Em que sentido algo pode ser, ao mesmo tempo, uma partícula discreta ( Werner Heisenberg ) e uma onda contínua ( Erwin Schrödinger ) Esta é uma fonte de grande confusão.

A interpretação informacional da mecânica quântica argumenta que a função de onda é uma informação puramente abstrata e imaterial sobre as probabilidades estatísticas de onde partículas materiais concretas serão encontradas quando um grande número de partículas é medido.

Ondas e partículas são a versão da física quântica do dualismo filosófico mais fundamental: Idealismo versus Materialismo .

As ondas quânticas nunca são vistas. Elas não são "observáveis", o que Heisenberg estabeleceu como seu principal critério para a nova mecânica quântica. Ele declarou que as órbitas eletrônicas da "antiga" teoria quântica do átomo de Bohr simplesmente não existem porque não são observáveis. Apenas as linhas espectrais da luz emitidas pelas transições entre níveis de energia são observáveis, afirmou ele.

Seguindo a tradicional Interpretação de Copenhague , muitos físicos hoje descrevem um objeto quântico como uma onda ou uma partícula, dependendo da livre escolha do experimentador. Mas argumentaremos que as "ondas" contínuas nunca são observáveis, exceto como médias de um número maior de partículas discretas .

As ondas contínuas são uma ideia, uma invenção matemática, uma ferramenta de cálculo, que nos permite fazer previsões incrivelmente precisas sobre onde partículas discretas de matéria serão encontradas quando realizarmos medições experimentais.

A filosofia da informação vê a dualidade onda-partícula como um exemplo dos muitos dualismos presentes nos mundos ideal (noumenal) e material (fenomenal) da filosofia antiga e moderna.

Um físico que descreve a evolução de um sistema quântico, um elétron ou um fóton, por exemplo, geralmente procede em duas etapas.

Entre as medições, há um estágio ondulatório no qual a função de onda explora todas as possibilidades disponíveis, dada a configuração das partículas circundantes, especialmente aquelas próximas, que representam as condições de contorno para a equação de Schrödinger do movimento da função de onda. Como o espaço onde as possibilidades são diferentes de zero é grande, dizemos que a função de onda (ou "função de possibilidades") é não local . Albert Einstein sempre almejou uma "realidade objetiva" local e não o que poderia parecer meramente possibilidades "subjetivas".

A outra etapa é a medição, quando o fóton ou elétron interage com uma ou mais partículas circundantes, incluindo o aparelho de medição. Nesse ponto, uma das possibilidades não locais pode ser "atualizada" ou localizada .

Podemos caracterizar a fase ondulatória como "teoria" e a fase de medição como "experimento". Teorias são nossas ideias. Experimentos são nossas interações com o mundo material.

Quando "visualizamos" a onda quântica se movendo pelo espaço (na teoria quântica dependente do tempo) ou mesmo as "ondas estacionárias" que imaginamos (na teoria independente do tempo), não há absolutamente nenhuma matéria ou energia em nenhuma dessas posições no espaço. O que visualizamos em nossas mentes não é "real".

Assim, podemos também caracterizar a fase ondulatória como a fase estatística, probabilística ou de "possibilidades", enquanto a fase experimental nos fornece "atualidades" ou "realizações".

O processo quântico levanta questões metafísicas profundas sobre possibilidades , com suas probabilidades calculáveis e suas atualidades mensuráveis .

A informação sobre a nova interação pode ou não ser registrada. Se a nova informação for registrada de forma irreversível , ela poderá ser observada posteriormente. Ela precisa ser registrada antes de poder ser observada. Um "observador consciente" não está envolvido no registro da medição. O registro de uma medição ocorre antes que o observador faça uma observação. Na física moderna, isso pode acontecer dias ou semanas antes da observação, que pode exigir cálculos adicionais demorados e "redução de dados".

Ao ouvir ou ler que os elétrons são tanto ondas quanto partículas, você pode pensar em " ou um ou outro " - entre as medições, uma onda de possibilidades , e na medição, uma partícula real .

Ou talvez você prefira a crença profundamente arraigada de Albert Einstein de que uma partícula é sempre aquela que segue uma trajetória e possui propriedades definidas, apesar da impossibilidade prática de realizar medições em todos os pontos ao longo dessa trajetória.

