Devemos tentar distinguir uma "formulação" da mecânica quântica de uma " interpretação " da mecânica quântica, embora às vezes seja difícil.

Por exemplo, a teoria da onda-piloto de David Bohm , de 1952, forneceu "variáveis ocultas" na forma de um "potencial quântico" que muda instantaneamente (infinitamente mais rápido que a velocidade da luz) em todo o espaço, a fim de restaurar uma visão determinística da mecânica quântica, que Bohm acreditava ser o desejo de Einstein. Einstein ficou horrorizado. Muitos autores descrevem isso como a "interpretação da onda-piloto", sendo que se trata tanto de uma formulação quanto de uma interpretação.

Diferentes formulações, tanto na mecânica clássica quanto na quântica, fornecem exatamente as mesmas previsões e resultados experimentais. Mas a matemática de uma formulação pode gerar soluções para uma situação física específica muito mais rápida e facilmente do que outras. Algumas são mais facilmente generalizadas para a mecânica relativística. Algumas nos ajudam a "visualizar" o que está acontecendo — os chamados "elementos da realidade" — em problemas particulares. Algumas são melhores para autovalores do que para probabilidades de transição, algumas melhores para sistemas ligados/periódicos do que para partículas "livres". Algumas encontram melhores "constantes de movimento". Algumas são melhores para a teoria quântica de campos do que para a eletrodinâmica quântica e assim por diante.

Assim como existem muitas formulações da mecânica clássica, existem muitas formulações (algumas análogas) da mecânica quântica.

Mecânica Clássica

Mecânica Quântica

Newtoniano Lagrangiano Hamiltoniano Princípio de Hamilton Hamilton-Jacobi Princípio da Mínima Ação de Maupertuis Colchetes de Poisson Equação de Louville

Teoria Quântica Antiga (Bohr-Sommerfeld, 1913) Mecânica Matricial (Heisenberg-Born-Jordan, 1925) Mecânica Ondulatória (Schrödinger, 1926) Braços de Poisson, Teoria da Transformação (Dirac, 1927) Operadores de Criação-Destruição (Dirac-Jordan-Klein, 1927) Matriz Densidade (Von Neumann, 1927) Princípio Variacional de Hamilton (Jordan-Klein, 1927) Distribuição do Espaço de Fase (Wigner, 1932) Soma Integral de Caminho sobre Histórias (Feynman, 1948) Onda Piloto (De Broglie-Bohm, 1952) Hamilton-Jacobi/Ângulo de Ação (Leacock-Padgett, 1983)

O trabalho original de Bohr já não constitui uma formulação ativa da mecânica quântica, pois explica relativamente pouco, mas esse pouco foi suficiente para descobrir os vários "números quânticos" (principal, angular, magnético e de spin) subjacentes à estrutura atômica e às linhas espectrais atômicas. Com a ajuda de Sommerfeld (momento angular) e, posteriormente, de Pauli (spin), a antiga teoria quântica descobriu os "estados estacionários permitidos" e as "regras de seleção" para as transições permitidas entre esses estados em vários átomos e, mais tarde, em moléculas. Ela não conseguia calcular as "probabilidades de transição" necessárias para explicar as intensidades das linhas espectrais.

Bohr quantizou as órbitas dos elétrons (visualizadas como elétrons planetários viajando ao redor de um núcleo de Rutherford), tratando-as como sistemas ligados periódicos. Ele não quantizou a radiação "livre" emitida ou absorvida quando os elétrons "saltam" de uma órbita para outra. Bohr acreditava que se tratava de radiação eletromagnética clássica até pelo menos 1925, ignorando a hipótese de Einstein sobre os quanta de luz (1905), sua conexão com ondas (1909) e sua emissão e absorção, juntamente com sua descoberta da emissão "estimulada" (1916). O "princípio da correspondência" de Bohr permitiu-lhe relacionar as transições de estados com grandes números quânticos ao comportamento clássico a grandes distâncias do núcleo, o que o ajudou a determinar algumas constantes físicas (por exemplo, a constante de Rydberg).

Em meados da década de 1920, o assistente de Bohr, Hendrik Kramers, analisou as órbitas permitidas em suas componentes de Fourier e desenvolveu uma matriz de transições entre estados. Ele demonstrou que as probabilidades de transição eram proporcionais aos quadrados das ondas componentes de Fourier. Werner Heisenberg auxiliou Kramers nos cálculos em um artigo conjunto e, em seguida, retornou a Göttingen, onde estendeu a ideia da matriz para reformular a antiga teoria quântica como "mecânica matricial". Com a ajuda de Max Born e Pascual Jordan, ele conseguiu calcular corretamente as probabilidades de transição, explicando a intensidade das linhas espectrais. Wolfgang Pauli utilizou a mecânica matricial para calcular a estrutura do átomo de hidrogênio, reproduzindo os resultados de Bohr.

Enquanto se recuperava de uma crise alérgica em uma ilha deserta, Werner Heisenberg escreveu um artigo sobre um novo método para calcular probabilidades de transição e prever intensidades de linhas espectrais. Ao ler o artigo, Max Born reconheceu o trabalho de Heisenberg como multiplicações de matrizes. Born e Pascual Jordan desenvolveram a matemática para a primeira formulação consistente da mecânica quântica capaz de explicar (e calcular probabilidades de transição para) os "saltos quânticos" de Bohr.

