ao cálculo.
Este é o caso de quase todos os assuntos da moral.
ciências. Tantas causas imprevistas, sejam elas ocultas
ou imperceptível, influência sobre as instituições humanas que é
é impossível julgar os resultados a priori. A série de
eventos que o tempo provoca desenvolvem esses resultados
e indica os meios de remediar aqueles que são
prejudicial. Leis sábias muitas vezes foram feitas neste
respeito; mas porque havíamos negligenciado a conservação do
muitos motivos foram revogados por serem considerados inúteis, e o
o fato de experiências irritantes terem tornado essa necessidade evidente.
Deveriam tê-los restabelecido novamente.
É muito importante manter em cada ramo do
administração pública: um registro exato dos resultados
que os diversos meios utilizados produziram, e que
são tantas as experiências criadas em grande escala por
governos. Apliquemos isso aos aspectos políticos e morais.
108 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
ciências o método fundado na observação e
sobre o cálculo, o método que tão bem nos serviu.
nas ciências naturais. Não ofereçamos nem um pouco
uma resistência inútil e frequentemente perigosa ao
efeitos inevitáveis do progresso do conhecimento; mas deixe
só mudamos com extrema cautela.
instituições e os usos aos quais já chegamos
por tanto tempo conformados. Deveríamos saber bem pelo
experiência do passado as dificuldades que eles
presente; mas ignoramos a extensão dos males.
que sua mudança pode produzir. Nessa ignorância
A teoria da probabilidade nos orienta a evitar toda e qualquer mudança;
É especialmente necessário evitar mudanças repentinas.
que no mundo moral, assim como no físico
O mundo jamais funcionará sem uma grande perda de força vital.
O cálculo de probabilidades já foi aplicado.
com sucesso em diversas áreas das ciências morais.
Apresentarei aqui os principais resultados.
Sumário
109 CAPÍTULO XI
SOBRE AS PROBABILIDADES DOS TESTEMUNHOS.
A maioria das nossas opiniões se baseia em
A probabilidade das provas é de fato importante para a sua submissão.
ao cálculo. É verdade que as coisas muitas vezes se tornam impossíveis.
pela dificuldade de apreciar a veracidade do espírito-
necessidades e pelo grande número de circunstâncias que
acompanham os atos que atestam; mas alguém é capaz em
vários casos para resolver os problemas que têm muito
analogia com as questões que são propostas e
cujas soluções podem ser consideradas aproximações adequadas-
ções para nos guiar e defender contra os erros e
Os perigos do raciocínio falacioso aos quais estamos expostos.
Uma aproximação desse tipo, quando bem feita,
é sempre preferível aos raciocínios mais falaciosos.
Vamos então tentar apresentar algumas regras gerais para obter-
fazendo isso.
Um único número foi sorteado de uma urna que
contém mil deles. Uma testemunha deste sorteio-
O anúncio diz que o número 79 foi sorteado; alguém pergunta...
probabilidade de tirar esse número. Suponhamos
Essa experiência tornou conhecido que esta testemunha
110 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
engana uma vez em dez, de modo que a probabilidade de ele
O depoimento é na TV. Aqui, o evento observado é a testemunha.
ness atestando que o número 79 foi sorteado. Este evento
podem resultar das duas hipóteses seguintes, a saber:
que a testemunha diga a verdade ou que engane.
Seguindo o princípio que foi exposto sobre
a probabilidade de causas extraídas de eventos observados
É necessário primeiro determinar a priori a probabilidade-
a probabilidade do evento em cada hipótese. Na primeira, a
probabilidade de a testemunha anunciar o número 79
é a probabilidade em si de se obter esse número,
Ou seja, TTTOTT - É necessário multiplicá-lo por
a probabilidade j 6 ff da veracidade da testemunha; um
terá então T |hn5 fr a probabilidade do evento
observado nesta hipótese. Se a testemunha enganar,
O número 79 não foi sorteado, e a probabilidade disso é...
O caso é $$$$. Mas para anunciar o sorteio deste
número que a testemunha tem que escolher entre os 999
números não sorteados; e como ele supostamente não tem nenhum
motivo de preferência pelos que não são os
Outros, a probabilidade de ele escolher o número 79.
é -577; multiplicando, então, essa probabilidade pela pré-
cedendo um, teremos y^Vo para a probabilidade de que
a testemunha anunciará o número 79 no segundo
hipótese. É necessário multiplicar isso novamente.
probabilidade por TV da própria hipótese, que dá
uriinr frt^ e probabilidade do evento em relação a isso
hipótese. Agora, se formarmos uma fração cujo numeral-
tor é a probabilidade relativa à primeira hipótese, e
cujo denominador é a soma das probabilidades relativas-
dependente das duas hipóteses, teremos, até o sexto
princípio, a probabilidade da primeira hipótese e
Sobre as probabilidades dos testemunhos, 111
essa probabilidade será T 9 ff; ou seja, a veracidade
da própria testemunha. Esta é igualmente a probabilidade
da sorte do número 79. A probabilidade do
falsidade da testemunha e falha no desenho
esse número é fa.
Se a testemunha, desejando enganar, tiver algum interesse
Ao escolher o número 79 dentre os números não sorteados,
se ele julgar, por exemplo, que tendo colocado sobre
esse número representa uma participação considerável, segundo o anúncio.
de seu sorteio aumentará seu crédito, a probabilidade
que ele escolherá esse número não será mais tão
Inicialmente, -jfg, depois será , , etc., de acordo com o
interesse que ele terá ao anunciar o sorteio.
Supondo que seja |, será necessário multiplicar
por esta fração a probabilidade T VVo m para entrar em
a hipótese da falsidade a probabilidade do
evento observado, que ainda precisa ser multiplicado
por y^, o que dá TihhjT fr a probabilidade do
evento na segunda hipótese. Então a probabilidade
da primeira hipótese, ou do sorteio do número 79,
é reduzido pela regra anterior a yfg-. É então
bastante diminuído pela consideração do in-
interesse que a testemunha possa ter ao anunciar o
desenho do número 79. Na verdade, esse mesmo interesse
aumenta a probabilidade de a testemunha falar.
A verdade se o número 79 for sorteado. Mas essa probabilidade
não pode exceder a unidade ou |; portanto, a probabilidade do
O desenho do número 79 não ultrapassará T y>T- Comum
O bom senso nos diz que esse interesse deveria inspirar desconfiança.
mas o cálculo reconhece a influência disso.
A probabilidade a priori do número anunciado
pela testemunha é a unidade dividida pelo número do
112 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
números na urna; é alterado em virtude do
prova da veracidade da própria testemunha; pode então
ser diminuído pela prova. Se, por exemplo, a urna
contém apenas dois números, o que dá para o
probabilidade a priori do sorteio do número I, e se
A veracidade de uma testemunha que a anuncia é de T%, isto.
O desenho torna-se menos provável. De fato, é evidente,
visto que a testemunha passa a ter maior inclinação para um
mais do que em relação à verdade, que seu testemunho
deveria diminuir a probabilidade do fato atestado
sempre que essa probabilidade for igual ou superior a .
Mas se houver três números na urna, a probabilidade é
O valor a priori do sorteio do número I é aumentado por
a afirmação de uma testemunha cuja veracidade supera qualquer outra.
Suponha agora que a urna contenha 999 bolas pretas.
e uma bola branca, e essa bola tendo sido
Uma testemunha do desenho anuncia que isto
A bola é branca. A probabilidade do evento observado é
determinado a priori na primeira hipótese, estará aqui,
como na questão anterior, igual a -foooir- Mas m
a hipótese em que a testemunha engana, o branco
A bola não foi sorteada e qual a probabilidade desse caso?
é TV(TV É necessário multiplicá-lo pela probabilidade-
capacidade TV da falsidade, que dá T |||^ para o
probabilidade do evento observado em relação ao segundo
hipótese. Essa probabilidade era apenas T ol7nr m tne
pergunta anterior; essa grande diferença resulta de
isto, que uma bola preta tendo sido sorteada a testemunha
Quem deseja enganar não tem outra escolha a fazer.
entre as 999 bolas não sorteadas para anunciar
o desenho de uma bola branca. Agora, se alguém formar duas
frações cujos numeradores são as probabilidades relativas
Sobre as probabilidades dos testemunhos. 113
para cada hipótese, e cujo denominador comum é
A soma dessas probabilidades será i^^ para
a probabilidade da primeira hipótese e do sorteio
de uma bola branca, e T Vir 9 ff fr a probabilidade do
segunda hipótese e do desenho de uma bola preta.
Essa última probabilidade se aproxima muito da certeza; ela
se aproximaria muito mais e se tornaria
TVoVoVs se a urna contivesse um milhão de bolas das quais
uma era branca, o desenho de uma bola branca tornando-se
então muito mais extraordinário. Vemos assim como o
A probabilidade da falsidade aumenta na medida.
que o feito se torna ainda mais extraordinário.
Até o momento, supusemos que a testemunha
não estava enganado de forma alguma; mas se admitirmos, no entanto,
a possibilidade de seu erro, o incidente extraordinário
torna-se mais improvável. Então, em vez dos dois
Uma das hipóteses será composta pelas quatro seguintes:
Ou seja: a da testemunha não enganar e não ser
completamente enganado; que a testemunha não esteja enganando
tudo e estando enganado; a hipótese da testemunha
enganando e não estando enganado de forma alguma; finalmente, que
da testemunha estar enganando e se equivocando. Deter-
mineração a priori em cada uma dessas hipóteses a probabilidade-
capacidade do evento observado, descobrimos pelo sexto
princípio a probabilidade de que o fato atestado seja falso
igual a uma fração cujo numerador é o número de
bolas pretas na urna multiplicadas pela soma de
probabilidades de que a testemunha não engane de forma alguma
e está enganado, ou que ele engana e não está enganado.
tomado, e cujo denominador é este numerador
aumentada pela soma das probabilidades de que o
A testemunha não engana de forma alguma e não está enganada.
114 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
tudo, ou que ele engana e se engana ao mesmo tempo
tempo. Vemos por isso que se o número de pretos
A quantidade de bolas na urna é muito grande, o que torna o sorteio muito fácil.
ing da bola branca extraordinária, a probabilidade de que
o fato atestado não é verdadeiro aproxima-se mais de
certeza.
Aplicando essa conclusão a todos os feitos extraordinários.
Daí resulta que a probabilidade do erro ou de
a falsidade da testemunha torna-se muito maior
pois o fato atestado é ainda mais extraordinário. Alguns
Os autores defenderam o contrário com base no seguinte:
a visão de um fato extraordinário sendo perfeitamente semelhante
para aquele de um fato comum, os mesmos motivos deveriam ser
nos leva a dar à testemunha a mesma credibilidade quando ele
Afirma um ou outro destes fatos. Simples
O senso comum rejeita uma afirmação tão estranha; mas o
cálculo de probabilidades, ao mesmo tempo que confirma as descobertas
de senso comum, aprecia a maior improbabilidade.
de testemunhos relativos a fatos extraordinários.
Esses autores insistem e pressupõem duas testemunhas.
igualmente dignos de crédito, dos quais o primeiro atesta que
Ele viu um indivíduo morto há quinze dias, a quem o
A segunda testemunha afirma ter visto tudo ontem.
da vida. Um ou outro desses fatos não oferece nenhuma vantagem.
improbabilidade. A reserva do indivíduo é uma
resultado da sua combinação; mas os testemunhos não
não nos conduzem diretamente a esse resultado, embora o
A credibilidade que esses testemunhos merecem não deveria ser atribuída a
ser diminuído pelo fato de que o resultado de sua com-
A combinação é extraordinária.
Mas se a conclusão que resulta da comparação-
A combinação dos depoimentos era impossível, um deles era impossível.
Sobre as probabilidades dos testemunhos. 115
seria necessariamente falso; mas uma conclusão impossível-
A ção é o limite das conclusões extraordinárias, assim como o erro.
é o limite das conclusões improváveis; o valor do
testemunhos que se tornam zero no caso de um
Uma conclusão impossível deveria então ser muito
diminuiu na medida de uma conclusão extraordinária.
Isso é de fato confirmado pelo cálculo de probabilidade-
habilidades.
Para tornar isso mais claro, vamos considerar duas urnas, A.
e B, sendo que o primeiro contém um milhão de bolas brancas.
e a segunda, um milhão de bolas pretas. Uma delas é retirada de
uma dessas urnas contém uma bola, que ele coloca de volta na...
outra urna, da qual se retira uma bola. Duas
testemunhas, uma do primeiro desenho, a outra do
Em segundo lugar, atestem que a bola que viram foi desenhada.
é branco sem indicar a urna de onde veio.
foram elaborados. Cada depoimento tomado isoladamente não é suficiente.
improvável; e é fácil ver que a probabilidade
A veracidade do próprio testemunho comprova o fato atestado.
Mas isso decorre da combinação dos depoimentos.
que uma bola branca foi extraída da urna A em
o primeiro sorteio, e então colocado na urna B.
reapareceu no segundo sorteio, o que é muito
extraordinário; para esta segunda urna, contendo então uma
Uma bola branca entre um milhão de bolas pretas, qual a probabilidade?
de desenhar a bola branca é yc-UFor- ^ n para
determinar a diminuição que resulta no problema-
capacidade da coisa anunciada pelas duas testemunhas
Notaremos que o evento observado é aqui o
afirmação por cada um deles de que a bola que ele tem
visto extraído é branco. Vamos representar por T 9 T o
probabilidade de que ele anuncie a verdade, o que pode
116 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
ocorrem no presente caso quando a testemunha não
enganar e não está enganado de forma alguma, e quando ele
Engana e se engana ao mesmo tempo. Pode-se dizer que...
Formule as quatro hipóteses seguintes:
1º. A primeira e a segunda testemunhas dizem a verdade.
Em seguida, uma bola branca foi retirada da urna.
A, e a probabilidade desse evento é |, já que a bola
O primeiro sorteio pode ter sido realizado ou não.
de uma ou outra urna. Consequentemente, a bola
O desenho, colocado na urna B, reapareceu no
segundo sorteio; a probabilidade deste evento é
a probabilidade do fato anunciado é então
Multiplicando-o pelo produto das probabilidades -fa
e y 9 ^ que as testemunhas digam a verdade, alguém irá
tem ^nnrVoinr fr a probabilidade do evento ob-
serviu de base para esta primeira hipótese.
2º. A primeira testemunha diz a verdade e a segunda...
não importa se ele engana e não está enganado ou
Ele não engana e está enganado. Então um branco
A bola foi retirada da urna A no primeiro sorteio.
e a probabilidade desse evento é . Então esta bola
tendo sido colocada na urna B uma bola preta foi
extraído dela: a probabilidade de tal extração é
|_o_o 0.0.0 . então se tem #{$!$ para a probabilidade de
o evento composto. Multiplicando-o pelo produto
das duas probabilidades T 9 e TV de que a primeira testemunha
diz a verdade e a segunda não, uma.
terá y^^fjfo. para a probabilidade do evento
observado na segunda hipótese.
3º. A primeira testemunha não diz a verdade e
O segundo anuncia. Então, uma bola preta foi...
retirado da urna B no primeiro desenho, e depois
Sobre as probabilidades dos testemunhos, 117
tendo sido colocada na urna A, uma bola branca foi
retirado desta urna. A probabilidade do primeiro de
esses eventos são e o do segundo é T #$S$T ; o
A probabilidade do evento composto é então i^^-^f.
Multiplicando-o pelo produto das probabilidades 1 3 jr
e que a primeira testemunha não diz a verdade
e que o segundo o anuncie, um terá
siiHfTmHta para a probabilidade do evento observado
em relação a essa hipótese.
4º. Por fim, nenhuma das testemunhas diz a verdade.
Em seguida, uma bola preta foi retirada da urna B em
o primeiro sorteio; depois de ter sido colocado na urna A
reapareceu no segundo desenho: o prob-
A capacidade deste evento composto é aooooo?- Multiplicar-
multiplicando-o pelo produto das probabilidades -fa e y 1 ^- de que
Nem todas as testemunhas falam a verdade; uma delas terá...
200000200 fr a probabilidade do evento observado em
esta hipótese.
Agora, para obter a probabilidade da coisa
anunciado pelas duas testemunhas, ou seja, que um branco
A cada sorteio, uma bola é sorteada, sendo necessário...
divida a probabilidade correspondente ao primeiro hy-
hipótese pela soma das probabilidades relativas a
as quatro hipóteses; e então, para este problema, temos...
habilidade yg-ooooas' uma fração extremamente pequena.
Se as duas testemunhas confirmarem a primeira, que um branco
A bola foi retirada de uma das duas urnas, A e
B; o segundo em que uma bola branca foi igualmente
retirado de uma das duas urnas A' e B', bastante
Semelhante aos primeiros, a probabilidade da coisa
O anunciado pelas duas testemunhas será o produto de
as probabilidades de seus testemunhos, ou y\V; então irá
118 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
ser pelo menos cento e oitenta mil vezes
maior que o anterior. Vê-se por isso como
muito, no primeiro caso, o reaparecimento no segundo
sorteio da bola branca sorteada no primeiro sorteio, o
conclusão extraordinária dos dois depoimentos de-
diminui o seu valor.
Não daríamos crédito algum ao testemunho de um
homem que deveria nos atestar que ao lançar cem
Os dados foram lançados ao ar e todos caíram com a mesma face.