A ideia de que uma onda de luz contínua poderia, na verdade, ser composta de partículas quânticas discretas foi proposta pela primeira vez por Einstein em 1905, como sua "hipótese do quantum de luz".

Ele escreveu:

De acordo com a hipótese a ser considerada aqui, a energia de um raio de luz que se propaga a partir de uma fonte pontual não é distribuída continuamente por um espaço crescente, mas consiste em um número finito de quanta de energia localizados em pontos do espaço, que se movem sem se dividir e que só podem ser produzidos e absorvidos como unidades inteiras.

(" Um ponto de vista heurístico sobre a produção e transformação da luz ", Annalen der Physik , vol. 17, p. 133, tradução para o inglês - American Journal of Physics, 33, 5, p. 368)

Em 1909, Einstein especulou sobre a conexão entre as visões ondulatória e corpuscular:

Trata-se da dualidade onda-partícula quatorze anos antes das ondas de matéria de Louis de Broglie e da equação de onda e mecânica ondulatória de Erwin Schrödinger.

Quando se demonstrou que a luz exibe interferência e difração, tornou-se quase certo que ela deveria ser considerada uma onda... Um grande conjunto de fatos mostra inegavelmente que a luz possui certas propriedades fundamentais que são melhor explicadas pela teoria da emissão de Newton do que pela teoria da oscilação. Por essa razão, acredito que a próxima fase no desenvolvimento da física teórica nos trará uma teoria da luz que pode ser considerada uma fusão das teorias da oscilação e da emissão...

Mesmo sem aprofundar na teoria, percebe-se que nossa teoria da luz não consegue explicar certas propriedades fundamentais de fenômenos associados à luz. Por que a cor da luz, e não sua intensidade, determina se uma determinada reação fotoquímica ocorre Por que a luz de comprimento de onda curto é geralmente mais eficaz quimicamente do que a luz de comprimento de onda mais longo Por que a velocidade dos raios catódicos produzidos fotoeletricamente é independente da intensidade da luz Por que são necessárias temperaturas mais altas (e, portanto, energias moleculares mais altas) para adicionar um componente de comprimento de onda curto à radiação emitida por um objeto?

A propriedade fundamental da teoria da oscilação que gera essas dificuldades me parece a seguinte: na teoria cinética das moléculas, para cada processo em que participam apenas algumas partículas elementares (por exemplo, colisões moleculares), existe também o processo inverso. Mas esse não é o caso dos processos elementares da radiação.

A visão de Einstein desde 1905 era de que os quanta de luz são emitidos em direções específicas. Não existem ondas esféricas emitidas para fora (exceto ondas de amplitude de probabilidade ou "possibilidades"). Ainda menos prováveis são as ondas esféricas emitidas para dentro , nunca observadas na natureza.

De acordo com a nossa teoria predominante, um íon oscilante gera uma onda esférica que se propaga para fora. O processo inverso não existe como um processo elementar. Uma onda esférica convergente é matematicamente possível, sem dúvida; mas aproximar-se da sua realização requer um número vasto de entidades emissoras. O processo elementar de emissão não é invertível. Neste ponto, creio que a nossa teoria da oscilação não é precisa. A teoria da emissão de luz de Newton parece conter mais verdade a este respeito do que a teoria da oscilação, uma vez que, em primeiro lugar, a energia fornecida a uma partícula de luz não é dispersa pelo espaço infinito, mas permanece disponível para um processo elementar de absorção.

( Sobre o desenvolvimento de nossas ideias a respeito da natureza e constituição da radiação )

Ainda em 1909, Einstein idealizou um experimento no qual a energia de um elétron (um raio catódico) é convertida em um quantum de luz e vice-versa.

Considere as leis que regem a produção de radiação catódica secundária por raios X. Se raios catódicos primários incidirem sobre uma placa metálica P1, eles produzem raios X. Se esses raios X incidirem sobre uma segunda placa metálica P2, raios catódicos serão produzidos novamente, cuja velocidade é da mesma ordem de grandeza que a dos raios catódicos primários.

Até onde sabemos hoje, a velocidade dos raios catódicos secundários não depende da distância entre P1 e P2, nem da intensidade dos raios catódicos primários, mas sim exclusivamente da velocidade dos raios catódicos primários. Suponhamos que isso seja estritamente verdade. O que aconteceria se reduzíssemos a intensidade dos raios catódicos primários ou o tamanho de P1, sobre o qual eles incidem, de modo que o impacto de um elétron dos raios catódicos primários pudesse ser considerado um processo isolado?