Heisenberg buscava grandezas que ele chamava de "observáveis", em oposição à visualização de Bohr de órbitas circulares e elípticas para os elétrons. Uma dessas grandezas é a energia do sistema, por exemplo, que ele podia calcular sem referência a uma órbita.

Heisenberg também conseguia calcular "observáveis" de posição e momento, mas estes envolviam operadores não comutativos (para os quais pq ≠ qp). Max Born sabia que as matrizes possuem essa propriedade de não comutatividade. Heisenberg demonstrou que, em geral, as "condições quânticas" são que pq - qp = ih , o que mais tarde foi escrito como uma condição mínima conhecida como "princípio da incerteza", pq - qp ≥ ih .

As matrizes de Heisenberg são hermitianas, portanto seus autovalores são reais, e Heisenberg identificou esses autovalores com os possíveis valores de uma grandeza observável. Os elementos da matriz hamiltoniana são diagonais (os elementos fora da diagonal principal são todos zero).

Ao identificar os níveis de energia E _n em um átomo como observáveis que não fornecem conhecimento da dinâmica interna (por exemplo, posição do elétron, momento, periodicidade, etc.), Heisenberg declarou a "realidade subjacente" como incognoscível em princípio. Em todo caso, a mecânica matricial não nos dá nenhuma "visualização" do que está acontecendo "realmente".

Os elementos da matriz de polarização são funções periódicas do tempo que fornecem as frequências e intensidades das linhas espectrais.

As matrizes quadradas de Heisenberg ( nxn ) são operadores que atuam em um vetor de uma única linha ou coluna de dimensão nx1 . Na concepção de Heisenberg, esses "vetores de estado" (|ψ> na notação de Dirac) são constantes, e os operadores A evoluem no tempo.

O operador H é o Hamiltoniano do sistema, a energia total (cinética mais potencial).

Na representação de Schrödinger, os operadores são independentes do tempo e os vetores, chamados funções de onda, evoluem no tempo. A equação de Schrödinger dependente do tempo é uma equação diferencial parcial linear muito semelhante à equação de Heisenberg (1).

Para uma única partícula de massa m movendo-se em um campo elétrico (mas não magnético), Schrödinger poderia escrever sua equação no espaço físico ordinário como:

Ele poderia até mesmo escrever uma função de onda de duas partículas (importante para as partículas "emaranhadas" nos experimentos de EPR ), agora em um espaço de seis dimensões, δψ ( r ₁ , r ₂ , t).

Mas as funções de onda de Schrödinger, facilmente "visualizáveis", não eram os vetores do "espaço de configuração" n- dimensional da mecânica matricial de Heisenberg. Von Neumann o chamou de espaço de Hilbert, no qual n pode ser infinito e abranger autovalores discretos e contínuos.

A escola de Copenhague-Göttingen estava interessada em níveis de energia e "saltos quânticos". Heisenberg havia explicado com sucesso as intensidades relativas das linhas espectrais em termos de probabilidades de transição. Pauli usou a mecânica matricial para derivar a estrutura do átomo de hidrogênio.

Schrödinger, por outro lado, construiu sua "mecânica ondulatória" com ênfase na "dualidade onda-partícula" que Einstein vinha defendendo havia vinte anos. Para Einstein, a "realidade" consistia em quanta de luz individuais emitidos e absorvidos pelos átomos. Quando há um grande número desses quanta, as propriedades ondulatórias se manifestam. Einstein imaginava as ondas como um "campo fantasma" que guiava os quanta de luz para exibir fenômenos clássicos de interferência. As cristas das ondas teriam mais quanta do que os nós.

Louis de Broglie aceitou a visão de Einstein de que as ondas de luz são constituídas por partículas. De Broglie formulou a hipótese de que as partículas materiais poderiam ter características ondulatórias que guiariam as partículas. Ele propôs "ondas piloto" com um comprimento de onda relacionado ao momento p da partícula.

A grande descoberta de Schrödinger foi a formulação da equação de onda que descrevia as ondas de matéria de De Broglie. Schrödinger e De Broglie argumentaram que a estrutura eletrônica dos átomos poderia ser visualizada como ondas estacionárias que se ajustavam a um número inteiro de comprimentos de onda de De Broglie em torno de cada órbita. Schrödinger afirmou ter encontrado uma explicação natural para os números quânticos inteiros, que haviam sido apenas postulados por Bohr. Einstein esperava que a teoria ondulatória pudesse restaurar uma explicação de campo contínuo.

Schrödinger interpretou uma onda eletrônica ψ como a densidade real de carga elétrica espalhada no espaço. Einstein tinha fortes razões para se opor a essa visão já em 1905 para os quanta de luz, e Schrödinger abandonou essa interpretação. Algumas semanas após o último artigo de Schrödinger, Max Born ofereceu sua interpretação estatística, na qual ψ é uma amplitude de probabilidade (geralmente um número complexo, que suporta interferência consigo mesmo), cujo quadrado absoluto ψ*ψ é a probabilidade de encontrar o elétron em algum lugar. (cf. a amplitude de transição de Kramers, que foi elevada ao quadrado para fornecer a probabilidade de transição.) Born reconheceu a visão semelhante de Einstein para a relação entre ondas de luz (o "campo fantasma") e partículas de luz (então chamadas de fótons).

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