Se tivéssemos sido espectadores desse evento,
Só devemos acreditar em nossos próprios olhos depois de observá-los cuidadosamente.
examinou todas as circunstâncias e, após ter
trouxeram os testemunhos de outros olhos para serem
Tenho quase certeza de que não houve alucinação nem
engano. Mas, após este exame, não deveríamos
hesitar em admitir isso, apesar de sua extrema improbabilidade;
e ninguém se sentiria tentado, para explicá-lo, a
Recorrer à negação das leis da visão. Deveríamos
Conclui-se, a partir disso, que a probabilidade da constância
das leis da natureza é para nós maior do que isso, que
O evento em questão não ocorreu de forma alguma.
probabilidade maior do que a da maioria dos seus-
fatos históricos que consideramos incontestáveis. Um
podem julgar por isso o imenso peso dos testemunhos.
necessário admitir uma suspensão das leis naturais, e
quão inadequado seria aplicar a este caso o
regras comuns de crítica. Todos aqueles que sem
Oferecer essa imensidão de testemunhos apoia isso
ao relatar eventos contrários a essas leis,
diminuir em vez de aumentar a crença que eles
desejo inspirar; pois então esses recitais se tornam muito
É provável que seja um erro ou uma falsidade de seus autores.
Sobre as probabilidades dos testemunhos. 119
Mas aquilo que diminui a crença dos homens instruídos
aumenta frequentemente o dos menos instruídos, sempre gananciosos
para o maravilhoso.
Existem coisas tão extraordinárias que nada pode...
equilibrar sua improbabilidade. Mas isso, pelo efeito de
Uma opinião dominante pode ser enfraquecida a ponto de...
parecendo inferior à probabilidade dos testemunhos;
e quando essa opinião muda, uma afirmação absurda
admitido unanimemente no século que deu
Seu nascimento oferece aos séculos seguintes apenas uma nova
prova da extrema influência da opinião geral
sobre as mentes mais esclarecidas. Dois grandes homens de
o século de Luís XIV. Racine e Pascal são
Exemplos impressionantes disso. É doloroso ver isso acontecer.
Que complacência, Racine, este admirável pintor de
o coração humano e o poeta mais perfeito que existe
A recuperação de Mile é considerada milagrosa por muitos como a de alguém que já viveu muitas vidas.
Perrier, sobrinha de Pascal e aluna externa da escola
mosteiro de Port-Royal; é doloroso ler o
razões pelas quais Pascal procura provar que este milagre
deveria ser necessário à religião para justificar o
doutrina dos monges desta abadia, naquela época perse-
cortado pelos jesuítas. O jovem Perrier tinha sido
Acometido por três anos e meio por uma fístula lacrimal;
Ela tocou seu olho afetado com uma relíquia que era
fingia ser um dos espinhos da coroa do
Salvador e ela tinham fé na recuperação instantânea. Alguns.
Dias depois, os médicos e cirurgiões testemunharam.
a recuperação, e eles declaram que a natureza e o
Os remédios não tiveram qualquer participação nisso. Este evento, que
Ocorreu em 1656, causou grande sensação e "todos"
"Paris correu", diz Racine, "para Port-Royal. O
120 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
A multidão aumentava a cada dia, e o próprio Deus...
parecia ter prazer em autorizar a devoção de
o povo pelo número de milagres que foram realizados-
formados nesta igreja." Nesse tempo, milagres e
A feitiçaria ainda não parecia improvável, e não se pensava que não fosse possível.
não hesitam em atribuir-lhes as singularidades de
natureza que não poderia ser explicada de outra forma.
Essa maneira de visualizar resultados extraordinários é
encontradas nas obras mais notáveis do século de
Luís XIV; mesmo no Ensaio sobre a Subjetividade Humana
Ao lado do filósofo Locke, que diz, em
Falando sobre o grau de concordância: "Embora o com-
minha experiência e o curso normal das coisas têm
justamente uma poderosa influência nas mentes dos homens, para fazer
eles concedem ou recusam crédito a qualquer coisa que lhes seja proposta.
crença; contudo, há um caso em que a estranheza
A presença do lactato não diminui a capacidade de testemunhar de forma justa.
Pois onde tais eventos sobrenaturais são adequados para fins
visado por aquele que tem o poder de mudar o
curso natural, ali, sob tais circunstâncias, eles
talvez o mais apto a obter crença, quanto mais
Elas estão além ou são contrárias à observação comum.
Os verdadeiros princípios da probabilidade dos testemunhos
tendo sido assim mal compreendido pelos filósofos para
a quem a razão deve principalmente o seu progresso, eu
julgaram necessário apresentar detalhadamente o
resultados do cálculo sobre este importante assunto.
Neste ponto, surge naturalmente a discussão.
de um famoso argumento de Pascal, que Craig, um inglês
matemático, produziu sob uma forma geométrica.
As testemunhas declaram que receberam isso da Divindade, que
Ao se conformar com algo, não se desfrutará de nada.
Sobre as probabilidades dos testemunhos. 121
ou duas, mas uma infinidade de vidas felizes. Por mais frágil que seja.
a probabilidade das provas pode ser, desde que ela
não sendo infinitamente pequeno, é claro que a vantagem de
aqueles que se conformam com o que foi prescrito são infinitos
visto que é o produto dessa probabilidade e um infinito
bom; não se deve hesitar, então, em adquirir para
essa vantagem para si mesmo.
Este argumento baseia-se no número infinito de
vidas felizes prometidas em nome da Divindade por
as testemunhas; é necessário, então, prescrevê-las,
precisamente porque exageram nas suas promessas
além de todos os limites, uma consequência que é repugnante para
bom senso. Além disso, o cálculo nos ensina que isso
O próprio exagero enfraquece a probabilidade de sua concretização.
testemunho a ponto de torná-lo infinitamente pequeno
ou zero. De fato, este caso é semelhante ao de uma testemunha.
Quem deve anunciar o sorteio do prêmio mais importante?
número de uma urna cheia com um grande número de
números, um dos quais foi sorteado e quem seria
têm grande interesse em anunciar o sorteio deste
número. Já se viu o quanto esse interesse é grande.
enfraquece seu testemunho. Ao avaliar apenas no
probabilidade de que, se a testemunha enganar, ele escolherá
O maior número, o cálculo fornece a probabilidade de
seu anúncio como menor que uma fração de quem
O numerador é igual a um e o denominador também é igual a um.
mais a metade do produto do número do número-
bers pela probabilidade de falsidade considerada a priori
ou independentemente do anúncio. A fim de
Compare este caso com o argumento de Pascal.
é suficiente representar tudo pelos números na urna.
o número possível de vidas felizes que o número
122 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
desses números torna-se infinito; e observar que
Se as testemunhas mentirem, elas são as que têm maior interesse.
a fim de dar credibilidade à sua falsidade, ao prometerem um
eternidade da felicidade. A expressão do problema-
A capacidade de seu testemunho torna-se então infinitamente pequena.
Multiplicando isso pelo número infinito de vidas felizes.
prometeu que o infinito desapareceria do produto.
que expressa a vantagem resultante disto
promessa que destrói o argumento de Pascal.
Consideremos agora a probabilidade da totalidade.
de vários testemunhos sobre um fato estabelecido. Em
Para fixar nossas ideias, vamos supor que o fato seja
o sorteio de um número de uma urna que contém um
cem deles, e dos quais um único número tem
foi desenhado. Duas testemunhas deste desenho anunciam
que o número 2 foi sorteado, e alguém pergunta pelo
probabilidade resultante da totalidade desses testemunhos.
É possível formular estas duas hipóteses: as testemunhas
Diga a verdade; as testemunhas enganam. No primeiro
hipótese: o número 2 é sorteado e a probabilidade
O valor deste evento é -jJj-. É necessário multiplicá-lo por
o produto da veracidade das testemunhas, veracidades
que supomos ser T 9 7 e T \: um terá
então T^VTFIT para a probabilidade do evento observado em
esta hipótese. Na segunda, o número 2 não é
sorteado e a probabilidade desse evento é y 9 ^. Mas
o acordo das testemunhas exige então que em
Tentando enganar, ambos escolhem o número 2.
os 99 números não sorteados: a probabilidade disso
opção caso as testemunhas não tenham um acordo secreto
é o produto da fração 5 por si mesma; torna-se
então é necessário multiplicar essas duas probabilidades.
Sobre as probabilidades dos testemunhos. 123
juntos, e pelo produto das probabilidades y 1 ^ e
Y 3 ^ que as testemunhas enganam; alguém terá assim
sygVuir fr a probabilidade do evento observado no
segunda hipótese. Agora teremos a probabilidade
do fato atestado ou do desenho do número 2 em
dividindo a probabilidade em relação à primeira hipótese
pela soma das probabilidades relativas aos dois
hipóteses; essa probabilidade será então f$|-|, e a
probabilidade de não conseguir tirar esse número e de
a falsidade das testemunhas será ^ViF'
Se a urna contiver apenas os números 1 e 2
encontraríamos f da mesma maneira para o problema-
habilidade de desenhar o número 2 e, consequentemente,
^ para a probabilidade de falsidade das testemunhas,
uma probabilidade pelo menos noventa e quatro vezes maior que a
anterior. Percebe-se por isso o quanto o prob-
a capacidade de falsidade das testemunhas diminui
quando o fato que eles atestam é menos provável em
em si. De fato, concebe-se que então o acordo de
Quando as testemunhas enganam, torna-se mais difícil...
culto, pelo menos quando não têm um acordo secreto-
mento, que não supomos aqui de forma alguma.
No caso anterior, em que a urna continha apenas
dois números a probabilidade a priori do fato atestado
é ^, a probabilidade resultante dos testemunhos é a
produto da veracidade das testemunhas dividida por
este produto somado ao das respectivas probabilidades
da sua falsidade.
Resta-nos agora considerar a influência de
tempo sobre a probabilidade de fatos transmitidos por um
cadeia tradicional de testemunhas. É claro que isto
a probabilidade deve diminuir proporcionalmente à cadeia
124 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
é prolongado. Se o fato não tem probabilidade em si mesmo, tal
como o sorteio de um número de uma urna que contém
uma infinidade deles, aquilo que adquire pelo testi-
Os valores diminuem de acordo com a continuidade do produto.
da veracidade das testemunhas. Se o fato tiver um
probabilidade em si mesma; se, por exemplo, este fato for o
desenho do número 2 de uma urna que contém
uma infinidade deles, e dos quais é certo que um
sorteou um único número; aquele que o tradicional
A cadeia adiciona a essa probabilidade diminui, seguindo um
produto contínuo do qual o primeiro fator é a razão
do número de números na urna menos um para o
mesmo número, e dos quais cada outro fator é o
a veracidade de cada testemunha diminuída pela proporção ou" o
probabilidade de sua falsidade em relação ao número do num-
bers na urna menos um; de modo que o limite do prob-
A capacidade do fato é a desse fato considerado a priori.
ou, independentemente dos testemunhos, uma probabilidade igual
à unidade dividida pelo número de números no
urna.
A ação do tempo enfraquece então, sem cessar,
a probabilidade de fatos históricos, assim como ela muda o
monumentos mais duráveis. Pode-se, de fato, diminuir
isso multiplicando e conservando os testemunhos e
os monumentos que os sustentam. Ofertas de impressão
Para esse fim, um ótimo meio, infelizmente desconhecido.
aos antigos. Apesar das infinitas vantagens
que proporciona as revoluções físicas e morais
pela qual a superfície deste globo será sempre
A agitação terminará, em conjunto com o inevitável.
efeito do tempo, tornando duvidoso após milhares de
Sobre as probabilidades dos testemunhos. 125
anos os fatos históricos considerados hoje como os mais
certo.
Craig tentou submeter ao cálculo o gradual
enfraquecimento das provas da religião cristã; sup-
postulando que o mundo deveria acabar na época em que
deixará de ser provável, ele conclui que isso deveria
A história se passa 1454 anos depois da época em que ele escreveu.
Mas sua análise é tão falha quanto sua hipótese sobre o
A duração da lua é bizarra.
Sumário
126 CAPÍTULO XII.
RELATIVAMENTE ÀS SELEÇÕES E ÀS DECISÕES DAS ASSEMBLEIAS.
A probabilidade das decisões de uma assembleia
depende da maioria dos votos, da inteligência
e a imparcialidade dos membros que a compõem.
Tantas paixões e interesses particulares que se somam com frequência.
sua influência torna impossível submeter este problema-
habilidade em cálculo. Existem, no entanto, algumas gerais
Resultados ditados pelo simples senso comum e confirmados
por cálculo. Se, por exemplo, a montagem for mal feita.
informado sobre o assunto submetido à sua decisão, se
Este assunto requer considerações delicadas, ou se o
A verdade sobre este ponto é contrária aos preconceitos estabelecidos.
de forma que seria uma aposta de mais de um contra um.
que cada eleitor irá errar; então a decisão do
A maioria provavelmente estará errada, e o medo disso
Será melhor fundamentado à medida que a montagem for mais numerosa.
É importante, portanto, nos assuntos públicos, que as assembleias
deveríamos ter que abordar assuntos ao alcance do
maior número; é importante para eles que informe-
ção seja geralmente difundida e que boas obras fundadas
a razão e a experiência devem esclarecer aqueles que não sabem como agir.
SELEÇÕES E DECISÕES DAS ASSEMBLEIAS. 127
que são chamados a decidir o destino de seus semelhantes ou a
governá-los e adverti-los contra falsas informações.
ideias e os preconceitos da ignorância. Os estudiosos têm
tinha frequentemente ocasião de observar que as primeiras concepções
Muitas vezes enganam e a verdade nem sempre é provável.
É difícil compreender e definir o desejo.
de uma assembleia em meio a uma variedade de opiniões de
seus membros. Vamos tentar estabelecer algumas regras em
em relação a este assunto, considerando os dois mais
casos comuns: a eleição entre vários candidatos,
e que dentre várias proposições relativas ao
mesmo assunto.
Quando uma assembleia tem que escolher entre várias opções
candidatos que se apresentam para um ou vários
lugares do mesmo tipo, aquilo que parece mais simples
consiste em cada eleitor escrever em um tíquete os nomes de
todos os candidatos de acordo com a ordem de mérito que
Ele atribui a eles. Supondo que ele classifique
deles de boa fé, a inspeção desses bilhetes será
divulgar os resultados das eleições de tal forma que
Os candidatos podem ser comparados entre si;
para que novas eleições não possam trazer nada mais neste sentido.
Respeito. Agora resta concluir a ordem de
preferência que os bilhetes estabelecem entre os candidatos-
datas. Vamos imaginar que se dê a cada eleitor um
urna que contém uma infinidade de bolas por meio de
que ele é capaz de matizar todos os graus de mérito de
os candidatos; vamos imaginar novamente que ele sorteia
de sua urna um número de bolas proporcional ao
mérito de cada candidato, e suponhamos que este número
escrito em um bilhete ao lado do nome do
candidato. É evidente que, ao somar todos os
128 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
números relativos a cada candidato em cada cédula,
que um de todos os candidatos que tiver o
A maior soma será destinada ao candidato que a assembleia escolher.
prefere; e que em geral a ordem de preferência de
os candidatos serão aqueles cujas somas serão relativas a cada um
deles. Mas os bilhetes não indicam o número de forma alguma-
bola de bolas que cada eleitor entrega aos candidatos;
eles indicam apenas que o primeiro tem mais deles do que
a segunda, a segunda mais do que a terceira, e assim por diante.
Supondo então, inicialmente, com base em um determinado bilhete, um certo
número de bolas todas as combinações do inferior
números que atendem às condições anteriores são
igualmente admissível; e um terá o número de
bolas em relação a cada candidato, somando todas as
os números que cada combinação lhe dá e
dividindo-o pelo número total de combinações. A
Uma análise muito simples mostra que os números que
deve ser escrito em cada bilhete ao lado do último
nome, do penúltimo, etc., são proporcionais
aos termos da progressão aritmética I, 2, 3,
etc. Escrevendo então em cada bilhete os termos de
essa progressão, e adicionando os termos relativos a cada um
candidato com base nesses ingressos, as diversas somas irão indicar-
classificar por sua magnitude a ordem de sua preferência
que deve ser estabelecido entre os candidatos.
Tal é o modo de eleição que a Teoria de
As probabilidades indicam. Sem dúvida, seria.
Seria melhor se cada eleitor escrevesse em seu cédula o
nomes dos candidatos por ordem de mérito que ele
atributos a eles. Mas interesses particulares e muitos
Considerações estranhas sobre o mérito afetariam esta ordem.
e, às vezes, colocar o candidato na última posição.
SELEÇÕES E DECISÕES DAS ASSEMBLEIAS. 129
mais formidável para aquele a quem se prefere, que
confere uma vantagem excessiva aos candidatos de
mérito medíocre. Da mesma forma, a experiência causou o
abandono desse modo de eleição nas sociedades
que o havia adotado.
A eleição pela maioria absoluta dos sufrágios
une-se à certeza de não admitir nenhum dos
candidatos que esta maioria rejeita, a vantagem
de expressar, na maioria das vezes, o desejo da assembleia.
Isso sempre coincide com o modo anterior quando
Existem apenas dois candidatos. De fato, isso expõe uma
assembleia para o inconveniente de realizar eleições
interminável. Mas a experiência tem demonstrado que isso
O inconveniente é nulo, e o desejo geral de colocar
o fim das eleições em breve une a maioria dos
sufrágios sobre um dos candidatos.
A escolha entre várias propostas relativas a
o mesmo objeto deveria ser submetido, aparentemente, a
as mesmas regras da eleição entre vários candidatos-
datas. Mas existe entre os dois casos isto
diferença, ou seja, que o mérito de um candidato
não excluir a de seus concorrentes; mas se for necessário-
é difícil escolher entre proposições que são contrárias,
A verdade de uma exclui a verdade das outras.
Vejamos, então, como se deve encarar essa questão.