Se o exposto acima for realmente verdade, então, devido à independência da velocidade dos raios catódicos secundários em relação à intensidade dos raios catódicos primários, devemos assumir que um elétron incidindo em P1 ou não produzirá elétrons em P2, ou produzirá uma emissão secundária de um elétron cuja velocidade é da mesma ordem de grandeza da do elétron inicial que incidiu em P1. Em outras palavras, o processo elementar de radiação parece ocorrer de tal forma que não dispersa a energia do elétron primário em uma onda esférica que se propaga em todas as direções, como exige a teoria da oscilação.

( Sobre o desenvolvimento de nossas ideias a respeito da natureza e constituição da radiação )

Ampliando sua hipótese de 1905, Einstein demonstra que a energia não pode se propagar continuamente como uma onda por um grande volume, pois é absorvida em sua totalidade para produzir um elétron ejetado em P2, com essencialmente a mesma energia do elétron original absorvido em P1.

Na verdade, pelo menos grande parte dessa energia parece estar disponível em algum ponto de P2, ou em algum outro lugar. O processo elementar de emissão de radiação parece ser direcional. Além disso, tem-se a impressão de que a produção de raios X em P1 e a produção de raios catódicos secundários em P2 são processos essencialmente inversos... Portanto, a constituição da radiação parece ser diferente do que nossa teoria de oscilação prevê.

A teoria da radiação térmica forneceu pistas importantes sobre isso, principalmente pela teoria na qual Planck baseou sua fórmula de radiação... A teoria de Planck leva à seguinte conjectura: se for realmente verdade que um ressonador radiativo só pode assumir valores de energia que são múltiplos de hν, a suposição óbvia é que a emissão e a absorção de luz ocorrem apenas nessas quantidades de energia. Com base nessa hipótese, a hipótese dos quanta de luz, as questões levantadas acima sobre a emissão e a absorção de luz podem ser respondidas. Até onde sabemos, as consequências quantitativas dessa hipótese dos quanta de luz são confirmadas. Isso provoca a seguinte questão: não seria possível que a fórmula de radiação de Planck estivesse correta, mas que outra derivação pudesse ser encontrada que não se baseasse em uma suposição aparentemente tão monstruosa quanto a teoria de Planck Não seria possível substituir a hipótese dos quanta de luz por outra suposição, com a qual se pudesse fazer justiça aos fenômenos conhecidos Caso seja necessário modificar os elementos da teoria, não seria possível manter intactas as leis de propagação e alterar apenas as concepções dos processos elementares de emissão e absorção?

Essa concepção me parece a mais natural: a de que a manifestação das ondas eletromagnéticas da luz é confinada a pontos de singularidade, como a manifestação dos campos eletrostáticos na teoria do elétron. Imagino cada um desses pontos de singularidade cercado por um campo que tem essencialmente o mesmo caráter de uma onda plana, e cuja amplitude diminui com a distância entre os pontos de singularidade. Se muitas dessas singularidades forem separadas por uma distância pequena em relação às dimensões do campo de um ponto de singularidade, seus campos se sobreporão e formarão, em sua totalidade, um campo oscilante que é apenas ligeiramente diferente do campo oscilante em nossa atual teoria eletromagnética da luz.

( Sobre o desenvolvimento de nossas ideias a respeito da natureza e constituição da radiação )

Einstein, portanto, imagina muitos pontos singulares (seus quanta de luz) cujo comportamento médio tem a forma de uma onda de luz.

Assim como um grande número de pontos discretos distribuídos aleatoriamente se aproxima da aparência contínua e suave da distribuição normal, Einstein imagina que a "totalidade" dos pontos se assemelharia a uma onda ou campo de luz oscilante. Einstein nunca publicou a ideia implícita de que a onda de luz seria mais forte onde há muitas partículas e mais fraca onde há poucas. Mas ele descreveu a muitos amigos, incluindo Max Born , a ideia de um "campo fantasma" ( Gespensterfeld ) ou "campo guia" ( Führungsfeld ) que representa a probabilidade de encontrar uma partícula em diferentes posições.