Vamos entregar a cada eleitor uma urna que contenha um
número infinito de bolas, e suponhamos que ele dis-
tributos a eles com base nas diversas proposições de acordo com
às respectivas probabilidades que ele atribui a
eles. É evidente que o número total de bolas
expressando certeza, e o eleitor sendo pelo
A hipótese assegurava que uma das proposições deveria...
130 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
Para ser sincero, ele distribuirá esse número detalhadamente sobre
as proposições. O problema se reduz, então, a isto:
ou seja, determinar as combinações em que o
As bolas serão distribuídas de tal forma que haja
pode haver mais deles após a primeira proposta do
ingresso do que no segundo, mais no segundo
do que no terceiro, etc.; para fazer a soma de todos os
números de bolas em relação a cada proposição no
diversas combinações, e dividir essa soma pelo
número de combinações; os quocientes serão os
números de bolas que se deve atribuir ao
propostas sobre um determinado bilhete. Encontra-se por
análise que, partindo da última proposição, estas
Os quocientes estão entre si como as seguintes quantidades-
empates: primeiro, a unidade dividida pelo número de proposições;
segundo, a quantidade anterior, aumentada em uma unidade,
dividido pelo número de proposições menos um; terceiro,
esta segunda quantidade, aumentada em uma unidade, dividida por
o número de proposições menos dois, e assim por diante para o
outros. Então, em cada bilhete, escreverão estes
quantidades ao lado das proposições correspondentes,
e adicionando as quantidades relativas a cada proposição.
Nos bilhetes de mergulho, os valores serão indicados por seus respectivos nomes.
magnitude a ordem de preferência que a assembleia
dá a essas proposições.
Vamos falar um pouco sobre a maneira de renovar.
conjuntos que devem mudar em sua totalidade de forma definida
número de anos. A renovação deve ser feita em
de uma só vez, ou é vantajoso dividi-lo entre estes?
anos De acordo com o último método de montagem
seriam formados sob a influência dos mergulhadores
opiniões dominantes durante o período de sua renovação; o
SELEÇÕES E DECISÕES DAS ASSEMBLEIAS. 131
A opinião que se obteve então seria provavelmente a
média de todas essas opiniões. A assembleia
receber assim, no mesmo momento, a mesma vantagem que é
conferida a ela pela prorrogação das eleições de seu
membros em todas as partes do território que representa.
Agora, se considerarmos o que a experiência tem a oferecer, é muito difícil.
claramente ensinado, ou seja, que as eleições são sempre
dirigido em grande medida por opiniões dominantes,
Perceberá o quão útil é moderar essas opiniões.
uns pelos outros, por meio de uma renovação parcial.
Sumário
132 CAPÍTULO XIII.
RELATIVAMENTE À PROBABILIDADE DAS DECISÕES DOS TRIBUNAIS.
A ANÁLISE confirma o que o simples senso comum já indica.
nos ensina, ou seja, que a correção dos julgamentos é como
muito mais provável, já que o número de juízes é maior.
e mais esclarecidos. É importante, então, que
Os tribunais de recurso devem cumprir essas duas condições.
Os tribunais de primeira instância se aproximando
relação com aqueles que aceitam oferta ao tribunal superior
a vantagem de um primeiro julgamento já provável, e
com o que este último muitas vezes concorda, seja em termos de compromisso.
ou ao desistir de suas reivindicações. Mas se a incerteza
da questão em litígio e sua importância determinam
um litigante para ter recurso ao tribunal de apelações, ele
deve encontrar uma probabilidade maior de obter um
julgamento equitativo maior segurança para sua fortuna e
a compensação pelo incômodo e despesa que um
novo procedimento implica. É isto que não tinha lugar
na instituição do recurso recíproco do
tribunais do distrito, uma instituição, portanto, muito
prejudicial aos interesses dos cidadãos. Seria
talvez adequado e conforme ao cálculo de
PROBABILIDADE DOS SENTENÇAS DOS TRIBUNAIS. 133
probabi litros para exigir uma maioria de pelo menos dois votos
em um tribunal de apelação, a fim de invalidar a sentença.
tenência do tribunal inferior. Alguém obteria isso
resultado se o tribunal de apelação for composto por um
número par de juízes a sentença deve cumprir
o caso da igualdade de votos.
Analisarei em particular os julgamentos em matéria criminal.
assuntos finais.
Para condenar um acusado, é necessário
Sem dúvida alguma, os juízes deveriam ter a mais forte
provas de seu delito. Mas uma prova moral nunca é mais
do que uma probabilidade; e a experiência tem demonstrado isso com muita clareza.
demonstraram os erros dos julgamentos criminais, mesmo
Aqueles que parecem ser os mais justos ainda são suspeitos.
perceptível. A impossibilidade de corrigir esses erros.
é o argumento mais forte dos filósofos que têm
desejavam proibir a pena de morte. Deveríamos
então seria obrigado a se abster de julgar se fosse
É necessário que aguardemos evidências matemáticas. Mas
O julgamento é exigido pelo perigo que
resultam da impunidade do crime. Este julgamento
reduz-se, se não me engano, à solução de
A seguinte pergunta: Há provas do delito?
do acusado o alto grau de probabilidade necessário
para que os cidadãos tivessem menos motivos para duvidar.
os erros dos tribunais, se ele for inocente e con-
condenados, então teriam que temer seus novos crimes.
e aqueles dos infelizes que seriam
encorajado pelo exemplo de sua impunidade caso ele fosse
Culpado e absolvido A solução para esta questão.
depende de vários elementos muito difíceis de determinar-
tain. Tal é a eminência do perigo que seria
134 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
ameaçam a sociedade se o acusado criminal permanecer no local
impune. Às vezes, esse perigo é tão grande que
O magistrado se vê obrigado a dispensar formulários.
Sabiamente estabelecida para a proteção da inocência. Mas
aquilo que torna quase sempre esta questão insolúvel-
O que é difícil é a impossibilidade de apreciar exatamente o
probabilidade do delito e de fixar aquilo que é
necessário para a condenação do acusado. Cada
Nesse aspecto, o juiz é obrigado a confiar em seu próprio julgamento.
julgamento. Ele forma sua opinião comparando o
diversos depoimentos e as circunstâncias pelas quais o
A ofensa é acompanhada, como resultado de suas reflexões.
e suas experiências, e a esse respeito um longo hábito
de interrogar e julgar os acusados
grande vantagem para apurar a verdade no meio
de índices frequentemente contraditórios.
A questão anterior depende, mais uma vez, do cuidado.
levados em consideração na investigação do delito; por um
exige, naturalmente, provas muito mais robustas para impor
a pena de morte do que por infligir a detenção de alguns
meses. É um motivo para dimensionar o cuidado para
a ofensa, grande cuidado tomado com um caso sem importância
inevitavelmente absolvendo muitos culpados. Uma lei que
confere aos juízes o poder de moderar o cuidado no
Em casos de circunstâncias atenuantes, torna-se então compatível.
ao mesmo tempo em relação aos princípios da humanidade para com o
culpado, e para o interesse da sociedade. O produto de
a probabilidade da ofensa, dada a sua gravidade, sendo a
medida do perigo a que a absolvição do
O acusado pode expor a sociedade, seria de se esperar que o
Os cuidados tomados devem depender dessa probabilidade.
Isso é feito indiretamente nos tribunais onde um
PROBABILIDADE DOS SENTENÇAS DOS TRIBUNAIS. 135
mantém por algum tempo o acusado contra quem há
São provas muito fortes, mas insuficientes para condenar.
ele; na esperança de adquirir nova luz, não se faz isso
coloquem-no imediatamente no meio de seus concidadãos,
que não o veriam novamente sem grande alarme.
Mas a arbitrariedade dessa medida e o abuso
o que se pode concluir disso causou sua rejeição em
os países onde se atribui o maior valor a
liberdade individual.
Qual é a probabilidade de a decisão de um
tribunal que só pode condenar por maioria qualificada
será justo, ou seja, estará em conformidade com a verdadeira solução.
Da questão proposta acima Esta é importante
Um problema bem resolvido proporcionará os meios de comparação.
entre si os diferentes tribunais. O
maioria de um único voto em um tribunal numeroso indi-
afirma que o caso em questão é muito duvidoso;
a condenação do acusado seria então contrária
Aos princípios da humanidade, protetores da inocência.
A unanimidade dos juízes conferiria uma vantagem muito forte.
probabilidade de uma decisão justa; mas abstendo-se dela
Muitos culpados seriam absolvidos. É necessário...
então, seja para limitar o número de juízes, se houver um
deseja que sejam unânimes, ou aumentem o
maioria necessária para uma condenação, quando o tri-
O número de bunals aumenta. Tentarei...
Aplicar o cálculo a este assunto, estando convencido de que ele
é sempre o melhor guia quando baseado em
Dados que o senso comum nos sugere.
A probabilidade de que a opinião de cada juiz seja justa.
entra como elemento principal neste cálculo.
Se num tribunal de mil e um juízes, cinco
136 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
cento e um são da mesma opinião, e quinhentos
Se houver opinião contrária, é evidente que...
A probabilidade da opinião de cada juiz supera em muito
pequeno; pois supondo que seja obviamente muito grande, um único
Um voto de diferença seria um evento improvável. Mas
Se os juízes forem unânimes, isso ficará indicado nas provas.
aquele grau de força que implica convicção; o
A probabilidade da opinião de cada juiz é então muito grande.
quase unidade ou certeza, desde que as paixões ou
Os preconceitos comuns não afetam ao mesmo tempo.
todos os juízes. Fora desses casos, a proporção de
Os votos a favor ou contra o acusado deveriam ser o único fator determinante.
extrair essa probabilidade. Suponho, portanto, que ela possa variar.
de para a unidade, mas que não pode ser inferior a . Se isso
Caso contrário, a decisão do tribunal seria
tão insignificante quanto o acaso; só tem valor na medida em que
pois a opinião do juiz tem uma tendência maior a
verdade do que erro. É, portanto, pela proporção do
números de votos favoráveis e contrários ao acusado,
que eu determine a probabilidade dessa opinião.
Esses dados são suficientes para determinar a expressão geral.
da probabilidade de que a decisão de um tribunal julgando
por maioria conhecida é justo. Nos tribunais onde
De oito juízes, seriam necessários cinco votos para o
condenação de um acusado, a probabilidade do
O erro a ser temido na justiça da decisão seria
superar ^. Se o tribunal for reduzido a seis
membros que só podem condenar por maioria simples
De quatro votos, a probabilidade de erro ser temido
ficaria abaixo de ^. Haveria então para o
Acusou-se de obter vantagem nessa redução do tribunal.
Em ambos os casos, a maioria necessária é a mesma e é
PROBABILIDADE DOS SENTENÇAS DOS TRIBUNAIS. 137
igual a dois. Assim, mantendo-se a maioria constante,
a probabilidade de erro aumenta com o número de
juízes; isto é geral, independentemente do que a maioria possa decidir.
necessário, desde que permaneça o mesmo. Tomando,
então, para a regra aritmética, proporção, o acusado
encontra-se numa posição cada vez menos vantajosa
na medida em que o tribunal se torna mais numeroso-
ous. Pode-se acreditar que em um tribunal onde um
pode exigir uma maioria de doze votos, seja o que for
o número de juízes era, os votos da minoria,
neutralizando um número igual de votos da maioria,
Os doze votos restantes representariam o
unanimidade de um júri de doze membros, exigida em
Inglaterra pela condenação de um acusado; mas um
Estariam muito enganados. O bom senso demonstra
que existe uma diferença entre a decisão de um
tribunal de duzentos e doze juízes, dos quais
cento e doze condenam o acusado, enquanto
cem o absolvem, e isso de um tribunal de
doze juízes foram unânimes na condenação. No
No primeiro caso, os cem votos foram favoráveis ao acusado.
justificativa para pensar que as provas estão longe de serem alcançadas.
ing o grau de força que implica convicção; em
No segundo caso, a unanimidade dos juízes leva a
a crença de que eles atingiram esse grau. Mas
O simples senso comum não é suficiente para compreender-
citar a diferença extrema da probabilidade de erro
nos dois casos. É necessário, então, recorrer a
cálculo, e encontra-se quase um quinto para o prob-
capacidade de erro no primeiro caso, e apenas -^-^ para este
probabilidade no segundo caso, uma probabilidade que é
Nem um milésimo do primeiro. É uma confirmação.
138 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
do princípio de que a razão aritmética é desfavorável
ao acusado quando o número de juízes aumenta.
Pelo contrário, se tomarmos como regra a geométrica
razão, a probabilidade do erro na decisão
diminui quando o número de juízes aumenta. Pois
Por exemplo, nos tribunais que só podem condenar por
uma pluralidade de dois terços dos votos, a probabilidade de
O erro a temer é de quase um quarto do que
O número de juízes é seis; é inferior a % se este número
aumentou para doze. Assim, deve-se governar.
nem pela proporção aritmética nem pela geométrica
razão se alguém desejar que a probabilidade de erro seja
nunca estar acima nem abaixo de uma determinada fração.
Mas qual fração deve ser determinada?
É aqui que começa a arbitrariedade e os tribunais
oferecer a maior variedade nesse aspecto. No especial
tribunais onde cinco dos oito votos são suficientes para o
condenação do acusado, a probabilidade do
erro a temer em relação à justiça do julgamento
é ^ 6 / ff, ou mais que ^. A magnitude desta fração
É terrível; mas isso deveria nos tranquilizar um pouco.
é a consideração que mais frequentemente o juiz que
Absolver um acusado não significa considerá-lo inocente;
Ele declara simplesmente que isso não se consegue por meio de provas.
Suficiente para condenação. Fica-se especialmente tranquilo.
pela compaixão que a natureza colocou no coração do homem
e que dispõe a mente a ver apenas com relutância-
tance um culpado no acusado submetido ao seu juiz-
mento. Esse sentimento, mais ativo naqueles que têm
não o hábito de julgamentos criminais, compensa
pelas inconveniências associadas à inexperiência de
os jurados. Em um júri de doze membros, se a maioria
PROBABILIDADE DOS SENTENÇAS DOS TRIBUNAIS. 139
O número exigido para a condenação é de oito em doze.
votos, a probabilidade do erro a ser temido |fff , ou
Um pouco mais de um oitavo, é quase -fa se isso
A maioria simples consiste em nove votos. No caso de unanimidade...
A probabilidade do erro a ser temido é -g- T 1 7 j,
ou seja, mais de mil vezes menos que
em nossos júris. Isso pressupõe que os resultados da unanimidade
somente a partir de provas favoráveis ou contrárias ao acusado;
mas motivos que são totalmente estranhos, muitas vezes deveriam
concordar em produzi-lo, quando este for imposto ao
júri como condição necessária para seu julgamento. Então
suas decisões dependendo do temperamento, o
caráter, os hábitos dos jurados e as circunstâncias
As posições em que são colocados, às vezes, são
contrariamente às decisões da maioria do júri
teriam conseguido se tivessem escutado apenas o
provas; isso me parece uma grande falha disso
maneira de julgar.
A probabilidade da decisão é muito baixa em nosso contexto.
júris, e eu acho que para dar um suficiente
Para garantir a inocência, é preciso exigir pelo menos
uma pluralidade de nove votos em doze.
Sumário
140 CAPÍTULO XIV.
A RESPEITO DAS TABELAS DE MORTALIDADE E DE DURAÇÕES MÉDIAS
DA VIDA, DOS CASAMENTOS E DAS ASSOCIAÇÕES.
A maneira de preparar as tabelas de mortalidade é muito
Simples. Consulta-se os registros civis e encontra-se um grande número de registros.
ber de indivíduos cujo nascimento e morte são indicados.
Determina-se quantos desses indivíduos têm
quantos morreram no primeiro ano de vida?
segundo ano, e assim por diante. Conclui-se a partir disso
o número de indivíduos vivos no início do ano letivo
de cada ano, e esse número está escrito na tabela em
o lado que indica o ano. Assim, um
escreve ao lado do zero o número de nascimentos; no
lado do ano eu o número de bebês que têm
completou um ano; ao lado do ano 2 o número
de bebês que completaram dois anos, e assim por diante para
o resto. Mas como nos primeiros dois anos de vida o
A mortalidade é muito grande, é necessária para o bem de
maior exatidão para indicar nesta primeira era o
Número de sobreviventes ao final de cada semestre.
Se dividirmos a soma dos anos de vida de todos
os indivíduos inscritos em uma tabela de mortalidade pelo
SOBRE TABELAS DE MORTALIDADE, ETC. 141
O número desses indivíduos que teremos será a média.
duração da vida que corresponde a esta tabela. Para
Para isso, multiplicaremos por meio ano o número de
mortes no primeiro ano, um número igual à diferença-
ência dos números de indivíduos inscritos na lateral
dos anos o e I. Sua mortalidade sendo distribuída
Ao longo de todo o ano, a duração média de suas vidas é
apenas meio ano. Multiplicaremos por um ano e um
metade do número de mortes no segundo ano; por dois
anos e meio o número de mortes no terceiro ano;
e assim por diante. A soma desses produtos dividida pelo
O número de nascimentos será a duração média da vida.
É fácil concluir disso que obteremos isso.
duração, somando os números inscritos
na tabela ao lado de cada ano, dividindo-o pelo
número de nascimentos e subtraindo metade do
quociente, considerando o ano como unidade. A média
duração da vida que resta, a partir de qualquer idade, é
determinado da mesma maneira, trabalhando sobre o
número de indivíduos que chegaram a essa idade, como
acabou de ser feito com o número de nascimentos. Mas isso
Não é no momento do nascimento que a duração média
A maior alegria da vida é quando alguém escapa do
perigos da infância e então são cerca de quarenta e três
anos. A probabilidade de chegar a uma determinada idade,
começando a partir de uma determinada idade é igual à proporção de
dois números de indivíduos indicados na tabela em
essas duas idades.
A precisão desses resultados exige que para o
Para a formação de tabelas, devemos empregar um grande número de pessoas.
número de nascimentos. A análise fornece então resultados muito simples.
fórmulas para avaliar a probabilidade de que o número-
142 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
Os valores indicados nessas tabelas podem variar em relação à verdade.
apenas dentro de limites estreitos. Vemos por meio dessas fórmulas
que o intervalo dos limites diminui e que o
A probabilidade aumenta proporcionalmente à medida que levamos em consideração-
consideração de mais nascimentos; de modo que as tabelas representassem-
enviou exatamente a verdadeira lei da mortalidade se o número de
O número de nascimentos empregados era infinito.
Uma tabela de mortalidade é, portanto, uma tabela de probabilidades.
da vida humana. A proporção de indivíduos inscritos
ao lado de cada ano, ao número de nascimentos, está o
probabilidade de que um novo nascimento ocorra este ano. Como
Estimamos o valor da esperança somando os
produtos de cada benefício esperado, pela probabilidade
de obtê-lo, para que possamos avaliar igualmente a média.
duração da vida útil pela soma dos produtos de cada ano
pela metade da soma das probabilidades de atingir o
início e fim, o que leva ao
resultado encontrado acima. Mas esta maneira de visualizar o
A duração média da vida tem a vantagem de mostrar
que em uma população estacionária, ou seja, tal que
o número de nascimentos é igual ao de óbitos, a média
A duração da vida é a própria proporção entre a população e
os nascimentos anuais; pois a população é supostamente
estacionário, o número de indivíduos de uma faixa etária com-
o preço entre dois anos consecutivos da tabela é
igual ao número de nascimentos anuais, multiplicado por
metade da soma das probabilidades de atingir esses
anos; a soma de todos esses produtos será então o
toda a população. Agora é fácil ver que essa soma,
dividido pelo número de nascimentos anuais, coincide com
a duração média da vida, conforme a definimos.
É fácil, por meio de uma tabela de mortalidade, formar
SOBRE TABELAS DE MORTALIDADE, ETC. 143
a tabela correspondente da população supostamente
estar estacionário. Para isso, tomamos a média aritmética.
dos números da tabela de mortalidade correspondente
para as idades de zero e um ano, um e dois anos, dois
e três anos, etc. A soma de todos esses meios é
toda a população; está escrito ao lado do
idade zero. Desse total é subtraído o primeiro.
a média e o resto é o número de indivíduos.
de um ano ou mais; está escrito na lateral de
o ano em que eu... Há um subtraído deste primeiro re-
mainder a segunda média; este segundo resto é
o número de indivíduos com dois anos ou mais;
Está escrito ao lado do ano 2, e assim por diante.
Tantas causas variáveis influenciam a mortalidade que...
As tabelas que o representam devem ser alteradas de acordo com...
dependentes de lugar e tempo. Os diversos estados de vida oferecem
Nesse aspecto, diferenças apreciáveis em relação ao
fadigas e perigos inerentes a cada estado
e das quais é indispensável levar em conta no
cálculos baseados na duração da vida. Mas
Essas diferenças não foram suficientemente observadas.
Algum dia eles serão, e então se saberá o quê.
sacrifício de vida que cada profissão exige e um
Aproveite esse conhecimento para diminuir os perigos.
A maior ou menor salubridade do solo, sua altitude,
sua temperatura, os costumes dos habitantes e o
As operações governamentais exercem uma influência considerável.
sobre a mortalidade. Mas é sempre necessário preceder.
a investigação da causa das diferenças observadas
pela probabilidade com que essa causa é indicada-
assim, a proporção da população para o anual.
nascimentos, que se viu serem criados na França até os vinte-
144 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
oito e um terço não é igual a vinte e cinco no
antigo ducado de Milão. Essas proporções, ambas estabelecidas
Em caso de grande número de nascimentos, não permita chamar
questionar a existência entre os milaneses de um
causa especial de mortalidade, que é de importância para
o governo do nosso país para investigar e
remover.
A proporção entre a população e os nascimentos seria
aumentaria novamente se pudéssemos diminuir e remover certos elementos.
doenças perigosas e disseminadas. Isso tem
felizmente, isso foi feito para a varíola, inicialmente pelo
inoculação desta doença, então de uma maneira muito
mais vantajoso, pela inoculação da vacina, o
descoberta inestimável de Jenner, que por sua vez
tornar-se um dos maiores benfeitores da humanidade.
A varíola apresenta esta característica em particular, ou seja, que
o mesmo indivíduo não é afetado duas vezes por isso, ou em
Ao menos esses casos são tão raros que podem ser abstraídos.
do cálculo. Esta doença, da qual poucos
escapou antes da descoberta da vacina, sendo frequentemente fatal.
e causa a morte de um sétimo daqueles que ela
ataques. Às vezes é leve, e a experiência tem
ensinou que pode ser atribuído esse último caráter por
inoculando-o em pessoas saudáveis, preparadas para isso
por meio de uma dieta adequada e em uma estação favorável. Então,
proporção de indivíduos que morrem em relação aos inoculados
um não é um trezentos avos. Esta grande vantagem-
estágio de inoculação, unido àqueles de não alterar o
aparência e de preservação das graves consequências-
sequências que a varíola natural costuma trazer,
fez com que fosse adotado por um grande número de pessoas.
A prática foi fortemente recomendada, mas foi
SOBRE TABELAS DE MORTALIDADE, ETC. 145
fortemente combatido, como quase sempre acontece em
coisas sujeitas a inconvenientes. Em meio a isso
disputa que Daniel Bernoulli propôs submeter ao
cálculo de probabilidades a influência da inoculação
com base na duração média da vida. Uma vez que dados precisos de
a mortalidade produzida pela varíola nos vários
Ele supôs que, como faltavam muitas fases da vida, o perigo era evidente.
de ter essa doença e de morrer dela são as
o mesmo em todas as idades. Por meio dessas suposições, ele
sucedido por uma análise delicada na conversão de um
tabela de mortalidade comum naquilo que seria
usado se a varíola não existisse, ou se ela causasse a
morte de apenas um número muito pequeno dos afetados, e
Ele conclui, a partir disso, que a inoculação aumentaria
por pelo menos três anos, além da duração média da vida, que
Ele percebeu, sem sombra de dúvida, a vantagem disso.
operação. D'Alembert atacou a análise de Ber-
noulli: inicialmente em relação à incerteza de seu
duas hipóteses, então, em relação à sua insuficiência em
isto, que nenhuma comparação foi feita com o imediato
perigo, embora muito pequeno, de morrer de inoculação, para
o perigo muito grande, mas muito remoto, de sucumbir
à varíola natural. Esta consideração, que des-
aparece quando se considera um grande número de indivíduos-
por esse motivo, para os governos, isso é irrelevante para os indivíduos.
e as vantagens da inoculação para eles ainda permanecem;
mas tem um grande peso para o pai de família que
deve temer, ao vacinar seus filhos, ver que
perecer aquele a quem ele mais ama e ser o
causa disso. Muitos pais foram contidos por esse medo,
o que a descoberta da vacina felizmente dissipou.
Por um desses mistérios que a natureza nos oferece.
146 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
Frequentemente, a vacina é uma forma de prevenção contra a varíola, assim como...
certamente é um vírus variolar, e não há perigo algum;
Não expõe a nenhuma doença e exige apenas
muito pouco cuidado. Portanto, essa prática se espalhou.
rapidamente; e para torná-lo universal, resta apenas
superar a inércia natural do povo, contra
que é necessário esforçar-se continuamente, mesmo quando
Trata-se de uma questão que diz respeito aos seus interesses mais caros.
O meio mais simples de calcular a vantagem
que a extinção de uma doença produziria con-
consiste em determinar por observação o número de indivíduos
indivíduos de uma determinada idade que morrem disso a cada ano e
subtraindo esse número do número de mortes em
mesma idade. A razão entre a diferença e o total.
O número de indivíduos da idade indicada seria o
probabilidade de morrer no ano nesta idade se o
a doença não existia. Fazendo, então, uma soma destes
probabilidades desde o nascimento até qualquer idade dada, e sub-
Subtraindo essa soma da unidade, o resto será o
probabilidade de viver até essa idade correspondente a
extinção da doença. A série desses problemas-
As habilidades serão a tabela de mortalidade relativa a isso.
hipótese, e podemos concluir a partir dela, por quê?
precede a duração média da vida. É assim que
Duvilard descobriu que o aumento da dura-média
A duração da vida, devido à inoculação com vacina, é de três
pelo menos alguns anos. Um aumento tão considerável seria
produzir um aumento populacional muito grande se o
estes últimos, por outros motivos, não foram restringidos pelo
diminuição relativa dos meios de subsistência.
É principalmente pela falta de meios de subsistência que...
O avanço progressivo da população é interrompido. Em
SOBRE TABELAS DE MORTALIDADE, ETC. 147
todos os tipos de animais e vegetais, a natureza* tende a com-
deixando de aumentar o número de indivíduos até
Eles estão em um nível de meios de subsistência.
As causas morais da raça humana exercem grande influência.
sobre a população. Se clareiras fáceis na floresta
pode fornecer alimento abundante para novas gerações
ções, a certeza de poder apoiar inúmeras
A família incentiva os casamentos e os torna mais
produtivo. No mesmo solo a população e
os nascimentos deveriam aumentar simultaneamente
taneamente em progressão geométrica. Mas quando claro-
os encontros se tornam mais difíceis e mais raros do que o
O aumento da população diminui; aproxima-se da con-
continuamente o estado variável das subsistências, tornando
oscilações em torno dele, assim como um pêndulo cuja periodicidade
é retardado pela mudança do ponto de suspensão, oscila-
demora a chegar a este ponto em virtude do seu próprio peso.
É difícil avaliar o aumento máximo do
população; parece, após observações, que em favor-
circunstâncias capazes a população da raça humana
seria duplicado a cada quinze anos. Estimamos
que na América do Norte o período dessa duplicação é
vinte e dois anos. Nesse estado de coisas, a população-
ção, nascimentos, casamentos, mortalidade, tudo aumenta de acordo com
seguindo a mesma progressão geométrica da qual temos
a razão constante de termos consecutivos pela observação-
ção de nascimentos anuais em duas épocas.
Por meio de uma tabela de mortalidade representando o
probabilidades da vida humana, podemos determinar o
duração dos casamentos. Supondo, para simplificar,
A questão é que a mortalidade é a mesma para os dois.
sexos, obteremos a probabilidade de que o casamento
148 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
irá subsistir por um ano, ou dois, ou três, etc., formando
uma série de frações cujo denominador comum é o
produto dos dois números da tabela correspondente
às idades dos consortes, e cujos numeradores são
os produtos sucessivos dos números correspondentes
a essas idades aumentadas por um, por dois, por três,
etc., anos. A soma dessas frações aumentada por
metade será a duração média do casamento, o
sendo o ano considerado como unidade. É fácil estender o
mesma regra se aplica à duração média de uma associação formada.
de três ou de um número maior de indivíduos.
Sumário
149 CAPÍTULO XV.
SOBRE OS BENEFÍCIOS DAS INSTITUIÇÕES
QUE DEPENDEM DA PROBABILIDADE DOS EVENTOS.
Vamos recordar aqui o que foi dito na palestra.
de esperança. Observou-se que, para obter a
vantagem que resulta de vários eventos simples, de
que algumas produzem um benefício e outras uma perda,
É necessário somar os produtos da probabilidade de
cada evento favorável pelo benefício que proporciona,
e subtrair da sua soma a soma dos produtos dos
probabilidade de cada evento desfavorável pela perda que
está ligado a isso. Mas seja qual for a vantagem.
expressa pela diferença dessas somas, uma única
evento composto desses eventos simples não
garantia contra o medo de sofrer uma perda.
Imagina-se que esse medo deva diminuir quando
multiplica-se o evento composto. A análise de
As probabilidades levam a este teorema geral.
Pela repetição de um evento vantajoso, simples
ou composto, o benefício real torna-se cada vez mais
provável e aumenta sem cessar; torna-se
certeza na hipótese de um número infinito de repetições-
150 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
cotações; e dividindo-o por esse número, o quociente ou
o benefício médio de cada evento é o matemático
A esperança em si ou a vantagem relativa ao evento.
O mesmo ocorre com uma perda que se torna certa no
A longo prazo, por menor que seja a desvantagem do evento,
talvez.
Este teorema sobre benefícios e perdas é análogo.
Àquelas que já apresentamos com base nas proporções
que são indicadas pela repetição indefinida de
eventos simples ou compostos; e, como eles, prova
essa regularidade acaba por se estabelecer mesmo no
coisas que são mais subordinadas àquilo que nós
perigo nomeado.
Quando os eventos são numerosos, a análise fornece
outra expressão muito simples da probabilidade de que
O benefício será compreendido dentro de limites determinados.
Esta é a expressão que volta a aparecer no
A lei geral da probabilidade dada acima na fala
das probabilidades que resultam do indefinido
multiplicação de eventos.
A estabilidade das instituições que se baseiam em
As probabilidades dependem da veracidade do precedente.
teorema. Mas para que possa ser aplicado a eles
É necessário que essas instituições se multipliquem.
esses eventos vantajosos em benefício de inúmeros
coisas.
Foram baseadas nas probabilidades de
diversas instituições de vida humana, como anuidades vitalícias e
tontinas. As mais gerais e as mais simples.
método de cálculo dos benefícios e das despesas de
essas instituições — consiste em reduzi-las a reais
quantias. O juro anual da unidade é aquele que
INSTITUIÇÕES BASEADAS EM PROBABILIDADES. 151
é chamada de taxa de juros. No final de cada ano
um montante adquire por um fator unitário mais a taxa de
juros; aumenta então de acordo com uma relação geométrica
progressão da qual este fator é a proporção. Assim, em
Com o passar do tempo, torna-se imenso. Se, por exemplo...
Por exemplo, a taxa de juros é de --$ ou cinco por cento, o capital
dobra quase em quatorze anos, quadruplica em
vinte e nove anos, e em menos de três séculos
torna-se dois milhões de vezes maior.
Um aumento tão prodigioso deu origem à ideia
de utilizá-lo para pagar a dívida pública.
Para esse fim, cria-se um fundo de amortização ao qual é destinado
um fundo anual destinado ao resgate
de contas públicas e sem cessar aumentado pelo
juros das letras resgatadas. É claro que no
A longo prazo, este fundo absorverá grande parte do
dívida nacional. Se, quando as necessidades do Estado fizerem
um empréstimo necessário, parte desse empréstimo é destinada ao
aumento do fundo de amortização anual, a variação de
As despesas públicas serão menores; a confiança dos credores
e a probabilidade de se aposentar sem perda de capital.
O empréstimo, quando desejado, será aumentado e será
tornar as condições do empréstimo menos onerosas. Favor-
Experiências comprovadas confirmaram plenamente essas vantagens.
Mas a fidelidade nos compromissos e a estabilidade, então
necessário para o sucesso de tais instituições, pode ser
garantido apenas por um governo em que o legislativo-
O poder executivo é dividido entre vários grupos independentes.
poderes. A confiança que a cooperação necessária-
A ação desses poderes inspira e duplica a força de
O Estado, e o próprio soberano, ganham então em termos legais.
O poder que ele perde é maior do que o poder arbitrário que ele possui.
152 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
Isso resulta daquilo que precede o real
capital equivalente a uma quantia que deve ser paga apenas
após um certo número de anos, é igual a esta soma.
multiplicado pela probabilidade de que seja pago naquele momento.
tempo e dividido pela unidade, aumentado pela taxa de
juros e elevado a uma potência expressa pelo número
desses anos.
É fácil aplicar esse princípio às anuidades vitalícias.
uma ou várias pessoas, e para caixas econômicas, e para
sociedades de garantia de qualquer natureza. Suponha que uma
propõe a formação de uma tabela de anuidades vitalícias de acordo com
uma determinada tabela de mortalidade. Uma anuidade vitalícia pagável em
o fim de cinco anos, por exemplo, e reduzido a um
O valor real é, segundo esse princípio, igual ao produto.
das duas quantidades seguintes, a saber, a anuidade
dividido pela quinta potência da unidade aumentada pelo
Taxa de juros e a probabilidade de pagá-la. Isto
A probabilidade é a razão inversa entre o número de indivíduos e o número de indivíduos.
indivíduos inscritos na tabela oposta à idade daquele
aquele que fixa a anuidade ao número inscrito
oposto a esta idade aumentada em cinco anos. Forma-
então, uma série de frações cujos denominadores são
os produtos do número de pessoas indicado no
tabela de mortalidade como vivendo na idade daquele que
estabelece a anuidade, pelas sucessivas potências da unidade
aumentado pela taxa de juros, e cujo numera-
Os tors são os produtos da anuidade pelo número de
pessoas que vivem na mesma idade aumentaram sucessivamente
por um ano, por dois anos, etc., a soma destes
As frações representarão o valor necessário para a anuidade vitalícia.
nessa idade.
Suponhamos que uma pessoa deseje, por meio de um
INSTITUIÇÕES BASEADAS EM PROBABILIDADES. 153
renda vitalícia para assegurar aos seus herdeiros um valor a ser pago
no final do ano de sua morte. A fim de determinar-
Ao calcular o valor dessa anuidade, pode-se imaginar que
a pessoa toma emprestado esse capital em um banco durante a vida e
que ele o deposite a juros perpétuos no mesmo banco.