Nossa visão moderna da relação entre ondas e partículas é direta. A onda é uma função complexa com valores em cada ponto do espaço, cujo quadrado absoluto nos dá a probabilidade de encontrar uma partícula discreta ali. A onda (mais tarde, a função de onda ψ) é semelhante aos campos gravitacionais ou eletromagnéticos contínuos que especificam a força sobre uma partícula de teste em qualquer ponto do espaço e do tempo. Esses campos de “probabilidade” não são substanciais ou, como Einstein os chamou, “ponderáveis”.

A “fusão das teorias ondulatória e de emissão da luz” que Einstein previu é agora vista como consistindo em um campo teórico contínuo que fornece informações abstratas (probabilidades calculáveis e previsões) sobre os resultados de experimentos com partículas discretas localizadas .

Não só temos o problema de compreender a dualidade onda-partícula num sistema quântico, como também temos uma teoria mecânica ondulatória completa ( de Broglie e Schrödinger ) versus uma teoria mecânica de partículas ( Heisenberg , Max Born , Pascual Jordan ).

Antes do desenvolvimento de qualquer uma dessas teorias em meados da década de 1920, Einstein, em 1916, demonstrou como comportamentos tanto ondulatórios quanto corpusculares são observados em quanta de luz, e que a emissão de luz ocorre em momentos e direções aleatórios. Essa foi a introdução do acaso ontológico ( Zufall ) na física, mais de uma década antes de Heisenberg anunciar que a mecânica quântica é acausal em seu artigo sobre o "princípio da incerteza" de 1927.

Até 1917, Einstein sentia-se praticamente sozinho em sua crença na realidade (ênfase dele) dos quanta de luz:

Já não duvido da realidade dos quanta de radiação, embora ainda esteja bastante isolado nessa convicção.

(Carta a Besso, citada por Abraham Pais, " Sutil é o Senhor..." , p. 411)

Em 1916, Einstein havia acabado de derivar seus coeficientes A e B, que descreviam a absorção, a emissão espontânea e (sua recém-prevista) a emissão estimulada da radiação. Em dois artigos, " Emissão e Absorção de Radiação na Teoria Quântica " e " Sobre a Teoria Quântica da Radiação ", ele derivou a lei de Planck (para Planck, tratava-se principalmente de um palpite sobre a fórmula), o postulado de Planck E = hν e o segundo postulado de Bohr,
E _{_m} - E _{_n} = hν . Einstein fez isso explorando a relação óbvia entre a distribuição de Maxwell-Boltzmann das velocidades das partículas de um gás e a distribuição da radiação na lei de Planck.

Einstein escreveu:

A semelhança formal entre a curva de distribuição cromática da radiação térmica e a lei de distribuição de velocidades de Maxwell é demasiado notável para ter permanecido oculta por muito tempo. De fato, foi essa semelhança que levou W. Wien, há algum tempo, a uma extensão da fórmula da radiação em seu importante artigo teórico, no qual derivou sua lei do deslocamento... Recentemente, descobri uma dedução da fórmula de Planck intimamente relacionada ao argumento original de Wien e baseada na premissa fundamental da teoria quântica. Essa dedução revela a relação entre a curva de Maxwell e a curva de distribuição cromática e merece atenção não apenas por sua simplicidade, mas principalmente porque parece lançar alguma luz sobre o mecanismo de emissão e absorção de radiação pela matéria, um processo que ainda nos é obscuro.

(“ Sobre a Teoria Quântica da Radiação ”, Fontes da Mecânica Quântica , BL van der Waerden, Dover, 1967, p.63; Physikalische Zeitschrift , 18, pp.121–128, 1917)

Mas a introdução do pensamento da mecânica estatística de Maxwell-Boltzmann à teoria eletromagnética produziu o que Einstein chamou de "fraqueza na teoria". Ela introduz a realidade de uma probabilidade objetiva irredutível !

Se os quanta de luz são partículas com energia E = hν viajando à velocidade da luz c , então eles deveriam ter um momento p = E/c = hν/c . Quando a luz é absorvida por partículas materiais, esse momento será claramente transferido para a partícula. Mas quando a luz é emitida por um átomo ou molécula, surge um problema.