É evidente que esse mesmo capital será devido pelo
deixar o patrimônio para seus herdeiros no final do ano de sua morte;
mas ele terá pago a cada ano apenas o excedente do
interesse vitalício sobre o interesse perpétuo. A tabela de
As anuidades vitalícias mostrarão então aquilo que a pessoa
deve pagar anualmente ao banco para garantir
esta capital após a sua morte.
Garantia marítima, contra incêndios e tempestades, e
geralmente todas as instituições desse tipo são calculadas
Com base nos mesmos princípios. Um comerciante que possui navios.
no mar deseja assegurar o seu valor e o dos seus
cargas contra os perigos que possam enfrentar; para
Para isso, ele doa uma quantia a uma empresa que se torna
responsável perante ele pelo valor estimado de seu
cargas e seus navios. A proporção desse valor para o
soma que deveria ser dada pelo preço do seguro-
A responsabilidade depende dos perigos a que as embarcações estão sujeitas.
estão expostas e só podem ser apreciadas por numerosos
observações sobre o destino de embarcações que já navegaram
do porto para o mesmo destino.
Se os segurados derem garantia à seguradora.
empresa apenas a soma indicada pelo cálculo de
probabilísticamente, esta empresa não seria capaz de pro-
prover as despesas de sua instituição; é necessário
então que eles deveriam pagar uma quantia muito maior do que a
custo desse seguro. Qual é, então, a sua vantagem?
É aqui que entra a consideração da desvantagem moral.
154 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
A atribuição de um rótulo à incerteza torna-se necessária.
Conjectura-se que o jogo mais justo se torna, como tem sido
já foi visto, desvantajoso, porque o jogador
Troca uma participação certa por um benefício incerto;
garantia pela qual se troca o incerto por
O certo deveria ser vantajoso. De fato, é.
isto que resulta da regra que estabelecemos.
acima para determinar a esperança moral e por qual delas
vê, além disso, até onde o sacrifício pode se estender, o que
deve ser feito à companhia de seguros por
reservando sempre uma vantagem moral. Esta empresa
pode então, ao obter essa vantagem, criar uma
grande benefício, se o número de segurados for
muito grande, uma condição necessária para a sua continuidade
existência. Então seus benefícios se tornam certos e o
As esperanças matemáticas e morais coincidem; para análise
leva a este teorema geral, a saber, que se o
As expectativas são muito numerosas na abordagem das duas esperanças.
um ao outro sem cessar e terminar coincidindo em
o caso de um número infinito.
Já falamos sobre matemática e moral ao abordar esse tema.
espera que haja uma vantagem moral na distribuição
os riscos de um benefício que se espera ao longo de vários
suas partes. Assim, para enviar uma quantia de dinheiro para um
Para locais distantes, é muito melhor enviar em vários pacotes.
vasos do que expô-lo em um. Este faz por
meios de garantias mútuas. Se duas pessoas, cada
tendo a mesma soma em dois navios diferentes que
partiram do mesmo porto para o mesmo destino,
concordar em dividir igualmente todo o dinheiro que possa
Ao chegarem, fica claro que, por este acordo, cada um deles
divide igualmente entre os dois vasos a soma que
INSTITUIÇÕES BASEADAS EM PROBABILIDADES. 155
Ele espera. De fato, esse tipo de garantia sempre
Isso gera incerteza quanto à perda que se pode temer.
Mas essa incerteza diminui proporcionalmente à medida que...
número de segurados aumenta; a vantagem moral-
A duração aumenta cada vez mais e termina coincidindo.
Com a vantagem matemática, seu limite natural.
Isso torna a associação de garantias mútuas quando
É muito mais vantajoso para o segurado.
aquelas do que as companhias de seguros que, em pro-
parte do benefício que eles dão, dê um exemplo moral.
vantagem sempre inferior à vantagem matemática-
taga. Mas a vigilância de sua administração pode
Equilibrar a vantagem das garantias mútuas. Tudo
Esses resultados são, como já foi visto, independentes.
da lei que expressa a vantagem moral.
Pode-se considerar um povo livre como uma grande associação.
associação cujos membros asseguram mutuamente a sua propriedade-
laços apoiando proporcionalmente as acusações deste
garantia. A confederação de vários povos seria
conceder-lhes vantagens análogas às que cada um
O indivíduo desfruta da sociedade. Um congresso deles
Os representantes discutiriam os objetivos de uma empresa de serviços públicos.
mon para todos e sem dúvida~o sistema de pesos,
medidas e verbas propostas pela ciência francesa-
Os participantes seriam adotados neste congresso como um dos
As coisas mais úteis para as relações comerciais.
Entre as instituições fundadas com base nas probabilidades
Da vida humana, as melhores são aquelas em que, por
por meio de um pequeno sacrifício de sua renda, garante-se.
sua existência e a de sua família por um tempo em que
Deve-se temer a incapacidade de satisfazer as próprias necessidades.
No que diz respeito à imoralidade dos jogos, até agora essas instituições
156 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
são vantajosas para os costumes por favorecerem as mais fortes
inclinações da nossa natureza. O governo deveria então
encoraje-os e respeite-os nas vicissitudes de
fortuna pública; visto que as esperanças que elas apresentam parecem
Em direção a um futuro distante, eles só conseguem prosperar
quando protegidos de toda inquietação durante sua existência-
ência. É uma vantagem que a instituição de um
um governo representativo lhes dá essa garantia.
Vamos falar um pouco sobre empréstimos. É evidente que em
Para obter um empréstimo perpétuo, é necessário pagar cada parcela.
ano o produto do capital pela taxa de juros.
Mas pode-se desejar cumprir esse princípio em igualdade
pagamentos feitos durante um número definido de anos,
pagamentos que são chamados de anuidades e cujo valor
é obtida desta maneira. Cada anuidade para
ser reduzido no momento atual deve ser dividido
por uma potência de um aumentada pela taxa de juros
igual ao número de anos após os quais esta anuidade
deveria ser pago. Formando então um progresso geométrico-
ção cujo primeiro termo é a anuidade dividida pela unidade
aumentado pela taxa de juros, e cujo último termo
Essa anuidade é dividida pela mesma quantia elevada a
uma potência igual ao número de anos durante os quais o
O pagamento deveria ter sido efetuado, a soma deste pro-
A regressão será equivalente ao capital emprestado.
que determinará o valor da anuidade. A
O fundo de amortização é, no fundo, apenas um meio de conversão.
em anuidades, uma renda perpétua com a única diferença
que no caso de um empréstimo por meio de anuidades os juros são
suposta constante, enquanto o interesse dos fundos adquiridos
pelo fundo de amortização é variável. Se fosse o mesmo em
Em ambos os casos, a anuidade correspondente aos fundos
INSTITUIÇÕES BASEADAS EM PROBABILIDADES. 157
Os recursos adquiridos seriam formados por esses fundos e a partir de
Para esta anuidade, o Estado contribui anualmente para o fundo de reserva.
fundo de investimento.
Se alguém desejar fazer um empréstimo vitalício, isso será observado.
que as tabelas de anuidades vitalícias fornecem o capital necessário
Para constituir uma anuidade vitalícia em qualquer idade, um simples pro-
A parte indicará o valor do aluguel que se deve pagar a
a pessoa de quem o capital é emprestado.
A partir desses princípios, podem ser elaborados todos os tipos possíveis de empréstimos.
pode ser calculado.
Os princípios que acabamos de expor con-
em relação aos benefícios e às perdas das instituições pode
servem para determinar o resultado médio de qualquer número de
observações já feitas, quando se deseja considerar
os desvios dos resultados correspondentes a diversos
observações. Vamos designar por x a correção de
o menor resultado e por x aumentado sucessivamente por
g, q ', q" , etc., as correções dos seguintes resultados.
Vamos denominar e, e', e", etc., os erros da observação.
ções cuja lei de probabilidade supomos ser conhecida.
Sendo cada observação uma função do resultado, é
É fácil ver que, supondo a correção x deste
como resultado é muito pequeno, o erro e da primeira observação-
a ação será igual ao produto de x por um determinado
coeficiente. Da mesma forma, o erro e' da segunda observação-
A variação será o produto da soma q mais x, por a
coeficiente determinado, e assim por diante. A probabilidade de
O erro e sendo dado por uma função conhecida, será
expressa pela mesma função do primeiro dos pré-
cedendo produtos. A probabilidade de e' será expressa
pela mesma função do segundo desses produtos,
e assim por diante com os outros. A probabilidade da simul-
158 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
a existência simultânea dos erros e, f', c", etc., será
então proporcional ao produto dessas diversas funções-
ções, um produto que será uma função de x. Isto
sendo concedida, se alguém conceber uma curva cuja abscissa
é x, e cuja ordenada correspondente é este produto,
Esta curva representará a probabilidade dos mergulhadores.
valores de x, cujos limites serão determinados pelo
limites dos erros e, e' ', e" , etc. Agora vamos designar
por X a abscissa que é necessário escolher; X
O erro, diminuído por x, será aquele que seria com-
omitido se a abscissa x fosse a correção verdadeira. Isto
erro, multiplicado pela probabilidade de x ou pelo
A ordenada correspondente da curva será o produto
da perda pela sua probabilidade, considerando, como se deve,
esse erro como uma perda associada à escolha X. Múltiplos
aplicando este produto pela diferencial de x à integral
O valor obtido a partir da primeira extremidade da curva até X será
ser a desvantagem de X resultante dos valores de
x inferior a X, Para os valores de x superiores a X, x
menos X seria o erro de X se x fosse a verdadeira correlação.
reação; a integral do produto de x pela corre-
ordenada correspondente da curva e pelo diferencial
de x será então a desvantagem de X resultante de
os valores x superiores a x, sendo tomada esta integral.
de x igual a X até a última extremidade do
curva. Adicionando essa desvantagem à anterior.
um, a soma será a desvantagem associada ao
escolha de X. Essa escolha deve ser determinada por
a condição de que essa desvantagem seja mínima;
e um cálculo muito simples mostra que, para isso, X
deveria ser a abscissa cuja ordenada divide o
dividir em duas partes iguais, de modo que seja assim provável
INSTITUIÇÕES BASEADAS EM PROBABILIDADES. 159
que o verdadeiro valor de x não se encontra em nenhum dos lados.
nem o outro de X.
Geômetras renomados escolheram para X o
valor mais provável de x e, consequentemente, aquele que
corresponde à maior ordenada da curva; mas
O valor anterior me parece evidentemente aquele que
a teoria da probabilidade indica.
Sumário
160 CAPÍTULO XVI.
SOBRE ILUSÕES NA ESTIMATIVA DE PROBABILIDADES.
A mente tem suas ilusões como o sentido da visão; e
da mesma forma que a sensação de sentir se corrige
O último, a reflexão e o cálculo, corrigem o primeiro.
Probabilidade baseada na experiência diária, ou exag-
Gerado pelo medo e pela esperança, nos atinge mais do que um
probabilidade superior, mas é apenas um resultado simples de
cálculo. Assim, não tememos em troca de pequenos
vantagens de expor nossa vida a perigos muito menos
mais improvável do que tirar um quíntuplo na loteria
da França; e, no entanto, ninguém desejaria adquirir para
ele mesmo as mesmas vantagens com a certeza de perder
Sua vida, caso esse quinteto fosse desenhado.
Nossas paixões, nossos preconceitos e nossa dominação.
opiniões, ao exagerar as probabilidades que são
favorável a eles e atenuando o contrário
probabilidades são as fontes abundantes de perigo
ilusões.
Males presentes e a causa que os produziu
nos afetam muito mais do que a mera lembrança dos males.
produzidos pela causa contrária; eles nos impedem de
ILUSÕES NA ESTIMATIVA DE PROBABILIDADES. 161
apreciando com justiça os inconvenientes daqueles que...
e os outros, e a probabilidade dos meios adequados
para nos protegermos deles. É isso que leva
alternadamente entre o despotismo e a anarquia, o povo
que são afastados do estado de repouso ao qual se encontravam.
nunca retornar, exceto após longas e cruéis agitações.
Essa vívida impressão que recebemos do
presença de eventos, e que nos permite dificilmente a
Observar os eventos contrários observados por outros é um
principal causa de erro contra a qual não se pode ser suficiente-
se protege cientificamente.
É principalmente nos jogos de azar que uma multidão
As ilusões sustentam a esperança e a mantêm contra a adversidade.
chances capazes. A maioria daqueles que jogam em
As loterias não sabem quantas chances elas têm.
vantagem, quantos são contrários a eles. Eles
vejo apenas a possibilidade de obter um ganho com um pequeno investimento.
soma considerável, e os projetos que sua imaginação...
a nação produz, exagera aos seus olhos o
probabilidade de obtê-lo; especialmente o homem pobre,
Movido pelo desejo de um destino melhor, arrisca-se no jogo.
necessidades agarrando-se às condições mais desfavoráveis-
combinações que lhe prometem um grande benefício. Todas
ficaria sem dúvida surpreso com a imensidão
número de apostas perdidas se eles pudessem saber delas; mas
Ao contrário, toma-se o cuidado de dar aos ganhos.
uma grande publicidade, que se torna uma nova causa de entusiasmo-
destinado a esta peça fúnebre.
Quando um número na loteria da França não foi
Atraído por um longo tempo, o público está ansioso para cobrir o assunto.
com apostas. Eles julgam, já que o número não tem.
já vinha sendo desenhado há muito tempo, então deveria acontecer no próximo
162 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
desenho a ser desenhado em preferência a outros. Então.
Um erro comum me parece basear-se numa ilusão.
através da qual alguém é levado de volta involuntariamente à origem
de eventos. É, por exemplo, muito improvável que
No jogo de cara ou coroa, alguém lançará cara dez vezes.
vezes em sucessão. Essa improbabilidade que impressiona
realmente nos leva a crer que, quando isso aconteceu nove vezes, nos conduz à nossa própria experiência.
Acreditar que no décimo lançamento sairá cara.
Mas o passado indica na moeda uma maior propensão.
cara em vez de coroa torna o primeiro dos eventos mais provável.
mais provável que o segundo; aumenta à medida que se tem
veja a probabilidade de tirar cara no seguinte
arremesso. Uma ilusão semelhante convence muitas pessoas de que
É certamente possível ganhar na loteria apostando sempre.
sobre o mesmo número, até que seja sorteado, uma aposta cujo
O produto supera a soma de todas as apostas. Mas mesmo
quando especulações semelhantes geralmente não seriam interrompidas.
pela impossibilidade de sustentá-los, eles não o fariam.
diminuir a desvantagem matemática dos especuladores
e isso aumentaria sua desvantagem moral,
já que em cada sorteio eles arriscariam uma parte muito grande
da sua fortuna.
Já vi homens que desejavam ardentemente ter um filho,
que só conseguiam aprender com a ansiedade do nascimento dos meninos
no mês em que esperavam se tornar pais.
Imaginando a proporção desses nascimentos em relação aos de meninas.
deveriam ser iguais no final de cada mês, eles
julgou-se que os meninos já nascidos renderiam mais
prováveis nascimentos subsequentes de meninas. Assim, a extração
de uma bola branca retirada de uma urna que contém uma quantidade limitada
o número de bolas brancas e de bolas pretas aumenta o
probabilidade de extrair uma bola preta no seguinte
ILUSÕES NA ESTIMATIVA DE PROBABILIDADES. 163
desenho. Mas isso deixa de acontecer 'quando o
O número de bolas na urna é ilimitado, pois é preciso.
Suponha que, para comparar este caso com o de
nascimentos. Se, no decorrer de um mês, nascessem
Poderíamos supor que haveria muito mais meninos do que meninas.
por volta da época de sua concepção, uma causa geral
havia favorecido a concepção masculina, o que tornaria
É mais provável que o próximo nascimento seja de um menino. O irregular
Os eventos da natureza não são exatamente comparáveis a
sorteio dos números de uma loteria em que todos os
Os números são misturados em cada sorteio de tal maneira
de modo a tornar as chances de seu sorteio perfeitas.
igual. A frequência de um desses eventos parece ser
indicar uma causa que o favorece ligeiramente, o que aumenta
a probabilidade de seu próximo retorno e sua repetição
prolongado por um longo período, como uma longa série de chuvas
dias, podem desenvolver causas desconhecidas para sua mudança; então
que em cada evento esperado não estamos, como em cada
sorteio de loteria, levou de volta ao mesmo estado de
indecisão em relação ao que deveria acontecer. Mas em
proporção, visto que a observação desses eventos é mul-
tiplied, a comparação de seus resultados com os de
As loterias se tornam mais precisas.
Por meio de uma ilusão contrária às anteriores, alguém
busca nos sorteios anteriores da loteria da França o
números mais frequentemente sorteados, a fim de formar combinações-
ções sobre as quais se pensa em colocar a aposta
vantagem. Mas quando a maneira como a mistura é feita
Considerando os números desta loteria, o passado
não deveria ter nenhuma influência sobre o futuro. O próprio
Os desenhos frequentes de um mesmo número são apenas as anomalias.
de probabilidade; submeti vários deles a cálculos.
164 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
ção e têm constatado constantemente que estão incluídos
dentro dos limites em que a suposição de um igual
a possibilidade de desenhar todos os números nos permite
Admitir sem improbabilidade.
Em uma longa série de eventos do mesmo tipo, o único
As chances de perigo devem, às vezes, oferecer a singularidade
veios de boa ou má sorte que a maioria de
Os jogadores não deixam de atribuir uma espécie de fatalidade.
Isso acontece frequentemente em jogos que dependem simultaneamente de...
dependendo do risco e da competência dos jogadores,
que aquele que perde, perturbado pela sua perda, procura
consertá-lo com arremessos perigosos que ele evitaria em
outra situação; assim, ele agrava a sua própria má sorte.
e prolonga sua duração. É então que a prudência
torna-se necessário e é importante considerar-
convença a si mesmo de que a desvantagem moral associada a
A má sorte em si aumenta as chances de um resultado desfavorável.