A conservação do momento linear exige que o momento da partícula emitida faça com que um átomo recue com momento linear igual a hν/c na direção oposta. No entanto, a teoria padrão da emissão espontânea de radiação afirma que ela produz uma onda esférica que se propaga em todas as direções. Uma onda com simetria esférica não possui direção preferencial. Em qual direção o átomo recua Einstein perguntou:

A molécula recebe um impulso quando absorve ou emite energia ε Por exemplo, consideremos a emissão do ponto de vista da eletrodinâmica clássica. Quando um corpo emite radiação ε, ele sofre um recuo (momento) ε/c se toda a energia da radiação for emitida na mesma direção. Se, no entanto, a emissão for um processo espacialmente simétrico, como uma onda esférica, nenhum recuo ocorre. Essa alternativa também desempenha um papel na teoria quântica da radiação. Quando uma molécula absorve ou emite energia ε na forma de radiação durante a transição entre estados teoricamente possíveis na mecânica quântica, esse processo elementar pode ser visto como totalmente ou parcialmente direcionado no espaço, ou ainda como simétrico (não direcionado). Constatamos que chegamos a uma teoria livre de contradições somente se interpretarmos esses processos elementares como processos totalmente direcionados.

(" Sobre a Teoria Quântica da Radiação , p. 65)

Uma partícula de luz emitida deve transmitir um momento hν/c ao átomo ou molécula, mas a direção desse momento não pode ser prevista! A teoria também não consegue prever o instante em que o quantum de luz será emitido.

Tal aleatoriedade temporal não era desconhecida na física. Quando Ernest Rutherford derivou a lei para o decaimento radioativo de núcleos atômicos instáveis em 1900, ele só pôde fornecer a probabilidade do tempo de decaimento. Einstein percebeu a conexão com a emissão de radiação:

Isso corrobora a teoria de que a lei estatística assumida para a emissão [espontânea] nada mais é do que a lei de Rutherford do decaimento radioativo.

(Pais, "Sutil é o Senhor..." , p. 411)

Mas a incapacidade de prever tanto o momento quanto a direção das emissões de partículas de luz, disse Einstein em 1917, é "uma fraqueza na teoria..., que deixa o tempo e a direção dos processos elementares ao acaso ( Zufall, ibid. )". É uma fraqueza apenas para Einstein, é claro, porque seu Deus não joga dados.

Einstein percebeu claramente, como nenhum de seus contemporâneos, que, como a emissão espontânea é um processo estatístico, ela não pode ser descrita pela física clássica.

As propriedades dos processos elementares necessárias... tornam quase inevitável a formulação de uma teoria verdadeiramente quantizada da radiação.

(Pais, ibid. )

Einstein ficou incomodado com a descoberta da lei da radiação do corpo negro por Planck. Ele disse que ela "se baseia em uma premissa aparentemente monstruosa".

Planck havia assumido que os níveis de energia eram discretos (compare com os estados estacionários de Bohr na antiga teoria quântica). Einstein percebeu que as transições entre esses níveis deveriam ser quanta discretos. Quando Bohr formulou sua teoria atômica (e durante os doze anos seguintes), ele ignorou os quanta de luz de Einstein, assim como Planck fez por 24 anos!

A teoria de Planck leva à seguinte conjectura: se for realmente verdade que um ressonador radiativo só pode assumir valores de energia que sejam múltiplos de hν , a suposição óbvia é que a emissão e a absorção de luz ocorrem apenas nessas quantidades de energia. Com base nessa hipótese, a hipótese dos quanta de luz , as questões levantadas acima sobre a emissão e a absorção de luz podem ser respondidas. Até onde sabemos, as consequências quantitativas dessa hipótese dos quanta de luz são confirmadas. Isso suscita a seguinte questão: não seria possível que a fórmula da radiação de Planck estivesse correta, mas que outra derivação pudesse ser encontrada que não se baseasse em uma suposição aparentemente tão monstruosa quanto a teoria de Planck Não seria possível substituir a hipótese dos quanta de luz por outra suposição, com a qual se pudesse fazer justiça aos fenômenos conhecidos Se for necessário modificar os elementos da teoria, não se poderia manter intactas as leis de propagação e alterar apenas as concepções dos processos elementares de emissão e absorção?

Para chegar a uma resposta definitiva para essa questão, vamos proceder na direção oposta à de Planck em sua teoria da radiação. Consideremos a fórmula da radiação de Planck como correta e perguntemos se algo sobre a composição da radiação pode ser derivado dela.