A opinião de que o homem há muito tempo é colocado no
centro do universo, considerando-se o especial
objeto dos cuidados da natureza, leva cada indivíduo a
tornar-se o centro de um espaço mais ou menos extenso
esfera e acreditar que o perigo tem preferência por
ele. Sustentados por essa crença, os jogadores muitas vezes arriscam con-
somas consideráveis em jogos quando eles sabem que o
As chances são desfavoráveis. Na conduta da vida, um
Opiniões semelhantes podem, por vezes, ter vantagens; mas
Na maioria das vezes, isso leva a empreendimentos desastrosos. Aqui como
Em todo lugar as ilusões são perigosas e somente a verdade prevalece.
geralmente útil.
Uma das grandes vantagens do cálculo de probabilidades-
A habilidade de nos ensinar a desconfiar de primeiras impressões é fundamental. À medida que...
reconheçam que eles frequentemente enganam quando podem estar
ILUSÕES NA ESTIMATIVA DE PROBABILIDADES. 165
submetido ao cálculo, devemos concluir que em
Outros assuntos devem ser tratados com confidência somente após
extrema cautela. Vejamos isso com um exemplo.
Uma urna contém quatro bolas, pretas e brancas, mas que
Nem todas são da mesma cor. Uma dessas bolas tem
foi desenhado cuja cor é branca e que foi
colocar de volta na urna para prosseguir novamente com procedimentos semelhantes.
desenhos. Exige-se a probabilidade de extrair
Apenas bolas pretas nos quatro desenhos seguintes.
Se houvesse igual número de brancos e negros, isso...
A probabilidade seria a quarta potência da probabilidade
de extrair uma bola preta em cada desenho; seria
então T ^. Mas a extração de uma bola branca no
O primeiro desenho indica uma superioridade no número de
bolas brancas na urna; pois se alguém supõe que na urna
três bolas brancas e uma preta, a probabilidade de
Extrair uma bola branca é |; é se supormos duas
bolas brancas e duas pretas; finalmente, reduz-se a J se
Supõe-se que haja três bolas pretas e uma branca. Seguir-
aplicando o princípio da probabilidade das causas extraídas
A partir dos eventos, as probabilidades dessas três suposições.
estão entre si como as quantidades , f, ; elas
são, consequentemente, iguais a |, f, . É, portanto, uma aposta de
5 contra i que o número de bolas pretas é inferior,
ou, no máximo, igual à do branco. Parece
então, após a extração de uma bola branca na primeira
desenho, a probabilidade de extrair sucessivamente quatro
As bolas pretas deveriam ser menos numerosas do que no caso do
igualdade das cores ou menor que um dezesseis avos.
No entanto, não é, e isso pode ser descoberto por um método muito simples.
cálculo que essa probabilidade é maior que um
décimo quarto. Na verdade, seria a quarta potência.
166 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
de , de |, e de | no primeiro, no segundo e no
terceira das suposições precedentes referentes ao
cores das bolas na urna. Multiplicando respectivamente
cada potência pela probabilidade do correspondente
suposição, ou por f , f , e , a soma dos produtos
será a probabilidade de extrair sucessivamente quatro
bolas pretas. Assim, para esta probabilidade ^ 2 9 , a
fração maior que -fa. Este paradoxo é explicado
considerando que a indicação da superioridade de
Bolas brancas sobre as pretas no primeiro desenho
Isso não exclui de forma alguma a superioridade das bolas pretas.
sobre os brancos, uma superioridade que exclui os
suposição da igualdade das cores. Mas isto
superioridade, embora apenas ligeiramente provável, deveria
calcular a probabilidade de sortear sucessivamente um determinado número.
número de bolas pretas maior do que nesta suposição
se o número for considerável; e alguém acabou de ver
que isso começa quando o número dado é igual
até quatro. Consideremos novamente uma urna que contém
várias bolas brancas e pretas. Suponhamos, a princípio,
que só existe uma bola branca e uma preta. É
então uma aposta igual de que uma bola branca será extraída em
um desenho. Mas parece que para a igualdade da aposta
que quem aposta em extrair a bola branca deveria
Ter dois desenhos se a urna contiver dois pretos
e um branco, três desenhos se contiver três pretos.
e um branco, e assim por diante; supõe-se que após cada
A bola extraída é colocada novamente na urna.
Estamos facilmente convencidos de que esta primeira ideia é
Errado. De fato, no caso de dois pretos e um
bola branca, a probabilidade de extrair duas pretas em
dois desenhos é a segunda potência de f ou ^ ; mas isto
ILUSÕES NA ESTIMATIVA DE PROBABILIDADES. 167
probabilidade somada à de retirar uma bola branca em duas
Os desenhos representam certeza ou unidade, visto que é certo que
duas bolas pretas ou pelo menos uma bola branca devem ser
sorteado; a probabilidade neste último caso é então -|, a
fração maior que f. Ainda haveria uma fração maior
vantagem na aposta de tirar uma bola branca em cinco
sorteios quando a urna contém cinco pretas e uma branca
bola; esta aposta é vantajosa mesmo em quatro sorteios;
Retorna então à questão de acertar seis em quatro lançamentos.
com um único dado.
O Chevalier de Mere, que causou a invenção
do cálculo de probabilidades, incentivando seu amigo
Pascal, o grande geômetra, para se ocupar com
disse-lhe que havia encontrado um erro no número.
bers por esta proporção. Se nos propusermos a fazer seis com
Se houver um dado, há vantagem em realizá-lo em quatro.
lançamentos, de 671 a 625. Se nos comprometermos a fazer dois
Seis com dois dados, há uma desvantagem em relação a...
realizando 24 lançamentos. Pelo menos 24 está a 36, o número
das faces dos dois dados, assim como 4 está para 6, o número
das faces de um dado." "Isso foi", escreveu Pascal para
Fermat, ' ' seu grande escândalo que o levou a dizer
afirmando categoricamente que as proposições não eram constantes e que
A aritmética era demente. . . . Ele tem um muito bom
mente, mas ele não é um geômetra, que é, como você
Sabe, uma grande falha. ' ' O Chevalier de Mere, enganado
Por meio de uma analogia falsa, pensou-se que, no caso do
Em igualdade de apostas, o número de lançamentos deveria aumentar.
em proporção ao número total de chances possíveis,
que não é exato, mas que se aproxima da exatidão como
Esse número aumenta.
Tentou-se explicar a superioridade do
168 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
nascimentos de meninos em detrimento dos de meninas devido ao desejo geral
de pais terem um filho que perpetue o
nome. Assim, imaginando uma urna cheia de infinito
de bolas brancas e pretas em igual número, e suponha-
reunindo um grande número de pessoas, cada uma das quais desenha um
bola desta urna e continua com a intenção de
parando quando tiver extraído uma bola branca,
acreditava-se que essa intenção deveria tornar o
número de bolas brancas extraídas superior ao do
pretos. De fato, essa intenção dá necessariamente
após todos os desenhos, um número de bolas brancas igual a
à das pessoas, e é possível que estes atraiam-
Os ings nunca liderariam uma bola preta. Mas é fácil para
Veja que essa primeira noção é apenas uma ilusão; pois se alguém
concebe que no primeiro sorteio todas as pessoas desenham
Ao retirar imediatamente uma bola da urna, fica evidente que eles
A intenção não pode influenciar a cor do
bolas que deveriam aparecer neste desenho. Seu
O efeito único será o de excluir do segundo sorteio.
ing as pessoas que tiverem tirado um branco em
o primeiro. É igualmente evidente que a intenção de
as pessoas que participarão do novo sorteio
não terá influência alguma sobre a cor das bolas que
será sorteado, e será o mesmo no seguinte-
seguindo desenhos. Essa intenção não terá influência.
então, com base na cor das bolas extraídas em sua totalidade.
de desenhos; isso, no entanto, causará mais ou menos
participar em cada sorteio. A proporção do branco
As bolas extraídas para as pretas serão, portanto, muito diferentes.
pouco da unidade. Segue-se que o número de pessoas
sendo supostamente muito grande, se a observação der entre
as cores extraídas apresentam uma proporção que difere sensivelmente de
ILUSÕES NA ESTIMATIVA DE PROBABILIDADES. 169
unidade, é muito provável que a mesma diferença seja
encontrado entre a unidade e a proporção de bolas brancas para
o preto contido na urna.
Incluo novamente entre as ilusões a aplicação que
Liebnitz e Daniel Bernoulli fizeram do cal-
culus de probabilidades para a soma de séries. Se
simplifica-se a fração cujo numerador é igual a um e
cujo denominador é a unidade mais uma variável, em uma série
prescrito pela razão em relação às potências dessa variável, é
É fácil perceber que, supondo que a variável seja igual a
a unidade torna-se , e a série torna-se
mais um, menos um, mais um, menos um, etc. Em
somando os dois primeiros termos, os dois seguintes e assim por diante,
A série se transforma em outra, cada uma...
O termo é zero. Grandi, um jesuíta italiano, concluiu.
Daí a possibilidade da criação; porque o
sendo a série sempre, ele viu essa fração surgir de
uma infinidade de zeros ou do nada. Foi assim que
Leibnitz acreditava ter visto a imagem da criação em seu
aritmética binária onde ele empregou apenas os dois
personagens, unidade e zero. Ele imaginou, já que Deus
pode ser representado pela unidade e o nada pelo zero, que
O Ser Supremo havia criado todos os seres a partir do nada.
pois a unidade com zero expressa todos os números neste
sistema aritmético. Essa ideia era tão agradável para
Liebnitz que comunicou isso ao jesuíta
Grimaldi, presidente do tribunal de metemática em
China, na esperança de que este emblema da criação
converter ao cristianismo o imperador de lá que particularmente-
Larly adorava ciências. Relato este incidente apenas
mostrar até que ponto os preconceitos da infância podem
enganar os maiores homens.
170 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
Liebnitz, sempre liderado por um singular e muito descontraído
metafísica, considerou que a série mais um, menos
um, mais um, etc., torna-se unidade ou zero conforme
para-se em um número de termos ímpares ou pares; e como em
infinito, não há razão para preferir um número par.
Ao contrário do que é ímpar, deve-se seguir as regras da probabilidade.
para dividir os resultados pela metade em relação a esses dois tipos.
de números, e que são zero e um, o que dá
pelo valor da série. Daniel Bernoulli tem
já que estendeu esse raciocínio à soma de
séries formadas a partir de termos periódicos. Mas todas essas séries
Não têm valores propriamente ditos; eles os adquirem apenas
no caso em que seus termos são multiplicados pelo
potências sucessivas de uma variável menores que a unidade. Então
Essas séries são sempre convergentes, por menor que seja a primeira.
pressupõe a diferença da variável em relação à unidade; e
É fácil demonstrar que os valores atribuídos por
Bernoulli, em virtude da regra das probabilidades, são os
mesmos valores da fração geradora da série,
quando se supõe que nessas frações a variável seja igual
à unidade. Esses valores são novamente os limites que o
as séries se aproximam cada vez mais, em proporção ao que
A variável se aproxima da unidade. Mas quando a variável é
exatamente igual à unidade, a série deixa de ser convergente;
Eles só têm valor na medida em que alguém os detém.
notável proporção desta aplicação do cálculo de
probabilidades com os limites dos valores de periódico
A série pressupõe que os termos dessas séries sejam múltiplos.
aplicada por todas as potências consecutivas da variável.
Mas esta série pode resultar do desenvolvimento de um
uma infinidade de frações diferentes nas quais isso não ocorreu.
Assim, a série mais um, menos -um, mais um, etc.,
ILUSÕES NA ESTIMATIVA DE PROBABILIDADES. 171
pode surgir do desenvolvimento de uma fração cuja
O numerador é a unidade mais a variável, e cujo
O denominador é este numerador aumentado pelo quadrado.
da variável. Supondo que a variável seja igual a um,
esse desenvolvimento altera, na série proposta, e
a fração geradora torna-se igual a f; as regras
de probabilidades dariam um resultado falso, o que
prova o quão perigoso seria empregar algo semelhante.
raciocínio, especialmente nas ciências matemáticas,
que deve ser especialmente distinguida pelo rigor
de suas operações.
Somos naturalmente levados a acreditar que a ordem
segundo o qual vemos as coisas renovadas no
A Terra existe desde todos os tempos e continuará a existir.
sempre. De fato, se o estado atual do universo
eram exatamente semelhantes ao estado anterior que tem
Se o produzisse, este, por sua vez, daria origem a um semelhante.
estado; a sucessão desses estados seria então
eterno. Descobri através da aplicação da análise a
a lei da gravidade universal que o movimento de rotação-
ção e de revolução dos planetas e satélites, e
a posição das órbitas e de seus equadores são sub-
aplicado apenas a desigualdades periódicas. Em comparação com
eclipses antigos a teoria da equação secular de
a lua, descobri que desde Hiparco o
a duração do dia não variou nem pela centésima parte de
um segundo, e que a temperatura média da terra
não diminuiu nem um centésimo de grau.
Assim, a estabilidade da ordem atual parece estar estabelecida.
ao mesmo tempo pela teoria e pelas observações. Mas
esta ordem é efetuada por diversas causas que uma atenção-
172 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES,
O exame clínico revela, e o que é impossível de
submeter-se ao cálculo.
As ações do oceano, da atmosfera e de
meteoros, terremotos e erupções vulcânicas,
agitar continuamente a superfície da terra e deveria
para efetuar grandes mudanças a longo prazo. A temperatura-
tura dos climas, o volume da atmosfera e o
A proporção dos gases que o constituem pode variar em
de uma maneira imperceptível. Os instrumentos e o
meios adequados para determinar essas variações sendo
novas observações não foram capazes, até o momento, de
não nos ensina nada a esse respeito. Mas dificilmente é.
provável que as causas que absorvem e renovam o
Os gases que constituem o ar mantêm exatamente suas respectivas relações.
proporções variáveis. Uma longa série de séculos mostrará
as alterações pelas quais todos estes passam
elementos tão essenciais para a conservação de estruturas organizadas
seres. Embora os monumentos históricos não vão
remontando a uma antiguidade muito grande, eles nos oferecem, no entanto,
mudanças suficientemente grandes que ocorreram por
A ação lenta e contínua dos agentes naturais.
Buscando nas entranhas da terra, descobre-se
numerosos detritos de uma natureza anterior, completamente diferentes
a partir do presente. Além disso, se toda a Terra estivesse em
o fluido inicial, como tudo parece indicar,
imagina-se que na passagem desse estado para o outro
que possui agora, sua superfície deveria ter experimentado
mudanças prodigiosas. Os próprios céus, apesar de
A ordem de seus movimentos não é imutável.
resistência à luz e a outros fluidos etéreos, e o
a atração das estrelas deveria, após um grande número de
séculos, para alterar consideravelmente o movimento planetário-
ILUSÕES NA ESTIMATIVA DE PROBABILIDADES. 173
mentos. As variações já observadas nas estrelas
e na forma das nebulosas nos dão um pressentimento
daqueles que o tempo desenvolverá no sistema destes
Grandes corpos. Um pode representar os estados sucessivos.
do universo por uma curva, da qual o tempo seria o
abscissa e das quais as ordenadas são as diversas
estados. Mal conhecendo um elemento desta curva nós
estão longe de poder retornar à sua origem; e
se para satisfazer a imaginação, sempre inquieta
devido à nossa ignorância sobre a causa dos fenômenos
que lhe interessa, arrisca-se a algumas conjecturas, é
É prudente apresentá-los apenas com extrema reserva.
Existe na estimativa de probabilidades um tipo de
de ilusões, que dependem especialmente das leis
da organização intelectual exige, a fim de
proteger-se contra eles, um exame profundo
dessas leis. O desejo de penetrar no futuro.
e as proporções de alguns eventos notáveis, em relação à previsão-
ções de astrólogos, de adivinhos e videntes, para
pressentimentos e sonhos, aos números e aos
dias considerados de sorte ou azar, deram origem a um
Uma infinidade de preconceitos ainda está muito difundida. Um
não reflete o grande número de não-coincidências
densidades que não causaram impacto ou que são
desconhecido. No entanto, é necessário conhecer.
com eles, a fim de apreciar a probabilidade do
causas às quais as coincidências são atribuídas. Isto
O conhecimento confirmaria sem dúvida aquilo que
A razão nos alerta em relação a esses preconceitos. Assim,
filósofo da antiguidade a quem é mostrado em um templo,
a fim de exaltar o poder do deus que é adorado
ali, o ex veto de todos aqueles que, após terem invocado
174 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
Foram salvos de um naufrágio, o que representa um incidente.
em consonância com o cálculo de probabilidades, observando
que ele não vê inscritos os nomes daqueles que,
Apesar dessa invocação, pereceram. Cícero tem
refutou todos esses preconceitos com muita razão e
eloquência em seu Tratado sobre Adivinhação, que ele termina
por uma passagem que citarei; pois a gente adora encontrar
Novamente, entre os antigos, os raios da razão,
que, após ter dissipado todos os preconceitos por sua
A luz se tornará o único fundamento das instituições humanas.
aulas particulares.
"É necessário", diz o orador romano, "que
Rejeite a adivinhação por meio de sonhos e todos os preconceitos semelhantes.
A superstição generalizada subjugou a maioria.
de mentes e se apoderou da fraqueza de
homens. É isso que expusemos em nossos livros sobre
a natureza dos deuses e especialmente nesta obra,
convencidos de que prestaremos um serviço aos outros e
para nós mesmos, se conseguirmos destruir a superstição.
No entanto (e eu desejo especialmente neste aspecto meu)
(pensado ser bem compreendido), ao destruir super-
Afirmo que estou longe de desejar perturbar a religião.
A sabedoria nos exorta a preservar as instituições e o
cerimônias de nossos ancestrais, tocando o culto do
deuses. Além disso, a beleza do universo e o
A ordem das coisas celestiais nos obriga a reconhecer algumas
natureza superior que deve ser notada e
admirado pela raça humana. Mas, no que diz respeito ao que é próprio.
propagar a religião, que está ligada ao conhecimento.
da natureza, até agora é necessário trabalhar em direção ao
extirpação da superstição, pois ela atormenta, importante-
sintoniza um, e persegue um continuamente e em todos os lugares.
ILUSÕES NA ESTIMATIVA DE PROBABILIDADES. 175
Se alguém consultar um adivinho ou um vidente, se alguém imobilizar-
atrasa uma vítima, se considerarmos o voo de um pássaro, se um
encontra um caldeu ou um aruspex, se clarear, se
se trovejar, se o raio cair, finalmente, se houver
nasce ou se manifesta uma espécie de prodígio, coisas que alguém...
do que deveria acontecer frequentemente, então superstição
domina e não deixa repouso. O próprio sono, isso.
refúgio dos mortais em suas aflições e em seus trabalhos,
Torna-se, com isso, uma nova fonte de inquietação e medo.
Todos esses preconceitos e os terrores que eles
inspirar estão relacionados com causas fisiológicas que
continuar, às vezes, a operar com força após a razão
nos desiludiu delas. Mas a repetição de atos
Ao contrário desses preconceitos, sempre é possível destruí-los.
Sumário
176 CAPÍTULO XVII.
SOBRE OS VÁRIOS MEIOS DE ALCANÇAR A CERTEZA.
INDUÇÃO, analogia, hipóteses baseadas em fatos
e continuamente retificada por novas observações, uma feliz
tato dado pela natureza e fortalecido por inúmeras
comparações de suas indicações com a experiência, tais como
são os principais meios para se chegar à verdade.
Se considerarmos uma série de objetos do mesmo tipo
natureza que se percebe entre eles e em suas mudanças
proporções que se manifestam cada vez mais em
proporção à medida que a série se prolonga, e que,
A extensão e a generalização contínuas levam, finalmente, a
o princípio do qual foram derivados. Mas estes
As proporções estão envoltas em tantas circunstâncias estranhas.
que exige grande sagacidade para desvendá-los e
Retomando esse princípio: é nisso que reside a verdadeira
O gênio das ciências consiste em análise e ciências naturais.
A filosofia deve suas descobertas mais importantes a isso.
meios frutíferos, que se chama indicção. Newton era
deve-lhe o seu teorema do binômio e o
princípio da gravidade universal. É difícil de compreender-
calcular a probabilidade dos resultados da indução, que é
Diversos meios de alcançar a certeza. 177
Com base nisso, as proporções mais simples são as mais...
comum; isso é verificado nas fórmulas de análise e
é encontrado novamente em fenômenos naturais, na cristalização,
e em combinações químicas. Essa simplicidade de
As proporções não parecerão surpreendentes se considerarmos que
Todos os efeitos da natureza são apenas resultados matemáticos.
de um pequeno número de leis imutáveis.
No entanto, a indução, ao conduzir à descoberta do
princípios gerais das ciências não são suficientes para
estabelecê-los de forma absoluta. É sempre necessário
confirmá-los por meio de demonstrações ou por meio de experiências decisivas.
ências; pois a história das ciências nos mostra que
A indução às vezes leva a resultados imprecisos. Eu irei
cite, por exemplo, um teorema de Fermat em relação a
números primos. Este grande geômetra, que tinha
meditou profundamente sobre esse teorema, buscando um
fórmula que, contendo apenas números primos, dava
diretamente um número primo maior que qualquer outro
número atribuível. A indução o levou a pensar que
dois, elevados a uma potência que era ela própria uma potência de dois,
formado com unidade um número primo. Assim, dois
elevado ao quadrado mais um, forma o número primo-
ber cinco; dois elevado à segunda potência de dois, ou
dezesseis, forma com um o número primo dezessete.
Ele descobriu que isso ainda era verdade para o oitavo e o
décima sexta potência de dois aumentada pela unidade; e isto
indução, baseada em diversas considerações aritméticas-
ções, fizeram com que ele considerasse esse resultado como geral.
No entanto, ele afirmou que não o havia demonstrado.
De fato, Euler reconheceu que isso não se aplica a
a trigésima segunda potência de dois, que, aumentada por
A unidade resulta em 4.294.967,297, um número divisível por 641.
178 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
Julgamos por indução que se vários eventos, movimento-
Os comentários, por exemplo, aparecem constantemente e têm sido
Há muito tempo conectados por uma simples proporção, eles continuarão.
ser submetido a isso; e concluímos disso, por
a teoria das probabilidades, que essa proporção se deve, não a
perigo, mas por uma causa regular. Assim, a igualdade de
os movimentos de rotação e revolução de
a lua; o dos movimentos dos nodos da
órbita e do equador lunar, e a coincidência de
esses nós; a proporção singular dos movimentos de
os três primeiros satélites de Júpiter, segundo os quais
a longitude média do primeiro satélite, menos três vezes
a do segundo, mais o dobro da do terceiro, é
igual a dois ângulos retos; a igualdade do intervalo
das marés à passagem da lua ao
meridiano; o retorno das maiores marés. com o
sizígias, e das menores com as quadraturas; todas
essas coisas, que têm sido mantidas desde que
foram observados pela primeira vez, indicam com extrema probabilidade-
habilidade, a existência de causas constantes que geome-
Os pediatras conseguiram, com sucesso, se vincular à lei.
da gravidade universal, e o conhecimento da qual
garante a perpetuidade dessas proporções.
O chanceler Bacon, o eloquente promotor do
O verdadeiro método filosófico tornou-se algo muito estranho.
uso indevido da indução para provar a imobilidade de
a terra. Ele argumenta assim no Novum Organum,
Sua obra-prima: 'O movimento das estrelas'
O deslocamento do Oriente para o Ocidente aumenta em rapidez, em
proporcional à sua distância da Terra. Isso
O movimento é mais rápido junto às estrelas; ele diminui um pouco.
com Saturno, um pouco mais com Júpiter, e assim por diante.
Diversos meios de alcançar a certeza. 1?9
a lua e os cometas mais altos. Ainda é perceptível-
vel na atmosfera, especialmente entre os trópicos,
devido aos grandes círculos que as moléculas de
o ar descrito ali; finalmente, é quase imperceptível.
com o oceano; então é zero para a terra." Mas isto
A indução prova apenas que Saturno e as estrelas que
são inferiores a ele, têm seus próprios movimentos, contrários
ao movimento real ou aparente que varre o
toda a esfera celeste, do Oriente ao Ocidente,
e que esses movimentos parecem mais lentos com o mais
estrelas remotas, o que está em conformidade com as leis de
óptica. Bacon deveria ter sido atingido pelo
velocidade inconcebível que as estrelas exigem para
para realizar sua revolução diurna, se a Terra estiver
inabalável, e pela extrema simplicidade com que
sua rotação explica como corpos tão distantes, aqueles
dos outros, como as estrelas, o sol, os planetas e
A lua, tudo parece estar sujeito a essa revolução. Como
para o oceano e para a atmosfera, ele não deveria
compare o movimento deles com o das estrelas que
estão separados da terra; mas como o ar e o
Os mares fazem parte do globo terrestre, eles deveriam
participar de seu movimento ou de seu repouso. É
singular que Bacon, levado a grandes perspectivas por seu
gênio, não se deixou conquistar pela ideia majestosa que
O sistema copernicano do universo oferece. Ele era
capaz, no entanto, de encontrar argumentos fortes a favor desse sistema.
analogias nas descobertas de Galileu, que foram
continuado por ele. Ele deu início à busca depois
A verdade é o preceito, mas não o exemplo. Mas por
insistindo, com toda a força da razão e da eloquência,
sobre a necessidade de abandonar o insignificante
180 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
sutilezas da escola, a fim de se dedicar a
observações e experiências, e indicando o
verdadeiro método de ascensão às causas gerais de
fenômenos, este grande filósofo contribuiu para o
imensos avanços que a mente humana fez no
grande século em que ele encerrou sua carreira.
A analogia baseia-se na probabilidade de que coisas semelhantes ocorram.
As coisas têm causas do mesmo tipo e produzem o mesmo resultado.
mesmos efeitos. Essa probabilidade aumenta à medida que os similares...
A atitude se torna mais perfeita. Assim, julgamos sem
duvido que seres dotados dos mesmos órgãos,
Fazendo as mesmas coisas, experimentando as mesmas sensações,
e são movidos pelos mesmos desejos. A probabilidade
que os animais que se assemelham a nós têm sensações
análogo ao nosso, embora um pouco inferior a esse.
que é relativo a indivíduos da nossa espécie, ainda é
extremamente grande; e exigiu toda a influência
de preconceitos religiosos para nos fazer pensar com alguns
filósofos que os animais são meros autômatos.
a probabilidade da existência do sentimento diminui no
mesma proporção que a semelhança dos órgãos com
A nossa diminui, mas é sempre muito grande, mesmo com
insetos. Ao ver indivíduos da mesma espécie executarem
coisas muito complicadas exatamente da mesma maneira
de geração em geração, e sem ter
Ao aprendê-los, somos levados a crer que eles agem por um
tipo de afinidade análoga àquela que une
as moléculas dos cristais, mas que, juntamente com o
sensação associada a toda organização animal, produz,
com a regularidade das combinações químicas, combina-
ções que são muito mais singulares; alguém poderia, talvez,
Dê nome a essa mistura de afinidades e sensações eletivas.
Diversos meios de alcançar a certeza. 181
afinidade animal. Embora exista uma grande analogia
entre a organização das plantas e a dos animais,
Não me parece suficiente estender isso aos vegetais.
a sensação de sentir; mas nada nos autoriza a negar-
contando para eles.
Já que o sol dá à luz, por meio da ação benéfica
da sua luz e do seu calor, os animais e as plantas
Os que cobrem a terra, julgamos por analogia que
produz efeitos semelhantes sobre os outros planetas; pois isso
Não é natural pensar que a causa cuja atividade nós
ver desenvolvido de tantas maneiras deveria ser estéril sobre
um planeta tão grandioso quanto Júpiter, que, assim como os terrestres
O globo tem seus dias, suas noites e seus anos, e sobre
quais observações indicam mudanças que supõem
forças muito ativas. No entanto, isso seria dar muita importância a elas.
uma extensão da analogia para concluir a partir dela a similaridade-
atitude dos habitantes dos planetas e da Terra.
O homem, feito para a temperatura que lhe agrada, e
pois o elemento que ele respira não seria capaz,
Ao que tudo indica, viver do outro lado
planetas. Mas não deveria haver uma infinidade de
organização relativa às várias constituições do
globos deste universo Se a única diferença do
Os elementos e os climas proporcionam tanta variedade em
produções terrestres, quão maior é a diferença
deveria estar entre os dos vários planetas e de
seus satélites! A imaginação mais fértil pode formar
Não tenho ideia disso; mas sua existência é muito provável.
Somos levados por uma forte analogia a observar as estrelas.
como tantos sóis dotados, como o nosso, de uma beleza atraente
potência proporcional à massa e inversamente proporcional à
quadrado das distâncias; pois este poder sendo demon-
182 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
começou para todos os corpos do sistema solar, e para
suas menores moléculas, parece pertencer a todas elas.
matéria. Já os movimentos das pequenas estrelas,
que foram chamadas de duplas, devido à sua
sendo binário, parecem indicar isso; um século no máximo de
observações precisas, verificando seus movimentos de
revolução, aquelas sobre os outros, irão além
duvido que haja atração recíproca entre eles.
A analogia que nos leva a fazer de cada estrela a
O centro de um sistema planetário é muito menos forte do que
a anterior; mas adquire probabilidade pela
hipótese que foi proposta em relação a
a formação das estrelas e do sol; pois neste
hipótese de que cada estrela, tendo sido como o sol, primi-
Envolvido por uma vasta atmosfera, é natural que
atribuem a esta atmosfera os mesmos efeitos que à
atmosfera solar, e supor que ela tenha produzido,
na condensação, planetas e satélites.
Um grande número de descobertas nas ciências se deve a isso.
Por analogia. Citarei como uma das mais notáveis,
a descoberta da eletricidade atmosférica, à qual se
foi guiado pela analogia dos fenômenos elétricos
com os efeitos do trovão.
O método mais seguro que pode nos guiar na busca
pois a verdade consiste em surgir por indução a partir dos fenômenos.
para leis e de leis para forças. Leis são as proporções.
que conectam fenômenos particulares: quando
Eles demonstraram o princípio geral das forças.
de onde eles são derivados, verifica-se isso por
experiências diretas, quando isso for possível, ou por meio de exames.
nação se concordar com fenômenos conhecidos; e se por
uma análise rigorosa que vemos eles procederem a partir disto
YAR1OUS MEJNS DE APROXIMAÇÃO DA CERTEZA. 183
princípio, mesmo em seus pequenos detalhes, e se, além disso,
Eles são bastante variados e muito numerosos, então ciência
adquire o mais alto grau de certeza e perfeição.
ção que ela é capaz de alcançar. Assim, a astronomia tem
tornaram-se realidade com a descoberta da gravidade universal.
A história das ciências mostra que o processo lento e laborioso
O caminho da indução nem sempre foi o dos inventores.
A imaginação, impaciente para chegar às causas,
sente prazer em criar hipóteses, e muitas vezes isso
altera os fatos para adaptá-los ao seu trabalho;
Então as hipóteses são perigosas. Mas quando alguém
considera-os apenas como meios de conexão do
fenômenos para descobrir as leis; quando, por
recusando-se a atribuí-los a uma realidade, retifica-se.
eles continuamente por meio de novas observações, eles são capazes
para conduzir às causas verdadeiras, ou pelo menos nos colocar em uma posição
posição para concluir a partir dos fenômenos observados
aquelas que, dadas as circunstâncias, deveriam produzir.
Se devêssemos testar todas as hipóteses possíveis...
formado em relação à causa dos fenômenos que devemos
chegar, por um processo de exclusão, ao verdadeiro.
Este método tem sido empregado com sucesso; alguns-
Às vezes chegamos a várias hipóteses que
explicam igualmente bem todos os fatos conhecidos, e entre
quais estudiosos estão divididos, até que observações decisivas
revelaram o verdadeiro. Então é interessante,
para a história da mente humana, para retornar a estes
hipóteses, para ver como elas conseguem explicar uma
grande número de fatos e para investigar as mudanças
que eles deveriam passar para concordar com o
história da natureza. É assim que o sistema 01
Ptolomeu, que é apenas a realização do celestial
184 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
aparências, transforma-se na hipótese do
movimento dos planetas ao redor do sol, através da representação
iguais e paralelos à órbita solar, os círculos e o
epiciclos que ele manda descrever anualmente,
e cuja magnitude ele deixa indeterminada.
Basta, então, transformar essa hipótese em
o verdadeiro sistema do mundo, para transportar o aparente
movimento do sol em sentido contrário ao da Terra.
É quase sempre impossível submeter-se ao cálculo.
a probabilidade dos resultados obtidos por esses vários
significa; isto também se aplica aos fatos históricos. Mas
a totalidade dos fenômenos explicados, ou da
testemunhos, às vezes é tal que sem ser capaz
Para apreciar a probabilidade, não podemos razoavelmente...
Não nos permitamos qualquer dúvida a respeito deles. No
Em outros casos, é prudente admiti-los apenas com grande...
reserva.
Sumário
185 CAPÍTULO XVIII.
NOTA HISTÓRICA SOBRE O CÁLCULO DE PROBABILIDADES.
Há muito tempo foram determinados, nos jogos mais simples,
as proporções das probabilidades que são favoráveis ou
desfavorável aos jogadores; as apostas e os riscos
foram regulamentados de acordo com essas proporções. Mas ninguém
antes que Pascal e Fermat tivessem apresentado os princípios e
os métodos para submeter este assunto ao cálculo, e
Ninguém havia resolvido as questões bastante complicadas de
deste tipo. É, então, a estes dois grandes geômetras
que devemos nos referir aos primeiros elementos da ciência de
probabilidades, cuja descoberta pode ser classificada
entre as coisas notáveis que tornaram
ilustre o século XVII o século que
prestou a maior homenagem à mente humana.
principal problema que eles resolveram de diferentes maneiras
métodos, consiste, como vimos, em distribuir
equitativamente a participação entre os jogadores, que são apoiados
que se dizem igualmente habilidosos e que concordam em parar o
jogo antes de ser concluído, sendo a condição de jogo
que, para vencer o jogo, é preciso obter um determinado
O número de pontos é diferente para cada jogador.
186 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
É evidente que a distribuição deve ser feita proporcionalmente.
cionalmente às respectivas probabilidades dos jogadores de
ganhar este jogo, as probabilidades dependem de
o número de pontos que ainda faltam. O
O método de Pascal é muito engenhoso e está no fundo
apenas a equação das diferenças parciais deste problema
aplicado na determinação das probabilidades sucessivas de
os jogadores, passando dos menores números para os
seguintes. Este método se limita ao caso de
dois jogadores; o de Fermat, baseado em combinações,
Aplica-se a qualquer número de jogadores. Pascal acreditava que
Primeiro, que, assim como o dele, era restrito a dois jogadores;
Isso provocou uma discussão entre eles, no
conclusão da qual Pascal reconheceu a generalidade
do método de Fermat.