("Sobre o desenvolvimento de nossas visões a respeito da natureza e constituição da radiação", Physikalische Zeitschrift , 10, 817-825, 1909)

Oito anos depois, em seu artigo sobre os coeficientes A e B (probabilidades de transição) para a emissão e absorção de radiação, Einstein prosseguiu com sua tentativa de compreender a lei de Planck. Ele confirmou que a luz se comporta, às vezes, como ondas (notadamente quando um grande número de partículas está presente e para baixas energias), e outras vezes como partículas de um gás (para poucas partículas e altas energias).

A mecânica quântica é capaz de reconciliar as propriedades ondulatórias e corpusculares da luz. O ponto essencial é a associação de cada um dos estados translacionais de um fóton com uma das funções de onda da óptica ondulatória ordinária. A natureza dessa associação não pode ser imaginada com base na mecânica clássica, sendo algo inteiramente novo. Seria um erro imaginar o fóton e sua onda associada interagindo da mesma forma que partículas e ondas interagem na mecânica clássica. A associação só pode ser interpretada estatisticamente, sendo a função de onda responsável por nos fornecer informações sobre a probabilidade de encontrarmos o fóton em um determinado local quando fazemos uma observação de sua posição.

Note que a informação sobre a possibilidade de um fóton em um determinado ponto não precisa ser "conhecimento" para algum observador consciente. É uma informação estatística sobre o fóton, mesmo que ele nunca seja observado.

Algum tempo antes da descoberta da mecânica quântica, as pessoas [isto é, Einstein!] perceberam que a conexão entre ondas de luz e fótons devia ter um caráter estatístico. O que elas não perceberam claramente, no entanto, foi que a função de onda fornece informações sobre a probabilidade de um fóton estar em um determinado lugar, e não sobre o número provável de fótons nesse lugar.

( Princípios da Mecânica Quântica , 4ª ed., Capítulo 1, p. 9)

Einstein , de Broglie e Schrödinger argumentaram que a onda de luz em determinado ponto poderia ser o número provável de fótons nesse ponto.

Mas se aceitarmos que Einstein sempre concebeu a partícula como indivisível e localizada em um ponto específico no espaço e no tempo (sua "realidade objetiva" local), podemos concordar com Dirac que a função de onda nos dá a probabilidade de a partícula individual "estar em um lugar específico".

Comecemos pela história da luz. Inicialmente, acreditava-se que a luz se comportava como uma chuva de partículas, de corpúsculos, como chuva ou como balas disparadas por uma arma. Com pesquisas posteriores, ficou claro que isso não era verdade, que a luz, na realidade, se comportava como ondas, como ondas na água, por exemplo. No século XX, novas pesquisas revelaram que a luz, de muitas maneiras, se comportava como partículas. No efeito fotoelétrico, era possível contar essas partículas — hoje chamadas de fótons. Os elétrons, quando foram descobertos, comportavam-se exatamente como partículas ou balas, de forma bem simples. Pesquisas posteriores mostraram, por meio de experimentos de difração de elétrons, por exemplo, que eles se comportavam como ondas. Com o passar do tempo, cresceu a confusão sobre como essas coisas realmente se comportavam — ondas ou partículas, partículas ou ondas Tudo parecia ser ambos...

Portanto, é preciso muita imaginação para compreender como eles se comportam, pois vamos descrever algo que é diferente de tudo o que você já viu...

Será difícil. Mas a dificuldade é realmente psicológica e reside no tormento perpétuo que resulta de você se perguntar: "Mas como pode ser assim", o que reflete um desejo descontrolado, porém totalmente vão, de enxergar a situação em termos de algo familiar. Não vou descrevê-la por meio de uma analogia com algo familiar; vou simplesmente descrevê-la...

Vou usar apenas este experimento, concebido para conter todo o mistério da mecânica quântica, para confrontá-los com os paradoxos, mistérios e peculiaridades da natureza em sua totalidade. Qualquer outra situação na mecânica quântica, como se vê, pode sempre ser explicada dizendo: "Lembram-se do experimento com os dois buracos É a mesma coisa". Vou lhes contar sobre o experimento com os dois buracos. Ele contém o mistério geral; não estou omitindo nada; estou expondo a natureza em sua forma mais elegante e complexa.

( A natureza da lei física , capítulo 6)