Huygens uniu os diversos problemas que tinham
já foram resolvidos e novos foram adicionados em breve.
tratado, o primeiro que apareceu sobre este assunto
e que tem o título De Ratiociniis in ludo alec.
Diversos geômetras se ocuparam com
o assunto desde então: Hudde, o grande pensionista, Witt
na Holanda, e Halley na Inglaterra, aplicaram o cálculo
às probabilidades da vida humana, e Halley publicou
Neste campo, a primeira tabela de mortalidade. Sobre o
Ao mesmo tempo, Jacques Bernoulli propôs aos geômetras
vários problemas de probabilidade, dos quais ele posteriormente abordou.
Deu soluções. Finalmente, ele compôs sua bela obra.
obra intitulada Ars conjcctandi, que apareceu sete
anos após sua morte, que ocorreu em 1706. O
A ciência das probabilidades é investigada mais profundamente.
nesta obra, mais do que na de Huygens. O autor
fornece uma teoria geral de combinações e séries, e
O CÁLCULO DE PROBABILIDADES. 187
aplica-o a várias questões difíceis sobre
perigos. Este trabalho ainda é notável por conta de
a justiça e a perspicácia do ponto de vista, o emprego
da fórmula do binômio nesse tipo de questão,
e pela demonstração deste teorema, a saber,
que ao multiplicar indefinidamente as observações e
as experiências, a proporção de eventos de diferentes
as naturezas se aproximam daquelas de suas respectivas probabilidades
nos limites cujo intervalo se torna cada vez mais
estreitam proporcionalmente à medida que são multiplicados, e
tornar-se menor que qualquer quantidade atribuível. Isto
O teorema é muito útil para obter resultados por meio de observações.
As leis e as causas dos fenômenos. Bernoulli
atribui, com razão, grande importância ao seu demônio-
stração, sobre a qual ele disse ter meditado por
vinte anos.
No intervalo, desde a morte de Jacques Bernoulli
à publicação de sua obra, Montmort e Moivre
produziu dois tratados sobre o cálculo de probabilidades-
gravatas. A de Montmort tem o título Ess at sur les
Jeux de hasard; contém inúmeras aplicações de
este cálculo a diversos jogos. O autor acrescentou
na segunda edição algumas cartas em que Nicolas
Bernoulli apresenta soluções engenhosas para diversos problemas difíceis.
problemas de culto. O tratado de Moivre, posterior a isso.
de Montmort, apareceu pela primeira vez nas Transações
pliilosopliiqucs do ano de 1711. Então o autor
publicou-o separadamente e o melhorou com sucesso.
publicado em três edições. Esta obra é baseada principalmente em
com base na fórmula do binômio e nos problemas
que contém, assim como suas soluções, um grande
generalidade. Mas sua característica distintiva é a teoria.
188 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
de séries recorrentes e sua utilização neste assunto. Isto
A teoria consiste na integração de equações lineares de número finito.
diferenças com coeficientes constantes, que Moivre
Feito de uma maneira muito alegre.
Em sua obra, Moivre retomou a teoria.
de Jacques Bernoulli em relação à probabilidade de
Resultados determinados por um grande número de observações.
Ele não se contenta em mostrar, como Bernoulli
faz isso, que a proporção dos eventos que deveriam ocorrer
abordagens sem cessar a de seus respectivos
probabilidades; mas ele oferece, além disso, uma abordagem elegante e
expressão simples da probabilidade de que a diferença
A soma dessas duas proporções está contida dentro dos limites estabelecidos.
Para isso, ele determina a proporção do maior
termo do desenvolvimento de uma potência muito alta do
binômio à soma de todos os seus termos, e o hiperbólico
logaritmo do excesso deste termo acima dos termos
adjacente a ele.
O termo mais abrangente sendo então o produto de uma con-
um número considerável de fatores, seu cálculo numérico
torna-se impraticável. Para obtê-lo por um
Na aproximação convergente, Moivre utiliza um
teorema de Stirling em relação ao termo médio do
binômio elevado a uma potência alta, um notável
teorema, especialmente neste, que introduz o quadrado
raiz da razão entre a circunferência e o raio em
uma expressão que aparentemente deveria ser irrelevante
a este transcendente. Além disso, Moivre foi grandemente
impressionado com esse resultado, que Stirling havia deduzido de
a expressão da circunferência em produtos infinitos;
Wallis havia chegado a essa expressão por meio de um singular
O CÁLCULO DE PROBABILIDADES. 189
análise que contém o germe da curiosidade
e uma teoria útil de integrais definidas.
Muitos estudiosos, entre os quais se deve citar...
Deparcieux, Kersseboom, Wargentin, Dupre de Saint-
Maure, Simpson, Sussmilch, Messene, Moheau, Price,
Bailey e Duvillard arrecadaram uma grande quantidade
de dados precisos em relação à população, nascimentos, casamentos-
riages e mortalidade. Eles forneceram fórmulas e
tabelas relativas a anuidades vitalícias, tontinas, seguros,
etc. Mas neste breve aviso, só posso indicar o seguinte:
trabalhos úteis para aderir a ideias originais. De
Essa menção especial a esse número se deve ao seu caráter matemático.
e esperanças morais e ao princípio engenhoso que
Daniel Bernoulli deu razão para submeter este último a
análise. Tal é novamente a feliz aplicação que
Ele fez do cálculo de probabilidades a inoculação-
ção. Deve-se incluir especialmente, no número
dessas ideias originais, a consideração direta do
possibilidade de eventos derivados de eventos observados.
Jacques Bernoulli e Moivre supuseram essas possibilidades-
laços conhecidos, e eles buscaram a probabilidade de que o
O resultado de experiências futuras será cada vez mais próximo.
representá-los. Bayes, nas Transações pliiloso-
phiqncs do ano de 1763, buscou diretamente a probabilidade
que as possibilidades indicadas por experiências passadas são
compreendido dentro de limites dados; e ele chegou a
isso de uma maneira refinada e muito engenhosa, embora
Um pouco confuso. Este assunto está relacionado com o
teoria da probabilidade de causas e eventos futuros,
Concluí a partir dos eventos observados. Alguns anos depois eu
expôs os princípios desta teoria com uma observação
quanto à influência das desigualdades que possam existir
190 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
entre as probabilidades que supostamente são iguais.
Embora não se saiba qual dos eventos simples
essas desigualdades favorecem, no entanto, essa ignorância.
por si só, muitas vezes aumenta a probabilidade de composto
eventos.
Na análise generalizada e nos problemas em questão-
Ao estudar probabilidades, fui levado ao cálculo de distribuições parciais.
diferenças finitas, que Lagrange tratou posteriormente por
um método muito simples, cujas aplicações são elegantes
Ele utilizou isso nesse tipo de problema. A teoria de
funções generativas sobre as quais publiquei o mesmo
O tempo inclui esses assuntos entre os que abrange,
e é adaptado de si mesmo e com a maior generalidade
às questões mais difíceis da probabilidade. Ela determina-
minas novamente, por aproximações muito convergentes, o
valores das funções compostas por um grande número de
termos e fatores; e mostrando que a raiz quadrada
da razão entre a circunferência e o raio entra
Na maioria das vezes, nesses valores, isso mostra que um
Uma infinidade de outros transcendentes pode ser introduzida.
Testemunhos, votos e decisões eleitorais
e assembleias deliberativas, e os julgamentos de
tribunais, também foram submetidos ao cálculo
de probabilidades. Tantas paixões, interesses diversos,
e as circunstâncias complicam as questões relativas a
os assuntos, que são quase sempre insolúveis.
Mas a solução de problemas muito simples que têm um
Uma ótima analogia com eles pode muitas vezes lançar luz sobre questões difíceis.
e questões importantes sob grande luz, que a certeza
do cálculo torna sempre preferível ao mais
raciocínios falaciosos.
Uma das aplicações mais interessantes do cal-
O CÁLCULO DE PROBABILIDADES. 191
O culus de probabilidades diz respeito aos valores médios que
deve ser escolhido dentre os resultados das observações.
Muitos geômetras estudaram o assunto, e
Lagrange publicou nas Memórias de Turim um
um método excelente para determinar esses valores médios.
quando a lei dos erros das observações é
conhecido. Eu forneci um método para o mesmo propósito.
baseado em um artifício singular que pode ser
empregado com vantagem em outras questões de análise;
e isto, ao permitir a extensão indefinida no
todo o processo de um longo cálculo das funções
que deveria ser limitado pela natureza do
problema, indica as modificações que cada termo
do resultado final que se deve receber em virtude destes
limitações. Já se viu que cada
a observação fornece uma equação de condição do
primeiro grau, que sempre pode ser disposto de tal forma
de forma que todos os seus termos estejam no primeiro membro, o
O segundo sendo zero. O uso dessas equações é um
das principais causas da grande precisão do nosso
tabelas astronômicas, porque um número imenso de
Assim, foram feitas excelentes observações que corroboram essa conclusão.
na determinação de seus elementos. Quando há apenas
um elemento a ser determinado. Cotes prescreveu que
As equações de condição devem ser preparadas de tal forma.
de maneira que o coeficiente do elemento desconhecido
ser positivo em cada um deles; e que todas essas igualdades
As equações devem ser somadas para formar a equação final.
Daí deriva o valor deste elemento. A regra
O método de Cotes foi seguido por todos os calculistas, mas desde que ele
Não foi possível determinar vários elementos, não havia nenhum fixo
regra para combinar as equações de condição em tal
192 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
maneira de obter as equações finais necessárias; mas
Para cada elemento, foram escolhidas as observações mais adequadas.
capaz de determinar isso. Foi para evitar estes
tateando que Legendre e Gauss concluíram adicionar
os quadrados dos primeiros membros das equações de
condição, e para minimizar a soma, variando-
ing cada elemento desconhecido; por este meio é obtido
diretamente tantas equações finais quantos forem os elementos.
Mas será que os valores determinados por essas equações justificam tal decisão?
a preferência sobre todas as outras que possam ser obtidas
por outros meios Esta questão, o cálculo de probabilidade-
A habilidade por si só foi capaz de responder. Então, eu a apliquei.
a este assunto, e obtido por uma análise delicada
regra que inclui o método precedente, e que
aumenta a vantagem de doar, por meio de um processo regular,
os elementos desejados que os obtêm com o
maior demonstração de evidências da totalidade das observações
ções, e de determinar os valores que deixam apenas
Os menores erros possíveis devem ser temidos.
No entanto, temos apenas um conhecimento imperfeito de
os resultados obtidos, contanto que a lei dos erros
Não se sabe a que eles são suscetíveis; devemos ser
capaz de atribuir a probabilidade de que esses erros sejam
contido dentro de determinados limites, o que equivale a determinar-
Extraindo aquilo que chamei de peso de um resultado.
A análise leva a fórmulas gerais e simples para isso.
objetivo. Apliquei esta análise aos resultados de
observações geodésicas. O problema geral consiste em
ao determinar as probabilidades de que os valores de um
ou de várias funções lineares, dos erros de uma muito
Um grande número de observações está contido em qualquer
limites,
O CÁLCULO DE PROBABILIDADES. 193
A lei da possibilidade de erros de observação-
ções introduz nas expressões desses problemas-
habilidades uma constante, cujo valor parece exigir o
conhecimento dessa lei, que é quase sempre
desconhecido. Felizmente, essa constante pode ser determinada.
a partir das observações.
Na investigação de elementos astronômicos, é
dado pela soma dos quadrados das diferenças
entre cada observação e a calculada.
Os erros são igualmente prováveis, sendo proporcionais a
da raiz quadrada dessa soma, pode-se, pela comparação de
esses quadrados, aprecie a exatidão relativa do
diferentes tabelas da mesma estrela. Em operações geodésicas-
ções esses quadrados são substituídos pelos quadrados do
erros das somas observadas dos três ângulos de cada
triângulo. A comparação dos quadrados destes
Os erros nos permitirão avaliar a precisão relativa.
dos instrumentos com os quais os ângulos foram
medido. Por meio dessa comparação, percebe-se a vantagem.
do círculo repetitivo sobre os instrumentos que ele
foi substituído em geodesia.
Frequentemente, existem muitas fontes nas observações.
de erros: assim, as posições das estrelas sendo determinadas-
extraído por meio do telescópio meridiano e do
círculo, ambos suscetíveis a erros cuja lei de probabilidade-
A capacidade não deve ser considerada a mesma que os elementos.
que são deduzidos dessas posições são afetados por
esses erros. As equações de condição, que são
feitos para obter esses elementos, contêm os erros de
Cada instrumento possui coeficientes diferentes.
O sistema de fatores mais vantajoso pelo qual
essas equações devem ser multiplicadas respectivamente, em
194 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
a fim de obter, pela união dos produtos, o máximo possível
equações finais, pois há elementos a serem determinados,
não é mais o dos coeficientes dos elementos em
Cada equação de condição. A análise que eu tenho
utilizaram leads facilmente, independentemente do número de fontes.
de erro pode ser, para o sistema de fatores que dá
os resultados mais vantajosos, ou aqueles em que o
A probabilidade de cometer o mesmo erro é menor do que em qualquer outro sistema.
A mesma análise determina as leis da probabilidade.
dos erros desses resultados. Essas fórmulas contêm
tantas constantes desconhecidas quantas forem as fontes de
erro, e dependem das leis da probabilidade de
esses erros. Observou-se que, no caso de um
de fonte única, essa constante pode ser determinada por
formando a soma dos quadrados dos resíduos de cada um
equação de condição, quando os valores encontrados para estes
Os elementos foram substituídos. Um processo semelhante.
geralmente fornece valores para essas constantes, sejam quais forem
O número deles pode ser, o que completa a inscrição.
do cálculo de probabilidades aos resultados da observação-
ções.
Devo fazer aqui uma observação importante.
pequena incerteza quanto às observações, quando elas são
não numerosos, deixe em relação aos valores do
constantes das quais acabei de falar, torna um pouco
As probabilidades determinadas pela análise são incertas.
Mas quase sempre basta saber se a probabilidade,
que os erros dos resultados obtidos estão incluídos
Dentro de limites estreitos, aproxima-se bastante da unidade; e
Quando não for, basta saber até que ponto o
As observações devem ser multiplicadas para se obter um
probabilidade tal que não reste dúvida razoável em
O CÁLCULO DE PROBABILIDADES. 195
em relação à correção dos resultados. O analítico
As fórmulas de probabilidade satisfazem perfeitamente esse requisito.
mento; e, nesse contexto, eles podem ser vistos como
o complemento necessário das ciências, baseado em
uma totalidade de observações suscetíveis a erros. Elas
são igualmente indispensáveis na resolução de um grande número de
problemas nas ciências naturais e morais. O
As causas regulares dos fenômenos são, na maioria das vezes, ou
desconhecido, ou demasiado complexo para ser submetido à análise.
culus; novamente, sua ação é frequentemente perturbada por acidentes
e causas irregulares; mas sua impressão permanece sempre
nos eventos produzidos por todas essas causas, e isso leva
às modificações que apenas uma longa série de observações-
ções podem determinar. A análise de probabilidades
desenvolve essas modificações; atribui a probabilidade
de suas causas e indica os meios de continuamente
aumentando essa probabilidade. Assim, em meio ao
causas irregulares que perturbam a atmosfera, as
mudanças periódicas do calor solar, do dia para a noite, e
do inverno ao verão, produza sob a pressão disto
grande massa de fluido e na altura correspondente do
barômetro, as oscilações diurnas e anuais; e
numerosas observações barométricas revelaram o
primeiro com probabilidade pelo menos igual à do
fatos que consideramos certos. Assim é novamente
que a série de eventos históricos nos mostra a con-
ação constante dos grandes princípios da ética no
em meio às paixões e aos diversos interesses que
perturbam as sociedades de todas as maneiras. É notável que
uma ciência que começou com a consideração de
jogos de azar devem ser elevados à categoria de
temas mais importantes do conhecimento humano.
196 UM ENSAIO FILOSÓFICO SOBRE PROBABILIDADES.
Eu compilei todos esses métodos na minha TJieorie
analytique des Probabilite's, na qual propus
expor da maneira mais geral os princípios
e a análise do cálculo de probabilidades, como-
sábias as soluções das mais interessantes e mais
problemas difíceis que o cálculo apresenta.
Neste ensaio, observa-se que a teoria das probabilidades
No fundo, é apenas o senso comum reduzido a cálculo;
Isso nos faz apreciar com exatidão aquilo que é exato.
As mentes sentem por uma espécie de instinto, sem serem capazes
Muitas vezes, é preciso dar uma razão para isso. Não deixa margem para arbitrariedades.
ness na escolha de opiniões e posições a serem tomadas;
e por seu uso sempre pode-se determinar o mais
escolha vantajosa. Assim, complementa a maioria
felizmente, a ignorância e a fraqueza do ser humano
mente. Se considerarmos os métodos analíticos aos quais
esta teoria deu origem à verdade dos princípios.
que servem de base; a lógica fina e delicada
que seu emprego na solução de problemas
requer; os estabelecimentos de utilidade pública que repousam
sobre ele; a extensão que recebeu e que
ainda pode receber através de sua aplicação ao mais importante-
questões importantes da filosofia natural e da moral
ciência; se considerarmos novamente que, mesmo nas coisas
que não pode ser submetido ao cálculo, fornece o
indícios mais seguros que podem nos guiar em nossos julgamentos, e
que nos ensina a evitar as ilusões que muitas vezes
confundir-nos-á, e então veremos que não há ciência.
mais digno de nossas meditações, e isso não mais
Uma opção útil poderia ser incorporada ao sistema público.
instrução.
Sumário
Normal |
Professor |
Pesquisador
|
